Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxsconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxsconn 35248
Description: A convex subset of the complex numbers is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) Avoid ax-mulf 11235. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxsconn (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑦,𝐾,𝑡   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥   𝑡,𝐾   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxsconn
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.1 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 cvxpconn.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
3 cvxpconn.3 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
51, 2, 3, 4cvxpconn 35247 . 2 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
6 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾))
7 pconntop 35230 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ PConn → 𝐾 ∈ Top)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ Top)
10 toptopon2 22924 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
119, 10sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
12 iiuni 24907 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) = II
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 𝐾 = 𝐾
1412, 13cnf 23254 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
16 0elunit 13509 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
17 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
2019pcoptcl 25054 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝐾) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2111, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2221simp1d 1143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾))
23 iitopon 24905 . . . . . . . . . . 11 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
253dfii3 24909 . . . . . . . . . . . 12 II = (𝐽t (0[,]1))
263cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
28 unitsscn 13540 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
3027, 27cnmpt2nd 23677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3125, 27, 29, 25, 27, 29, 30cnmpt2res 23685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
321adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
33 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3426, 1, 33sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
354, 34eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
36 toponuni 22920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = 𝐾)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 = 𝐾)
3918, 38eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
4032, 39sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
4124, 24, 27, 40cnmpt2c 23678 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘0)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
423mpomulcn 24891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
44 oveq12 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑡𝑣 = (𝑓‘0)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑡 · (𝑓‘0)))
4524, 24, 31, 41, 27, 27, 43, 44cnmpt22 23682 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑡 · (𝑓‘0))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
46 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 1 ∈ ℂ)
4824, 24, 27, 47cnmpt2c 23678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
493subcn 24888 . . . . . . . . . . . . 13 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5124, 24, 48, 31, 50cnmpt22f 23683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
5224, 24cnmpt1st 23676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ ((II ×t II) Cn II))
533cnfldtop 24804 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
54 cnrest2r 23295 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽))
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽)
564oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
576, 56eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
5855, 57sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
5924, 24, 52, 58cnmpt21f 23680 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓𝑧)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
60 oveq12 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑣 = (𝑓𝑧)) → (𝑢 · 𝑣) = ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))
6124, 24, 51, 59, 27, 27, 43, 60cnmpt22 23682 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
623addcn 24887 . . . . . . . . . . 11 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6424, 24, 45, 61, 63cnmpt22f 23683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
65 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑓‘0) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · (𝑓‘0)))
6665oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑓‘0) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
6766eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓‘0) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))
68 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))
6968oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
7069eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆))
7123exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
7271imp42 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7372an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7473ralrimivva 3202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7574ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7639adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
7715adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
78 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
7977, 78ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐾)
8038adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑆 = 𝐾)
8179, 80eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
8267, 70, 75, 76, 81rspc2dv 3637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8382ralrimivva 3202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
84 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8584fmpo 8093 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8683, 85sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8786frnd 6744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆)
88 cnrest2 23294 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
8926, 87, 32, 88mp3an2i 1468 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9064, 89mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆)))
914oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((II ×t II) Cn 𝐾) = ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))
9290, 91eleqtrrdi 2852 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐾))
93 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
94 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
9594oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (0 · (𝑓‘0)))
9694oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
97 1m0e1 12387 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
9896, 97eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
99 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑧 = 𝑠)
10099fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
10198, 100oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (1 · (𝑓𝑠)))
10295, 101oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
103 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) ∈ V
104102, 84, 103ovmpoa 7588 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10593, 16, 104sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10640adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
107106mul02d 11459 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓‘0)) = 0)
10826toponunii 22922 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = 𝐽
10912, 108cnf 23254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
11058, 109syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
111110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓𝑠) ∈ ℂ)
112111mullidd 11279 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
113107, 112oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) = (0 + (𝑓𝑠)))
114111addlidd 11462 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
115105, 113, 1143eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = (𝑓𝑠))
116 1elunit 13510 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
117 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
118117oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
119117oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
120 1m1e0 12338 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
121119, 120eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
122 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑧 = 𝑠)
123122fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
124121, 123oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (0 · (𝑓𝑠)))
125118, 124oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
126 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) ∈ V
127125, 84, 126ovmpoa 7588 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
12893, 116, 127sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
129106mullidd 11279 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓‘0)) = (𝑓‘0))
130111mul02d 11459 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓𝑠)) = 0)
131129, 130oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) = ((𝑓‘0) + 0))
132106addridd 11461 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (𝑓‘0))
133 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝑓‘0) ∈ V
134133fvconst2 7224 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
136132, 135eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
137128, 131, 1363eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
138 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
139138oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
140138oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
141 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 0)
142141fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘0))
143140, 142oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)))
144139, 143oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
145 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) ∈ V
146144, 84, 145ovmpoa 7588 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
14716, 93, 146sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
14828, 93sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
149 pncan3 11516 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
150148, 46, 149sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
151150oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
152 subcl 11507 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
15346, 148, 152sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
154148, 153, 106adddird 11286 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
155151, 154, 1293eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = (𝑓‘0))
156147, 155eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘0))
157 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
158157oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
159157oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
160 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 1)
161160fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘1))
162159, 161oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
163158, 162oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
164 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) ∈ V
165163, 84, 164ovmpoa 7588 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
166116, 93, 165sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
167 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
168167oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
169168oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
170155, 169, 1673eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) = (𝑓‘1))
171166, 170eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘1))
1726, 22, 92, 115, 137, 156, 171isphtpy2d 25019 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
173172ne0d 4342 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅)
174 isphtpc 25026 . . . . 5 (𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅))
1756, 22, 173, 174syl3anbrc 1344 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
176175expr 456 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
177176ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
178 issconn 35231 . 2 (𝐾 ∈ SConn ↔ (𝐾 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
1795, 177, 178sylanbrc 583 1 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  [,]cicc 13390  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  IIcii 24901  PHtpycphtpy 25000  phcphtpc 25001  PConncpconn 35224  SConncsconn 35225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pconn 35226  df-sconn 35227
This theorem is referenced by:  blsconn  35249  resconn  35251
  Copyright terms: Public domain W3C validator