Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfvlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmfvlem 32876
Description: Lemma for cycpmfv1 32877 and cycpmfv2 32878. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmfvlem.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cycpmfvlem (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
Proof of Theorem cycpmfvlem
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 tocycfv.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 tocycfv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
51, 2, 3, 4tocycfv 32873 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
65fveq1d 6893 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
7 f1oi 6871 . . . 4 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
8 f1ofn 6834 . . . 4 (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
97, 8mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
10 1zzd 12621 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
11 cshwf 14780 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
123, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
1312ffnd 6717 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
14 df-f1 6547 . . . . . . . 8 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
154, 14sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1615simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
1716funfnd 6578 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn dom β—‘π‘Š)
18 df-rn 5683 . . . . . 6 ran π‘Š = dom β—‘π‘Š
1918fneq2i 6646 . . . . 5 (β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ↔ β—‘π‘Š Fn dom β—‘π‘Š)
2017, 19sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š)
21 dfdm4 5892 . . . . . 6 dom π‘Š = ran β—‘π‘Š
2221eqimss2i 4034 . . . . 5 ran β—‘π‘Š βŠ† dom π‘Š
23 wrdfn 14508 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
243, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2524fndmd 6653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2622, 25sseqtrid 4025 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
27 fnco 6666 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ∧ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
2813, 20, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
29 disjdifr 4468 . . . 4 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
31 cycpmfvlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
32 fnfvelrn 7084 . . . 4 ((π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)
3324, 31, 32syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)
34 fvun2 6984 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ (π‘Šβ€˜π‘) ∈ ran π‘Š)) β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
359, 28, 30, 33, 34syl112anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
366, 35eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)) = (((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)β€˜(π‘Šβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   I cid 5569  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137  β„€cz 12586  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319  Word cword 14494   cyclShift ccsh 14768  toCycctocyc 32870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-csh 14769  df-tocyc 32871
This theorem is referenced by:  cycpmfv1  32877  cycpmfv2  32878
  Copyright terms: Public domain W3C validator