Theorem 0sno 27773

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27771	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5298	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27742	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27746	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2829	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354   No csur 27581   <<s csslt 27723   |s cscut 27725   0_s c0s 27769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1o 8393  df-2o 8394  df-no 27584  df-slt 27585  df-bday 27586  df-sslt 27724  df-scut 27726  df-0s 27771

This theorem is referenced by:  1sno  27774  0slt1s  27776  bday1s  27778  cuteq0  27779  cutneg  27780  cuteq1  27781  sgt0ne0  27782  made0  27821  right1s  27844  0elold  27858  addsrid  27910  addslid  27914  addsproplem2  27916  addsfo  27929  sltaddpos1d  27957  sltaddpos2d  27958  addsgt0d  27960  sltp1d  27961  negs0s  27971  negs1s  27972  negsproplem2  27974  negsproplem6  27978  negscl  27981  negsid  27986  negsdi  27995  slt0neg2d  27996  subsfo  28008  negsval2  28009  subsid1  28011  posdifsd  28040  sltsubposd  28041  subsge0d  28042  muls01  28054  mulsrid  28055  mulsproplem2  28059  mulsproplem3  28060  mulsproplem4  28061  mulsproplem5  28062  mulsproplem6  28063  mulsproplem7  28064  mulsproplem8  28065  mulscl  28076  sltmul  28078  slemuld  28080  muls02  28083  mulsgt0  28086  mulsge0d  28088  sltmulneg1d  28118  mulscan2d  28121  slemul1ad  28124  sltmul12ad  28125  muls0ord  28127  precsexlem8  28155  precsexlem9  28156  precsexlem11  28158  recsex  28160  abs0s  28183  abssnid  28184  absmuls  28185  abssge0  28186  abssneg  28188  sleabs  28189  0ons  28196  peano5n0s  28251  n0ssno  28252  0n0s  28261  peano2n0s  28262  dfn0s2  28263  n0sind  28264  n0scut  28265  n0sge0  28269  nnsgt0  28270  elnns2  28272  nnsge1  28274  nnsrecgt0d  28282  seqn0sfn  28289  n0subs  28292  eucliddivs  28304  elzs2  28326  elnnzs  28328  elznns  28329  1p1e2s  28342  twocut  28349  nohalf  28350  pw2recs  28364  pw2gt0divsd  28371  pw2ge0divsd  28372  pw2divsnegd  28375  halfcut  28381  recut  28401  0reno  28402