Theorem 0sno 27771

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0sno	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0sno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27769	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5294	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulssgt 27740	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		scutcl 27744	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2827	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346   No csur 27579   <<s csslt 27721   |s cscut 27723   0_s c0s 27767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1o 8385  df-2o 8386  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-0s 27769

This theorem is referenced by:  1sno  27772  0slt1s  27774  bday1s  27776  cuteq0  27777  cutneg  27778  cuteq1  27779  sgt0ne0  27780  made0  27819  right1s  27842  0elold  27856  addsrid  27908  addslid  27912  addsproplem2  27914  addsfo  27927  sltaddpos1d  27955  sltaddpos2d  27956  addsgt0d  27958  sltp1d  27959  negs0s  27969  negs1s  27970  negsproplem2  27972  negsproplem6  27976  negscl  27979  negsid  27984  negsdi  27993  slt0neg2d  27994  subsfo  28006  negsval2  28007  subsid1  28009  posdifsd  28038  sltsubposd  28039  subsge0d  28040  muls01  28052  mulsrid  28053  mulsproplem2  28057  mulsproplem3  28058  mulsproplem4  28059  mulsproplem5  28060  mulsproplem6  28061  mulsproplem7  28062  mulsproplem8  28063  mulscl  28074  sltmul  28076  slemuld  28078  muls02  28081  mulsgt0  28084  mulsge0d  28086  sltmulneg1d  28116  mulscan2d  28119  slemul1ad  28122  sltmul12ad  28123  muls0ord  28125  precsexlem8  28153  precsexlem9  28154  precsexlem11  28156  recsex  28158  abs0s  28181  abssnid  28182  absmuls  28183  abssge0  28184  abssneg  28186  sleabs  28187  0ons  28194  peano5n0s  28249  n0ssno  28250  0n0s  28259  peano2n0s  28260  dfn0s2  28261  n0sind  28262  n0scut  28263  n0sge0  28267  nnsgt0  28268  elnns2  28270  nnsge1  28272  nnsrecgt0d  28280  seqn0sfn  28287  n0subs  28290  eucliddivs  28302  elzs2  28324  elnnzs  28326  elznns  28327  1p1e2s  28340  twocut  28347  nohalf  28348  pw2recs  28362  pw2gt0divsd  28369  pw2ge0divsd  28370  pw2divsnegd  28373  halfcut  28379  recut  28399  0reno  28400