Theorem cpcoll2d 40967

Description: cpcolld 40966 with an extra existential quantifier. (Contributed by Rohan Ridenour, 12-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpcoll2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
cpcoll2d.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)

Assertion

Ref	Expression
cpcoll2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cpcoll2d

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpcoll2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2		breq2 5034	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑎 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
3	2	cbvexvw 2044	. . 3 ⊢ (∃𝑎 𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
4	1, 3	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑥𝐹𝑎)
5		cpcoll2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥 ∈ 𝐴)
7		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → 𝑥𝐹𝑎)
8	6, 7	cpcolld 40966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎)
9	2	cbvrexvw 3397	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥𝐹𝑎) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)
11	4, 10	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 Coll 𝐴)𝑥𝐹𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030   Coll ccoll 40958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-r1 9177  df-rank 9178  df-scott 40944  df-coll 40959

This theorem is referenced by:  grumnudlem  40993