Theorem 0sno 27316

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27314	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5353	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27288	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27292	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2829	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405   No csur 27132   <<s csslt 27271   |s cscut 27273   0_s c0s 27312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27135  df-slt 27136  df-bday 27137  df-sslt 27272  df-scut 27274  df-0s 27314

This theorem is referenced by:  1sno  27317  0slt1s  27319  bday1s  27321  cuteq0  27322  cuteq1  27323  sgt0ne0  27324  made0  27357  right1s  27379  0elold  27391  addsrid  27437  addslid  27441  addsproplem2  27443  addsfo  27456  negs0s  27490  negsproplem2  27492  negsproplem6  27496  negscl  27499  negsid  27504  negsdi  27513  slt0neg2d  27514  subsid1  27525  posdifsd  27550  muls01  27557  mulsrid  27558  mulsproplem2  27562  mulsproplem3  27563  mulsproplem4  27564  mulsproplem5  27565  mulsproplem6  27566  mulsproplem7  27567  mulsproplem8  27568  mulscl  27579  sltmul  27581  slemuld  27583  muls02  27586  mulsgt0  27589  sltmulneg1d  27617  mulscan2d  27620  precsexlem8  27649  precsexlem9  27650  precsexlem11  27652  recsex  27654