Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvxsconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxsconn 32374
Description: A convex subset of the complex numbers is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpconn.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
cvxpconn.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
cvxpconn.3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cvxpconn.4 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
cvxsconn (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑥,𝑡,𝑦,𝐾   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxsconn
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpconn.1 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 cvxpconn.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
3 cvxpconn.3 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 cvxpconn.4 . . 3 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
51, 2, 3, 4cvxpconn 32373 . 2 (𝜑𝐾 ∈ PConn)
6 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐾))
7 pconntop 32356 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ PConn → 𝐾 ∈ Top)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ Top)
10 eqid 2825 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
1110toptopon 21441 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
129, 11sylib 219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 iiuni 23404 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) = II
1413, 10cnf 21770 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
16 0elunit 12848 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
17 ffvelrn 6844 . . . . . . . 8 ((𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝐾)
19 eqid 2825 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝑓‘0)})
2019pcoptcl 23540 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ (𝑓‘0) ∈ 𝐾) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2112, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘0) = (𝑓‘0) ∧ (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘1) = (𝑓‘0)))
2221simp1d 1136 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾))
23 iitopon 23402 . . . . . . . . . . 11 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
253dfii3 23406 . . . . . . . . . . . 12 II = (𝐽t (0[,]1))
263cnfldtopon 23306 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
28 unitssre 12878 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
29 ax-resscn 10586 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
3028, 29sstri 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℂ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
3227, 27cnmpt2nd 22193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 𝑡) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3325, 27, 31, 25, 27, 31, 32cnmpt2res 22201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
341adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35 resttopon 21685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3626, 1, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
374, 36eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
38 toponuni 21438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐾)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = 𝐾)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑆 = 𝐾)
4118, 40eleqtrrd 2920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
4234, 41sseldd 3971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
4324, 24, 27, 42cnmpt2c 22194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘0)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
443mulcn 23390 . . . . . . . . . . . 12 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4624, 24, 33, 43, 45cnmpt22f 22199 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑡 · (𝑓‘0))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
47 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 1 ∈ ℂ)
4927, 27, 27, 48cnmpt2c 22194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
503subcn 23389 . . . . . . . . . . . . . 14 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5227, 27, 49, 32, 51cnmpt22f 22199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ ℂ, 𝑡 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
5325, 27, 31, 25, 27, 31, 52cnmpt2res 22201 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
5424, 24cnmpt1st 22192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ ((II ×t II) Cn II))
553cnfldtop 23307 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
56 cnrest2r 21811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (II Cn (𝐽t 𝑆)) ⊆ (II Cn 𝐽)
584oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . 14 (II Cn 𝐾) = (II Cn (𝐽t 𝑆))
596, 58syl6eleq 2927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn (𝐽t 𝑆)))
6057, 59sseldi 3968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
6124, 24, 54, 60cnmpt21f 22196 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓𝑧)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6224, 24, 53, 61, 45cnmpt22f 22199 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
633addcn 23388 . . . . . . . . . . 11 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
6524, 24, 46, 62, 64cnmpt22f 22199 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6641adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓‘0) ∈ 𝑆)
6715adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ 𝐾)
68 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
6967, 68ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝐾)
7040adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑆 = 𝐾)
7169, 70eleqtrrd 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
7223exp2 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆 → (𝑡 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))))
7372imp42 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7473an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7574ralrimivva 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
7675ad2ant2rl 745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆)
77 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑓‘0) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · (𝑓‘0)))
7877oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑓‘0) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
7978eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑓‘0) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆))
80 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))
8180oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑧) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8281eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆))
8379, 82rspc2va 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8466, 71, 76, 83syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
8584ralrimivva 3195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆)
86 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))
8786fmpo 7760 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8885, 87sylib 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝑆)
8988frnd 6517 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆)
90 cnrest2 21810 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9127, 89, 34, 90syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → ((𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))))
9265, 91mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆)))
934oveq2i 7162 . . . . . . . 8 ((II ×t II) Cn 𝐾) = ((II ×t II) Cn (𝐽t 𝑆))
9492, 93syl6eleqr 2928 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐾))
95 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
96 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
9796oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (0 · (𝑓‘0)))
9896oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
