Theorem 0sno 27678

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27676	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5345	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27650	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27654	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2821	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ∅c0 4315  𝒫 cpw 4595   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402   No csur 27492   <<s csslt 27632   |s cscut 27634   0_s c0s 27674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27495  df-slt 27496  df-bday 27497  df-sslt 27633  df-scut 27635  df-0s 27676

This theorem is referenced by:  1sno  27679  0slt1s  27681  bday1s  27683  cuteq0  27684  cuteq1  27685  sgt0ne0  27686  made0  27719  right1s  27741  0elold  27754  addsrid  27800  addslid  27804  addsproplem2  27806  addsfo  27819  sltaddpos1d  27847  sltaddpos2d  27848  addsgt0d  27850  negs0s  27858  negsproplem2  27860  negsproplem6  27864  negscl  27867  negsid  27872  negsdi  27881  slt0neg2d  27882  negsval2  27893  subsid1  27895  posdifsd  27923  sltsubposd  27924  muls01  27931  mulsrid  27932  mulsproplem2  27936  mulsproplem3  27937  mulsproplem4  27938  mulsproplem5  27939  mulsproplem6  27940  mulsproplem7  27941  mulsproplem8  27942  mulscl  27953  sltmul  27955  slemuld  27957  muls02  27960  mulsgt0  27963  mulsge0d  27965  sltmulneg1d  27995  mulscan2d  27998  slemul1ad  28001  sltmul12ad  28002  muls0ord  28004  precsexlem8  28031  precsexlem9  28032  precsexlem11  28034  recsex  28036  abs0s  28055  abssnid  28056  absmuls  28057  abssge0  28058  abssneg  28060  sleabs  28061  0ons  28068  om2noseqlt  28091  peano5n0s  28110  n0ssno  28111  0n0s  28118  peano2n0s  28119  dfn0s2  28120  n0sind  28121  n0scut  28122  n0sge0  28125  nnsgt0  28126  elnns2  28128  nnsrecgt0d  28138  seqn0sfn  28139  recut  28143  0reno  28144