Theorem 0sno 27738

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27736	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5311	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27710	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27714	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2824	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   No csur 27551   <<s csslt 27692   |s cscut 27694   0_s c0s 27734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736

This theorem is referenced by:  1sno  27739  0slt1s  27741  bday1s  27743  cuteq0  27744  cutneg  27745  cuteq1  27746  sgt0ne0  27747  made0  27785  right1s  27807  0elold  27821  addsrid  27871  addslid  27875  addsproplem2  27877  addsfo  27890  sltaddpos1d  27918  sltaddpos2d  27919  addsgt0d  27921  sltp1d  27922  negs0s  27932  negs1s  27933  negsproplem2  27935  negsproplem6  27939  negscl  27942  negsid  27947  negsdi  27956  slt0neg2d  27957  subsfo  27969  negsval2  27970  subsid1  27972  posdifsd  28001  sltsubposd  28002  subsge0d  28003  muls01  28015  mulsrid  28016  mulsproplem2  28020  mulsproplem3  28021  mulsproplem4  28022  mulsproplem5  28023  mulsproplem6  28024  mulsproplem7  28025  mulsproplem8  28026  mulscl  28037  sltmul  28039  slemuld  28041  muls02  28044  mulsgt0  28047  mulsge0d  28049  sltmulneg1d  28079  mulscan2d  28082  slemul1ad  28085  sltmul12ad  28086  muls0ord  28088  precsexlem8  28116  precsexlem9  28117  precsexlem11  28119  recsex  28121  abs0s  28144  abssnid  28145  absmuls  28146  abssge0  28147  abssneg  28149  sleabs  28150  0ons  28157  peano5n0s  28212  n0ssno  28213  0n0s  28222  peano2n0s  28223  dfn0s2  28224  n0sind  28225  n0scut  28226  n0sge0  28230  nnsgt0  28231  elnns2  28233  nnsge1  28235  nnsrecgt0d  28243  seqn0sfn  28250  n0subs  28253  eucliddivs  28265  elzs2  28287  elnnzs  28289  elznns  28290  1p1e2s  28302  twocut  28309  nohalf  28310  pw2recs  28323  pw2gt0divsd  28328  pw2ge0divsd  28329  pw2divsnegd  28332  halfcut  28333  recut  28347  0reno  28348