Theorem tocycfvres1 30888

Description: A cyclic permutation is a cyclic shift on its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfvres1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))

Proof of Theorem tocycfvres1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 30887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	reseq1d 5815	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ ran 𝑊))
7		fnresi 6452	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9		1zzd 12037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		cshwfn 14195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 9, 10	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
12		f1f1orn 6606	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
13		f1ocnv 6607	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
14		f1ofn 6596	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
15	4, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
16		dfdm4 5728	. . . . 5 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
17		wrddm 13905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
19		ssidd 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
20	18, 19	eqsstrd 3926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	16, 20	eqsstrrid 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnco 6441	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
23	11, 15, 21, 22	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
24		incom 4102	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊)
25		disjdif 4361	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ∅
26	24, 25	eqtr3i 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
28		fnunres2 30524	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
29	8, 23, 27, 28	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
30	6, 29	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ ran 𝑊) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3851   ∪ cun 3852   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  ∅c0 4221   I cid 5422  ^◡ccnv 5516  dom cdm 5517  ran crn 5518   ↾ cres 5519   ∘ ccom 5521   Fn wfn 6323  –1-1→wf1 6325  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  0cc0 10560  1c1 10561  ℤcz 12005  ..^cfzo 13067  ♯chash 13725  Word cword 13898   cyclShift ccsh 14182  toCycctocyc 30884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-sup 8924  df-inf 8925  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-rp 12416  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-mod 13272  df-hash 13726  df-word 13899  df-concat 13955  df-substr 14035  df-pfx 14065  df-csh 14183  df-tocyc 30885

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem1  30932  cycpmconjslem2  30933