Theorem cpcoll2d 44500

Description: cpcolld 44499 with an extra existential quantifier. (Contributed by Rohan Ridenour, 12-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpcoll2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
cpcoll2d.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cpcoll2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cpcoll2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpcoll2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2		breq2 5102	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑎 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	cbvexvw 2038	. . 3 ⊢ (∃𝑎 𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
4	1, 3	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑥𝐹𝑎)
5		cpcoll2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥𝐹𝑎)
8	6, 7	cpcolld 44499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎)
9	2	cbvrexvw 3215	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
11	4, 10	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098   Coll ccoll 44491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-r1 9676  df-rank 9677  df-scott 44477  df-coll 44492

This theorem is referenced by:  grumnudlem  44526