Theorem 0sno 27807

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27805	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5302	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27776	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27780	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2833	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360   No csur 27611   <<s csslt 27757   |s cscut 27759   0_s c0s 27803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805

This theorem is referenced by:  1sno  27808  0slt1s  27810  bday1s  27812  cuteq0  27813  cutneg  27814  cuteq1  27815  sgt0ne0  27816  made0  27855  right1s  27878  0elold  27892  addsrid  27946  addslid  27950  addsproplem2  27952  addsfo  27965  sltaddpos1d  27993  sltaddpos2d  27994  addsgt0d  27996  sltp1d  27997  addsge01d  27998  negs0s  28008  negs1s  28009  negsproplem2  28011  negsproplem6  28015  negscl  28018  negsid  28023  negsdi  28032  slt0neg2d  28033  subsfo  28047  negsval2  28048  subsid1  28050  posdifsd  28080  sltsubposd  28081  subsge0d  28082  muls01  28094  mulsrid  28095  mulsproplem2  28099  mulsproplem3  28100  mulsproplem4  28101  mulsproplem5  28102  mulsproplem6  28103  mulsproplem7  28104  mulsproplem8  28105  mulscl  28116  sltmul  28118  slemuld  28120  muls02  28123  mulsgt0  28126  mulsge0d  28128  sltmulneg1d  28158  mulscan2d  28161  slemul1ad  28164  sltmul12ad  28165  muls0ord  28167  precsexlem8  28195  precsexlem9  28196  precsexlem11  28198  recsex  28200  abs0s  28223  abssnid  28224  absmuls  28225  abssge0  28226  abssneg  28228  sleabs  28229  0ons  28237  peano5n0s  28300  n0ssno  28301  0n0s  28310  peano2n0s  28311  dfn0s2  28312  n0sind  28313  n0scut  28314  n0sge0  28318  nnsgt0  28319  elnns2  28321  nnsge1  28323  nnsrecgt0d  28331  seqn0sfn  28339  n0subs  28342  n0slt1e0  28347  eucliddivs  28355  elzs2  28378  elnnzs  28380  elznns  28381  1p1e2s  28395  twocut  28402  nohalf  28403  pw2recs  28417  pw2gt0divsd  28424  pw2ge0divsd  28425  pw2divsnegd  28428  pw2divs0d  28434  halfcut  28437  bdaypw2n0sbndlem  28442  bdaypw2n0sbnd  28443  bdayfinbndlem1  28446  zs12bdaylem1  28449  zs12bday  28464  bdayfin  28466  recut  28473  elreno2  28474  0reno  28475  1reno  28476