Theorem tocycfvres1 33671

Description: A cyclic permutation is a cyclic shift on its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfvres1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))

Proof of Theorem tocycfvres1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 33670	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	reseq1d 5968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ ran 𝑊))
7		fnresi 6668	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9		1zzd 12727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		cshwfn 14952	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 9, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
12		f1f1orn 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
13		f1ocnv 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
14		f1ofn 6825	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
15	4, 12, 13, 14	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
16		dfdm4 5876	. . . . 5 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
17		wrddm 14666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
18	3, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
19		ssidd 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
20	18, 19	eqsstrd 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	16, 20	eqsstrrid 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnco 6657	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
23	11, 15, 21, 22	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
24		disjdifr 4426	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
26		fnunres2 6652	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
27	8, 23, 25, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
28	6, 27	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278   I cid 5544  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6533  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201  ℤcz 12693  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658   cyclShift ccsh 14939  toCycctocyc 33667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-csh 14940  df-tocyc 33668

This theorem is used by:  cycpmconjslem1  33715  cycpmconjslem2  33716