Theorem dalemdea 37413

Description: Lemma for dath 37487. Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 11-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalemdea.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalemdea.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalemdea.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalemdea.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalemdea.d	⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
dalemdea	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalemdea

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalemdea.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
2		dalema.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3		dalemc.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		dalemc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		dalemdea.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
7		dalemdea.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	dalem2 37412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂)
9	2	dalemkehl 37374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
10	2	dalempea 37377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11	2	dalemqea 37378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	2	dalemrea 37379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
13	2	dalemyeo 37383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑂)
14	4, 5, 6, 7	lplnri1 37304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ 𝑂) → 𝑃 ≠ 𝑄)
15	9, 10, 11, 12, 13, 14	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
17	4, 5, 16	llni2 37263	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
18	9, 10, 11, 15, 17	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
19	2	dalemsea 37380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
20	2	dalemtea 37381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
21	2	dalemuea 37382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
22	2	dalemzeo 37384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑂)
23		dalemdea.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
24	4, 5, 6, 23	lplnri1 37304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) → 𝑆 ≠ 𝑇)
25	9, 19, 20, 21, 22, 24	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑇)
26	4, 5, 16	llni2 37263	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
27	9, 19, 20, 25, 26	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
28		dalemdea.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
29	4, 28, 5, 16, 6	2llnmj 37311	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂))
30	9, 18, 27, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂))
31	8, 30	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
32	1, 31	eqeltrid 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  meetcmee 17819  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LLinesclln 37242  LPlanesclpl 37243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250

This theorem is referenced by:  dalemeea  37414  dalem3  37415  dalem16  37430  dalem52  37475  dalem57  37480  dalem60  37483