Theorem cpcoll2d 45337

Description: cpcolld 45336 with an extra existential quantifier. (Contributed by Rohan Ridenour, 12-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpcoll2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
cpcoll2d.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cpcoll2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cpcoll2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpcoll2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑎 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	cbvexvw 2069	. . 3 ⊢ (∃𝑎 𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
4	1, 3	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑥𝐹𝑎)
5		cpcoll2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥𝐹𝑎)
8	6, 7	cpcolld 45336	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎)
9	2	cbvrexvw 3241	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
11	4, 10	exlimddv 1967	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   Coll ccoll 45328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-r1 9772  df-rank 9773  df-scott 9933  df-coll 45329

This theorem is used by:  grumnudlem  45363