99 1m0e1 11750 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
10098, 99syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
101 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → 𝑧 = 𝑠)
102101fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
103100, 102oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (1 · (𝑓𝑠)))
10497, 103oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 0) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
105 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) ∈ V
106104, 86, 105ovmpoa 7298 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10795, 16, 106sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))))
10842adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) ∈ ℂ)
109108mul02d 10830 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓‘0)) = 0)
11026toponunii 21440 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = 𝐽
11113, 110cnf 21770 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
11260, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓:(0[,]1)⟶ℂ)
113112ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓𝑠) ∈ ℂ)
114113mulid2d 10651 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
115109, 114oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝑓‘0)) + (1 · (𝑓𝑠))) = (0 + (𝑓𝑠)))
116113addid2d 10833 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + (𝑓𝑠)) = (𝑓𝑠))
117107, 115, 1163eqtrd 2864 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))0) = (𝑓𝑠))
118 1elunit 12849 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
119 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
120119oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
121119oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
122 1m1e0 11701 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
123121, 122syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
124 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → 𝑧 = 𝑠)
125124fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑠))
126123, 125oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = (0 · (𝑓𝑠)))
127120, 126oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑠𝑡 = 1) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
128 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) ∈ V
129127, 86, 128ovmpoa 7298 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
13095, 118, 129sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))))
131108mulid2d 10651 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝑓‘0)) = (𝑓‘0))
132113mul02d 10830 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝑓𝑠)) = 0)
133131, 132oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝑓‘0)) + (0 · (𝑓𝑠))) = ((𝑓‘0) + 0))
134108addid1d 10832 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (𝑓‘0))
135 fvex 6679 . . . . . . . . . . 11 (𝑓‘0) ∈ V
136135fvconst2 6965 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
137136adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠) = (𝑓‘0))
138134, 137eqtr4d 2863 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑓‘0) + 0) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
139130, 133, 1383eqtrd 2864 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))1) = (((0[,]1) × {(𝑓‘0)})‘𝑠))
140 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
141140oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
142140oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
143 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 0)
144143fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘0))
145142, 144oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)))
146141, 145oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
147 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) ∈ V
148146, 86, 147ovmpoa 7298 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
14916, 95, 148sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
15030, 95sseldi 3968 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
151 pncan3 10886 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
152150, 47, 151sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 + (1 − 𝑠)) = 1)
153152oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = (1 · (𝑓‘0)))
154 subcl 10877 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
15547, 150, 154sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
156150, 155, 108adddird 10658 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 + (1 − 𝑠)) · (𝑓‘0)) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))))
157153, 156, 1313eqtr3d 2868 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = (𝑓‘0))
158149, 157eqtrd 2860 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘0))
159 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑡 = 𝑠)
160159oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 · (𝑓‘0)) = (𝑠 · (𝑓‘0)))
161159oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑠))
162 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → 𝑧 = 1)
163162fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑓𝑧) = (𝑓‘1))
164161, 163oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
165160, 164oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑠) → ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
166 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) ∈ V
167165, 86, 166ovmpoa 7298 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
168118, 95, 167sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
169 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘0) = (𝑓‘1))
170169oveq2d 7167 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0)) = ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1)))
171170oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘0))) = ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))))
172157, 171, 1693eqtr3d 2868 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑠) · (𝑓‘1))) = (𝑓‘1))
173168, 172eqtrd 2860 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1(𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧))))𝑠) = (𝑓‘1))
1746, 22, 94, 117, 139, 158, 173isphtpy2d 23506 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑧 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑡 · (𝑓‘0)) + ((1 − 𝑡) · (𝑓𝑧)))) ∈ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
175174ne0d 4304 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅)
176 isphtpc 23513 . . . . 5 (𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ ((0[,]1) × {(𝑓‘0)}) ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓(PHtpy‘𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})) ≠ ∅))
1776, 22, 175, 176syl3anbrc 1337 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐾) ∧ (𝑓‘0) = (𝑓‘1))) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))
178177expr 457 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)) → ((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
179178ralrimiva 3186 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)})))
180 issconn 32357 . 2 (𝐾 ∈ SConn ↔ (𝐾 ∈ PConn ∧ ∀𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = (𝑓‘1) → 𝑓( ≃ph𝐾)((0[,]1) × {(𝑓‘0)}))))
1815, 179, 180sylanbrc 583 1 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wss 3939  c0 4294  {csn 4563   cuni 4836   class class class wbr 5062   × cxp 5551  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  [,]cicc 12734  t crest 16686  TopOpenctopn 16687  fldccnfld 20461  Topctop 21417  TopOnctopon 21434   Cn ccn 21748   ×t ctx 22084  IIcii 23398  PHtpycphtpy 23487  phcphtpc 23488  PConncpconn 32350  SConncsconn 32351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-ii 23400  df-htpy 23489  df-phtpy 23490  df-phtpc 23511  df-pconn 32352  df-sconn 32353
This theorem is referenced by:  blsconn  32375  resconn  32377
  Copyright terms: Public domain W3C validator