Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0sno Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0sno 33666
Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
0sno 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno
StepHypRef Expression
1 df-0s 33664 . 2 0s = (∅ |s ∅)
2 0elpw 5223 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 No
3 nulssgt 33638 . . . 4 (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ∅ <<s ∅
5 scutcl 33642 . . 3 (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
64, 5ax-mp 5 . 2 (∅ |s ∅) ∈ No
71, 6eqeltri 2830 1 0s ∈ No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114  c0 4212  𝒫 cpw 4489   class class class wbr 5031  (class class class)co 7173   No csur 33489   <<s csslt 33621   |s cscut 33623   0s c0s 33662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5297  ax-un 7482
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-ord 6176  df-on 6177  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-1o 8134  df-2o 8135  df-no 33492  df-slt 33493  df-bday 33494  df-sslt 33622  df-scut 33624  df-0s 33664
This theorem is referenced by:  1sno  33667  0slt1s  33669  bday1s  33671  made0  33703  negs0s  33770  addsid1  33773
  Copyright terms: Public domain W3C validator