Theorem cpcoll2d 44283

Description: cpcolld 44282 with an extra existential quantifier. (Contributed by Rohan Ridenour, 12-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpcoll2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
cpcoll2d.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cpcoll2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cpcoll2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpcoll2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2		breq2 5146	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑎 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	cbvexvw 2035	. . 3 ⊢ (∃𝑎 𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
4	1, 3	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑥𝐹𝑎)
5		cpcoll2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥𝐹𝑎)
8	6, 7	cpcolld 44282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎)
9	2	cbvrexvw 3237	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
11	4, 10	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142   Coll ccoll 44274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-r1 9805  df-rank 9806  df-scott 44260  df-coll 44275

This theorem is referenced by:  grumnudlem  44309