Theorem 0sno 27752

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27750	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5350	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27724	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27728	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2825	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414   No csur 27566   <<s csslt 27706   |s cscut 27708   0_s c0s 27748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750

This theorem is referenced by:  1sno  27753  0slt1s  27755  bday1s  27757  cuteq0  27758  cuteq1  27759  sgt0ne0  27760  made0  27793  right1s  27815  0elold  27828  addsrid  27874  addslid  27878  addsproplem2  27880  addsfo  27893  sltaddpos1d  27921  sltaddpos2d  27922  addsgt0d  27924  negs0s  27932  negsproplem2  27934  negsproplem6  27938  negscl  27941  negsid  27946  negsdi  27955  slt0neg2d  27956  negsval2  27967  subsid1  27969  posdifsd  27997  sltsubposd  27998  muls01  28005  mulsrid  28006  mulsproplem2  28010  mulsproplem3  28011  mulsproplem4  28012  mulsproplem5  28013  mulsproplem6  28014  mulsproplem7  28015  mulsproplem8  28016  mulscl  28027  sltmul  28029  slemuld  28031  muls02  28034  mulsgt0  28037  mulsge0d  28039  sltmulneg1d  28069  mulscan2d  28072  slemul1ad  28075  sltmul12ad  28076  muls0ord  28078  precsexlem8  28105  precsexlem9  28106  precsexlem11  28108  recsex  28110  abs0s  28129  abssnid  28130  absmuls  28131  abssge0  28132  abssneg  28134  sleabs  28135  0ons  28142  om2noseqlt  28165  peano5n0s  28184  n0ssno  28185  0n0s  28192  peano2n0s  28193  dfn0s2  28194  n0sind  28195  n0scut  28196  n0sge0  28199  nnsgt0  28200  elnns2  28202  nnsrecgt0d  28212  seqn0sfn  28213  recut  28217  0reno  28218