Theorem 0sno 27871

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27869	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5356	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27843	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27847	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2837	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   No csur 27684   <<s csslt 27825   |s cscut 27827   0_s c0s 27867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869

This theorem is referenced by:  1sno  27872  0slt1s  27874  bday1s  27876  cuteq0  27877  cuteq1  27878  sgt0ne0  27879  made0  27912  right1s  27934  0elold  27947  addsrid  27997  addslid  28001  addsproplem2  28003  addsfo  28016  sltaddpos1d  28044  sltaddpos2d  28045  addsgt0d  28047  sltp1d  28048  negs0s  28058  negs1s  28059  negsproplem2  28061  negsproplem6  28065  negscl  28068  negsid  28073  negsdi  28082  slt0neg2d  28083  subsfo  28095  negsval2  28096  subsid1  28098  posdifsd  28127  sltsubposd  28128  subsge0d  28129  muls01  28138  mulsrid  28139  mulsproplem2  28143  mulsproplem3  28144  mulsproplem4  28145  mulsproplem5  28146  mulsproplem6  28147  mulsproplem7  28148  mulsproplem8  28149  mulscl  28160  sltmul  28162  slemuld  28164  muls02  28167  mulsgt0  28170  mulsge0d  28172  sltmulneg1d  28202  mulscan2d  28205  slemul1ad  28208  sltmul12ad  28209  muls0ord  28211  precsexlem8  28238  precsexlem9  28239  precsexlem11  28241  recsex  28243  abs0s  28266  abssnid  28267  absmuls  28268  abssge0  28269  abssneg  28271  sleabs  28272  0ons  28279  om2noseqlt  28305  peano5n0s  28324  n0ssno  28325  0n0s  28334  peano2n0s  28335  dfn0s2  28336  n0sind  28337  n0scut  28338  n0sge0  28341  nnsgt0  28342  elnns2  28344  nnsge1  28346  nnsrecgt0d  28356  seqn0sfn  28357  n0subs  28360  elzs2  28385  elnnzs  28387  elznns  28388  1p1e2s  28400  nohalf  28407  cutpw2  28417  pw2bday  28418  recut  28428  0reno  28429