Theorem tocycfvres2 30803

Description: A cyclic permutation is the identity outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfvres2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))

Proof of Theorem tocycfvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 30801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	reseq1d 5817	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
7		fnresi 6448	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9		1zzd 12001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		cshwfn 14154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 9, 10	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
12		f1f1orn 6601	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
13		f1ocnv 6602	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
14		f1ofn 6591	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
15	4, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
16		dfdm4 5728	. . . . 5 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
17		wrddm 13864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
19		ssidd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
20	18, 19	eqsstrd 3953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	16, 20	eqsstrrid 3964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnco 6437	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
23	11, 15, 21, 22	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
24		incom 4128	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊)
25		disjdif 4379	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ∅
26	24, 25	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
28		fnunres1 30369	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
29	8, 23, 27, 28	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
30	6, 29	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   I cid 5424  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523   Fn wfn 6319  –1-1→wf1 6321  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857   cyclShift ccsh 14141  toCycctocyc 30798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-tocyc 30799

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  30847  cyc3conja  30849