Theorem 0sno 27758

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27756	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5298	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27727	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27731	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2824	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353   No csur 27567   <<s csslt 27709   |s cscut 27711   0_s c0s 27754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756

This theorem is referenced by:  1sno  27759  0slt1s  27761  bday1s  27763  cuteq0  27764  cutneg  27765  cuteq1  27766  sgt0ne0  27767  made0  27805  right1s  27828  0elold  27842  addsrid  27894  addslid  27898  addsproplem2  27900  addsfo  27913  sltaddpos1d  27941  sltaddpos2d  27942  addsgt0d  27944  sltp1d  27945  negs0s  27955  negs1s  27956  negsproplem2  27958  negsproplem6  27962  negscl  27965  negsid  27970  negsdi  27979  slt0neg2d  27980  subsfo  27992  negsval2  27993  subsid1  27995  posdifsd  28024  sltsubposd  28025  subsge0d  28026  muls01  28038  mulsrid  28039  mulsproplem2  28043  mulsproplem3  28044  mulsproplem4  28045  mulsproplem5  28046  mulsproplem6  28047  mulsproplem7  28048  mulsproplem8  28049  mulscl  28060  sltmul  28062  slemuld  28064  muls02  28067  mulsgt0  28070  mulsge0d  28072  sltmulneg1d  28102  mulscan2d  28105  slemul1ad  28108  sltmul12ad  28109  muls0ord  28111  precsexlem8  28139  precsexlem9  28140  precsexlem11  28142  recsex  28144  abs0s  28167  abssnid  28168  absmuls  28169  abssge0  28170  abssneg  28172  sleabs  28173  0ons  28180  peano5n0s  28235  n0ssno  28236  0n0s  28245  peano2n0s  28246  dfn0s2  28247  n0sind  28248  n0scut  28249  n0sge0  28253  nnsgt0  28254  elnns2  28256  nnsge1  28258  nnsrecgt0d  28266  seqn0sfn  28273  n0subs  28276  eucliddivs  28288  elzs2  28310  elnnzs  28312  elznns  28313  1p1e2s  28326  twocut  28333  nohalf  28334  pw2recs  28348  pw2gt0divsd  28355  pw2ge0divsd  28356  pw2divsnegd  28359  halfcut  28364  recut  28383  0reno  28384