Theorem tocycfvres2 33053

Description: A cyclic permutation is the identity outside of its orbit. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfvres2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))

Proof of Theorem tocycfvres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 33051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	reseq1d 5929	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
7		fnresi 6611	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9		1zzd 12506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10		cshwfn 14707	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
11	3, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
12		f1f1orn 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
13		f1ocnv 6776	. . . . 5 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
14		f1ofn 6765	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
15	4, 12, 13, 14	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
16		dfdm4 5838	. . . . 5 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
17		wrddm 14428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
19		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
20	18, 19	eqsstrd 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
21	16, 20	eqsstrrid 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
22		fnco 6600	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
23	11, 15, 21, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
24		disjdifr 4424	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
26		fnunres1 6594	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
27	8, 23, 25, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
28	6, 27	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   I cid 5513  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6477  –1-1→wf1 6479  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   cyclShift ccsh 14694  toCycctocyc 33048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-csh 14695  df-tocyc 33049

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33097  cyc3conja  33099