Theorem 0sno 27745

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27743	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5314	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27717	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27721	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2825	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390   No csur 27558   <<s csslt 27699   |s cscut 27701   0_s c0s 27741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743

This theorem is referenced by:  1sno  27746  0slt1s  27748  bday1s  27750  cuteq0  27751  cutneg  27752  cuteq1  27753  sgt0ne0  27754  made0  27792  right1s  27814  0elold  27828  addsrid  27878  addslid  27882  addsproplem2  27884  addsfo  27897  sltaddpos1d  27925  sltaddpos2d  27926  addsgt0d  27928  sltp1d  27929  negs0s  27939  negs1s  27940  negsproplem2  27942  negsproplem6  27946  negscl  27949  negsid  27954  negsdi  27963  slt0neg2d  27964  subsfo  27976  negsval2  27977  subsid1  27979  posdifsd  28008  sltsubposd  28009  subsge0d  28010  muls01  28022  mulsrid  28023  mulsproplem2  28027  mulsproplem3  28028  mulsproplem4  28029  mulsproplem5  28030  mulsproplem6  28031  mulsproplem7  28032  mulsproplem8  28033  mulscl  28044  sltmul  28046  slemuld  28048  muls02  28051  mulsgt0  28054  mulsge0d  28056  sltmulneg1d  28086  mulscan2d  28089  slemul1ad  28092  sltmul12ad  28093  muls0ord  28095  precsexlem8  28123  precsexlem9  28124  precsexlem11  28126  recsex  28128  abs0s  28151  abssnid  28152  absmuls  28153  abssge0  28154  abssneg  28156  sleabs  28157  0ons  28164  peano5n0s  28219  n0ssno  28220  0n0s  28229  peano2n0s  28230  dfn0s2  28231  n0sind  28232  n0scut  28233  n0sge0  28237  nnsgt0  28238  elnns2  28240  nnsge1  28242  nnsrecgt0d  28250  seqn0sfn  28257  n0subs  28260  eucliddivs  28272  elzs2  28294  elnnzs  28296  elznns  28297  1p1e2s  28309  twocut  28316  nohalf  28317  pw2recs  28330  pw2gt0divsd  28335  pw2ge0divsd  28336  pw2divsnegd  28339  halfcut  28340  recut  28354  0reno  28355