Theorem tocycfvres2 33080

Description: A cyclic permutation is the identity outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfvres2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))

Proof of Theorem tocycfvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 33078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	reseq1d 5926	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
7		fnresi 6610	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9		1zzd 12503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		cshwfn 14708	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
12		f1f1orn 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
13		f1ocnv 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
14		f1ofn 6764	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
15	4, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
16		dfdm4 5834	. . . . 5 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
17		wrddm 14428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
19		ssidd 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
20	18, 19	eqsstrd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	16, 20	eqsstrrid 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnco 6599	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
23	11, 15, 21, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
24		disjdifr 4420	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
26		fnunres1 6593	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
27	8, 23, 25, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
28	6, 27	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   I cid 5508  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   cyclShift ccsh 14695  toCycctocyc 33075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-csh 14696  df-tocyc 33076

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33124  cyc3conja  33126