Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfvres1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocycfvres1 32796
Description: A cyclic permutation is a cyclic shift on its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfvres1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
Proof of Theorem tocycfvres1
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 tocycfv.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 tocycfv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
51, 2, 3, 4tocycfv 32795 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
65reseq1d 5978 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š))
7 fnresi 6678 . . . 4 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š)
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
9 1zzd 12609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
10 cshwfn 14769 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
113, 9, 10syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
12 f1f1orn 6844 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
13 f1ocnv 6845 . . . . 5 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
14 f1ofn 6834 . . . . 5 (β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š β†’ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š)
154, 12, 13, 144syl 19 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š)
16 dfdm4 5892 . . . . 5 dom π‘Š = ran β—‘π‘Š
17 wrddm 14489 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
183, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
19 ssidd 4001 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2018, 19eqsstrd 4016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2116, 20eqsstrrid 4027 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
22 fnco 6666 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ∧ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
2311, 15, 21, 22syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
24 disjdifr 4468 . . . 4 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
2524a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
26 fnunres2 6661 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š ∧ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…) β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
278, 23, 25, 26syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
286, 27eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) β†Ύ ran π‘Š) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   I cid 5569  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125  β„€cz 12574  ..^cfzo 13645  β™―chash 14307  Word cword 14482   cyclShift ccsh 14756  toCycctocyc 32792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-substr 14609  df-pfx 14639  df-csh 14757  df-tocyc 32793
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem1  32840  cycpmconjslem2  32841
  Copyright terms: Public domain W3C validator