MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt21 23045
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt21.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt21.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt21.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt21.b (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
cnmpt21.c (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cnmpt21 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐽   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐿   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   π‘₯,𝑍,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑧,𝐢
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7364 . . . . . . . . . 10 (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)𝑦) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6 txtopon 22965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
10 cnf2 22623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
117, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1312fmpo 8004 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
1411, 13sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍)
15 rsp2 3259 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍))
1716imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
1812ovmpt4g 7506 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝐴 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)𝑦) = 𝐴)
192, 3, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)𝑦) = 𝐴)
201, 19eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐴)
2120fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π΄))
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
23 cnmpt21.c . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
2423eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 β†’ (𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
25 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
26 cntop2 22615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Top)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
28 toptopon2 22290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ Top ↔ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
30 cnf2 22623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
318, 29, 25, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
3222fmpt 7062 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀)
3433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀)
3524, 34, 17rspcdva 3584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
3622, 23, 17, 35fvmptd3 6975 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π΄) = 𝐢)
3721, 36eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)) = 𝐢)
38 opelxpi 5674 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
39 fvco3 6944 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
4011, 38, 39syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
41 df-ov 7364 . . . . . . . 8 (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)𝑦) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
42 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)
4342ovmpt4g 7506 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)𝑦) = 𝐢)
442, 3, 35, 43syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)𝑦) = 𝐢)
4541, 44eqtr3id 2787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐢)
4637, 40, 453eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
4746ralrimivva 3194 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
48 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘’βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
49 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯π‘Œ
50 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
51 nfmpo1 7441 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
5250, 51nfco 5825 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
53 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©
5452, 53nffv 6856 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
55 nfmpo1 7441 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)
5655, 53nffv 6856 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
5754, 56nfeq 2917 . . . . . . 7 β„²π‘₯(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
5849, 57nfralw 3293 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
59 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑣(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
60 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
61 nfmpo2 7442 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
6260, 61nfco 5825 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
63 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘¦βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©
6462, 63nffv 6856 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)
65 nfmpo2 7442 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)
6665, 63nffv 6856 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)
6764, 66nfeq 2917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)
68 opeq2 4835 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© = ⟨π‘₯, π‘£βŸ©)
6968fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©))
7068fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©))
7169, 70eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)))
7259, 67, 71cbvralw 3288 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©))
73 opeq1 4834 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ⟨π‘₯, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
7473fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
7573fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
7674, 75eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
7776ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
7872, 77bitrid 283 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
7948, 58, 78cbvralw 3288 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
8047, 79sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
81 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑀 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
82 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑀 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
8381, 82eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑀 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
8483ralxp 5801 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
8580, 84sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€))
86 fco 6696 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
8731, 11, 86syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
8887ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ))
8935ralrimivva 3194 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
9042fmpo 8004 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
9189, 90sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
9291ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ))
93 eqfnfv 6986 . . . 4 ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€)))
9488, 92, 93syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€)))
9585, 94mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢))
96 cnco 22640 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
979, 25, 96syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
9895, 97eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-tx 22936
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  23046  xkofvcn  23058  xkohmeo  23189  qustgplem  23495  prdstmdd  23498  divcn  24254  htpycom  24362  htpycc  24366  reparphti  24383  pcocn  24403  pcohtpylem  24405  pcopt  24408  pcopt2  24409  pcoass  24410  pcorevlem  24412  dipcn  29711
  Copyright terms: Public domain W3C validator