Theorem dalemdea 39834

Description: Lemma for dath 39908. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 11-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalemdea.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalemdea.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalemdea.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalemdea.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalemdea.d	⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
dalemdea	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalemdea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalemdea.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
2		dalema.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3		dalemc.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		dalemc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		dalemdea.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
7		dalemdea.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	dalem2 39833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂)
9	2	dalemkehl 39795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
10	2	dalempea 39798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11	2	dalemqea 39799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	2	dalemrea 39800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
13	2	dalemyeo 39804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑂)
14	4, 5, 6, 7	lplnri1 39725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) → 𝑃 ≠ 𝑄)
15	9, 10, 11, 12, 13, 14	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
17	4, 5, 16	llni2 39684	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
18	9, 10, 11, 15, 17	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
19	2	dalemsea 39801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
20	2	dalemtea 39802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
21	2	dalemuea 39803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
22	2	dalemzeo 39805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑂)
23		dalemdea.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
24	4, 5, 6, 23	lplnri1 39725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) → 𝑆 ≠ 𝑇)
25	9, 19, 20, 21, 22, 24	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑇)
26	4, 5, 16	llni2 39684	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
27	9, 19, 20, 25, 26	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
28		dalemdea.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
29	4, 28, 5, 16, 6	2llnmj 39732	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂))
30	9, 18, 27, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂))
31	8, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
32	1, 31	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  lecple 17175  joincjn 18225  meetcmee 18226  Atomscatm 39435  HLchlt 39522  LLinesclln 39663  LPlanesclpl 39664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-lat 18346  df-clat 18413  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-llines 39670  df-lplanes 39671

This theorem is referenced by:  dalemeea  39835  dalem3  39836  dalem16  39851  dalem52  39896  dalem57  39901  dalem60  39904