Theorem 0sno 27886

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27884	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5362	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27858	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27862	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2835	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   No csur 27699   <<s csslt 27840   |s cscut 27842   0_s c0s 27882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884

This theorem is referenced by:  1sno  27887  0slt1s  27889  bday1s  27891  cuteq0  27892  cuteq1  27893  sgt0ne0  27894  made0  27927  right1s  27949  0elold  27962  addsrid  28012  addslid  28016  addsproplem2  28018  addsfo  28031  sltaddpos1d  28059  sltaddpos2d  28060  addsgt0d  28062  sltp1d  28063  negs0s  28073  negs1s  28074  negsproplem2  28076  negsproplem6  28080  negscl  28083  negsid  28088  negsdi  28097  slt0neg2d  28098  subsfo  28110  negsval2  28111  subsid1  28113  posdifsd  28142  sltsubposd  28143  subsge0d  28144  muls01  28153  mulsrid  28154  mulsproplem2  28158  mulsproplem3  28159  mulsproplem4  28160  mulsproplem5  28161  mulsproplem6  28162  mulsproplem7  28163  mulsproplem8  28164  mulscl  28175  sltmul  28177  slemuld  28179  muls02  28182  mulsgt0  28185  mulsge0d  28187  sltmulneg1d  28217  mulscan2d  28220  slemul1ad  28223  sltmul12ad  28224  muls0ord  28226  precsexlem8  28253  precsexlem9  28254  precsexlem11  28256  recsex  28258  abs0s  28281  abssnid  28282  absmuls  28283  abssge0  28284  abssneg  28286  sleabs  28287  0ons  28294  om2noseqlt  28320  peano5n0s  28339  n0ssno  28340  0n0s  28349  peano2n0s  28350  dfn0s2  28351  n0sind  28352  n0scut  28353  n0sge0  28356  nnsgt0  28357  elnns2  28359  nnsge1  28361  nnsrecgt0d  28371  seqn0sfn  28372  n0subs  28375  elzs2  28400  elnnzs  28402  elznns  28403  1p1e2s  28415  nohalf  28422  cutpw2  28432  pw2bday  28433  recut  28443  0reno  28444