Theorem 0sno 27889

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27887	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5374	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27861	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27865	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2840	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448   No csur 27702   <<s csslt 27843   |s cscut 27845   0_s c0s 27885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1o 8522  df-2o 8523  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887

This theorem is referenced by:  1sno  27890  0slt1s  27892  bday1s  27894  cuteq0  27895  cuteq1  27896  sgt0ne0  27897  made0  27930  right1s  27952  0elold  27965  addsrid  28015  addslid  28019  addsproplem2  28021  addsfo  28034  sltaddpos1d  28062  sltaddpos2d  28063  addsgt0d  28065  sltp1d  28066  negs0s  28076  negs1s  28077  negsproplem2  28079  negsproplem6  28083  negscl  28086  negsid  28091  negsdi  28100  slt0neg2d  28101  subsfo  28113  negsval2  28114  subsid1  28116  posdifsd  28145  sltsubposd  28146  subsge0d  28147  muls01  28156  mulsrid  28157  mulsproplem2  28161  mulsproplem3  28162  mulsproplem4  28163  mulsproplem5  28164  mulsproplem6  28165  mulsproplem7  28166  mulsproplem8  28167  mulscl  28178  sltmul  28180  slemuld  28182  muls02  28185  mulsgt0  28188  mulsge0d  28190  sltmulneg1d  28220  mulscan2d  28223  slemul1ad  28226  sltmul12ad  28227  muls0ord  28229  precsexlem8  28256  precsexlem9  28257  precsexlem11  28259  recsex  28261  abs0s  28284  abssnid  28285  absmuls  28286  abssge0  28287  abssneg  28289  sleabs  28290  0ons  28297  om2noseqlt  28323  peano5n0s  28342  n0ssno  28343  0n0s  28352  peano2n0s  28353  dfn0s2  28354  n0sind  28355  n0scut  28356  n0sge0  28359  nnsgt0  28360  elnns2  28362  nnsge1  28364  nnsrecgt0d  28374  seqn0sfn  28375  n0subs  28378  elzs2  28403  elnnzs  28405  elznns  28406  1p1e2s  28418  nohalf  28425  cutpw2  28435  pw2bday  28436  recut  28446  0reno  28447