MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt21 23588
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt21.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt21.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt21.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt21.b (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
cnmpt21.c (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cnmpt21 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐽   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐿   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   π‘₯,𝑍,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑧,𝐢
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7423 . . . . . . . . . 10 (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)𝑦) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
2 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6 txtopon 23508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
10 cnf2 23166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
117, 8, 9, 10syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1312fmpo 8072 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
1411, 13sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍)
15 rsp2 3271 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍))
1716imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
1812ovmpt4g 7568 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝐴 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)𝑦) = 𝐴)
192, 3, 17, 18syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)𝑦) = 𝐴)
201, 19eqtr3id 2782 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐴)
2120fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π΄))
22 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
23 cnmpt21.c . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝐡 = 𝐢)
2423eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 β†’ (𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀))
25 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
26 cntop2 23158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ Top)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
28 toptopon2 22833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ Top ↔ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀))
30 cnf2 23166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑀) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
318, 29, 25, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
3222fmpt 7120 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀)
3433adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ βˆͺ 𝑀)
3524, 34, 17rspcdva 3610 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
3622, 23, 17, 35fvmptd3 7028 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π΄) = 𝐢)
3721, 36eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)) = 𝐢)
38 opelxpi 5715 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
39 fvco3 6997 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
4011, 38, 39syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
41 df-ov 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)𝑦) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
42 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)
4342ovmpt4g 7568 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)𝑦) = 𝐢)
442, 3, 35, 43syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)𝑦) = 𝐢)
4541, 44eqtr3id 2782 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = 𝐢)
4637, 40, 453eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
4746ralrimivva 3197 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
48 nfv 1910 . . . . . 6 β„²π‘’βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
49 nfcv 2899 . . . . . . 7 β„²π‘₯π‘Œ
50 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
51 nfmpo1 7500 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
5250, 51nfco 5868 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
53 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©
5452, 53nffv 6907 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
55 nfmpo1 7500 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)
5655, 53nffv 6907 . . . . . . . 8 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
5754, 56nfeq 2913 . . . . . . 7 β„²π‘₯(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
5849, 57nfralw 3305 . . . . . 6 β„²π‘₯βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
59 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑣(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
60 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)
61 nfmpo2 7501 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
6260, 61nfco 5868 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
63 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘¦βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©
6462, 63nffv 6907 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)
65 nfmpo2 7501 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)
6665, 63nffv 6907 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)
6764, 66nfeq 2913 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)
68 opeq2 4875 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© = ⟨π‘₯, π‘£βŸ©)
6968fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©))
7068fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©))
7169, 70eqeq12d 2744 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©)))
7259, 67, 71cbvralw 3300 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©))
73 opeq1 4874 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ⟨π‘₯, π‘£βŸ© = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
7473fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
7573fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
7674, 75eqeq12d 2744 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
7776ralbidv 3174 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘£βŸ©) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
7872, 77bitrid 283 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
7948, 58, 78cbvralw 3300 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
8047, 79sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
81 fveq2 6897 . . . . . 6 (𝑀 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
82 fveq2 6897 . . . . . 6 (𝑀 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
8381, 82eqeq12d 2744 . . . . 5 (𝑀 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€) ↔ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)))
8483ralxp 5844 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
8580, 84sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€))
86 fco 6747 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβˆͺ 𝑀 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
8731, 11, 86syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
8887ffnd 6723 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ))
8935ralrimivva 3197 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀)
9042fmpo 8072 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑀 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
9189, 90sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢βˆͺ 𝑀)
9291ffnd 6723 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ))
93 eqfnfv 7040 . . . 4 ((((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€)))
9488, 92, 93syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)(((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢)β€˜π‘€)))
9585, 94mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢))
96 cnco 23183 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ (𝐿 Cn 𝑀)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
979, 25, 96syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
9895, 97eqeltrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐢) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Topctop 22808  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   Γ—t ctx 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-topgen 17425  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cn 23144  df-tx 23479
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  23589  xkofvcn  23601  xkohmeo  23732  qustgplem  24038  prdstmdd  24041  divcnOLD  24797  divcn  24799  htpycom  24915  htpycc  24919  reparphti  24936  reparphtiOLD  24937  pcocn  24957  pcohtpylem  24959  pcopt  24962  pcopt2  24963  pcoass  24964  pcorevlem  24966  dipcn  30543
  Copyright terms: Public domain W3C validator