Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxsconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxsconn 33837
Description: A convex subset of the complex numbers is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxsconn (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxsconn
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.1 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 cvxpconn.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
3 cvxpconn.3 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
51, 2, 3, 4cvxpconn 33836 . 2 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
6 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾))
7 pconntop 33819 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ PConn → 𝐾 ∈ Top)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ Top)
10 eqid 2736 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
1110toptopon 22266 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
129, 11sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 iiuni 24244 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) = II
1413, 10cnf 22597 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
16 0elunit 13386 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
17 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
19 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
2019pcoptcl 24384 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝐾) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2112, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2221simp1d 1142 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾))
23 iitopon 24242 . . . . . . . . . . 11 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
253dfii3 24246 . . . . . . . . . . . 12 II = (𝐽t (0[,]1))
263cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
28 unitssre 13416 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
29 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
3028, 29sstri 3953 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
3227, 27cnmpt2nd 23020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3325, 27, 31, 25, 27, 31, 32cnmpt2res 23028 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
341adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3626, 1, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
374, 36eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
38 toponuni 22263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = 𝐾)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 = 𝐾)
4118, 40eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
4234, 41sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
4324, 24, 27, 42cnmpt2c 23021 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘0)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
443mulcn 24230 . . . . . . . . . . . 12 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4624, 24, 33, 43, 45cnmpt22f 23026 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑡 · (𝑓‘0))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
47 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 1 ∈ ℂ)
4927, 27, 27, 48cnmpt2c 23021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
503subcn 24229 . . . . . . . . . . . . . 14 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5227, 27, 49, 32, 51cnmpt22f 23026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5325, 27, 31, 25, 27, 31, 52cnmpt2res 23028 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
5424, 24cnmpt1st 23019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ ((II ×t II) Cn II))
553cnfldtop 24147 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
56 cnrest2r 22638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽)
584oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
596, 58eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
6057, 59sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
6124, 24, 54, 60cnmpt21f 23023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓𝑧)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6224, 24, 53, 61, 45cnmpt22f 23026 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
633addcn 24228 . . . . . . . . . . 11 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6524, 24, 46, 62, 64cnmpt22f 23026 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6641adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
6715adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
68 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
6967, 68ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐾)
7040adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑆 = 𝐾)
7169, 70eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
7223exp2 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
7372imp42 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7473an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7574ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7675ad2ant2rl 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
77 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑓‘0) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · (𝑓‘0)))
7877oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑓‘0) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
7978eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑓‘0) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))
80 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))
8180oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8281eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆))
8379, 82rspc2va 3591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8466, 71, 76, 83syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8584ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
86 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8786fmpo 8000 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8885, 87sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8988frnd 6676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆)
90 cnrest2 22637 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9127, 89, 34, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9265, 91mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆)))
934oveq2i 7368 . . . . . . . 8 ((II ×t II) Cn 𝐾) = ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))
9492, 93eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐾))
95 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
96 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
9796oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (0 · (𝑓‘0)))
9896oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
99 1m0e1 12274 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
10098, 99eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
101 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑧 = 𝑠)
102101fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
103100, 102oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (1 · (𝑓𝑠)))
10497, 103oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
105 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) ∈ V
106104, 86, 105ovmpoa 7510 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10795, 16, 106sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10842adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
109108mul02d 11353 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓‘0)) = 0)
11026toponunii 22265 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = 𝐽
11113, 110cnf 22597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
11260, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
113112ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓𝑠) ∈ ℂ)
114113mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
115109, 114oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) = (0 + (𝑓𝑠)))
116113addid2d 11356 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
117107, 115, 1163eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = (𝑓𝑠))
118 1elunit 13387 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
119 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
120119oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
121119oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
122 1m1e0 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
123121, 122eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
124 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑧 = 𝑠)
125124fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
126123, 125oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (0 · (𝑓𝑠)))
127120, 126oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
128 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) ∈ V
129127, 86, 128ovmpoa 7510 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
13095, 118, 129sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
131108mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓‘0)) = (𝑓‘0))
132113mul02d 11353 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓𝑠)) = 0)
133131, 132oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) = ((𝑓‘0) + 0))
134108addid1d 11355 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (𝑓‘0))
135 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝑓‘0) ∈ V
136135fvconst2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
137136adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
138134, 137eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
139130, 133, 1383eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
140 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
141140oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
142140oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
143 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 0)
144143fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘0))
145142, 144oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)))
146141, 145oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
147 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) ∈ V
148146, 86, 147ovmpoa 7510 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
14916, 95, 148sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
15030, 95sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
151 pncan3 11409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
152150, 47, 151sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
153152oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
154 subcl 11400 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
15547, 150, 154sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
156150, 155, 108adddird 11180 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
157153, 156, 1313eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = (𝑓‘0))
158149, 157eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘0))
159 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
160159oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
161159oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
162 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 1)
163162fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘1))
164161, 163oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
165160, 164oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
166 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) ∈ V
167165, 86, 166ovmpoa 7510 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
168118, 95, 167sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
169 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
170169oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
171170oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
172157, 171, 1693eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) = (𝑓‘1))
173168, 172eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘1))
1746, 22, 94, 117, 139, 158, 173isphtpy2d 24350 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
175174ne0d 4295 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅)
176 isphtpc 24357 . . . . 5 (𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅))
1776, 22, 175, 176syl3anbrc 1343 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
178177expr 457 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
179178ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
180 issconn 33820 . 2 (𝐾 ∈ SConn ↔ (𝐾 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
1815, 179, 180sylanbrc 583 1 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  [,]cicc 13267  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575   ×t ctx 22911  IIcii 24238  PHtpycphtpy 24331  phcphtpc 24332  PConncpconn 33813  SConncsconn 33814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pconn 33815  df-sconn 33816
This theorem is referenced by:  blsconn  33838  resconn  33840
  Copyright terms: Public domain W3C validator