Theorem 0sno 27672

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27670	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5354	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27644	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27648	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2828	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   No csur 27486   <<s csslt 27626   |s cscut 27628   0_s c0s 27668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8472  df-2o 8473  df-no 27489  df-slt 27490  df-bday 27491  df-sslt 27627  df-scut 27629  df-0s 27670

This theorem is referenced by:  1sno  27673  0slt1s  27675  bday1s  27677  cuteq0  27678  cuteq1  27679  sgt0ne0  27680  made0  27713  right1s  27735  0elold  27748  addsrid  27794  addslid  27798  addsproplem2  27800  addsfo  27813  sltaddpos1d  27841  sltaddpos2d  27842  addsgt0d  27844  negs0s  27852  negsproplem2  27854  negsproplem6  27858  negscl  27861  negsid  27866  negsdi  27875  slt0neg2d  27876  negsval2  27887  subsid1  27889  posdifsd  27917  sltsubposd  27918  muls01  27925  mulsrid  27926  mulsproplem2  27930  mulsproplem3  27931  mulsproplem4  27932  mulsproplem5  27933  mulsproplem6  27934  mulsproplem7  27935  mulsproplem8  27936  mulscl  27947  sltmul  27949  slemuld  27951  muls02  27954  mulsgt0  27957  mulsge0d  27959  sltmulneg1d  27989  mulscan2d  27992  slemul1ad  27995  sltmul12ad  27996  muls0ord  27998  precsexlem8  28025  precsexlem9  28026  precsexlem11  28028  recsex  28030  abs0s  28049  abssnid  28050  absmuls  28051  abssge0  28052  abssneg  28054  sleabs  28055  0ons  28062  n0ssno  28076  0n0s  28083  dfn0s2  28085  n0scut  28087  n0sge0  28090  nnsgt0  28091  elnns2  28093  recut  28104  0reno  28105