Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmfvlem 30811
 Description: Lemma for cycpmfv1 30812 and cycpmfv2 30813. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmfvlem.1 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cycpmfvlem (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)))

Proof of Theorem cycpmfvlem
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . . 4 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 tocycfv.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 tocycfv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . . 4 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
51, 2, 3, 4tocycfv 30808 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
65fveq1d 6647 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))‘(𝑊𝑁)))
7 f1oi 6627 . . . 4 ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
8 f1ofn 6591 . . . 4 (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
97, 8mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
10 1zzd 12003 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11 cshwf 14155 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
123, 10, 11syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
1312ffnd 6488 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14 df-f1 6329 . . . . . . . 8 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
154, 14sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
1615simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝑊)
1716funfnd 6355 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn dom 𝑊)
18 df-rn 5530 . . . . . 6 ran 𝑊 = dom 𝑊
1918fneq2i 6421 . . . . 5 (𝑊 Fn ran 𝑊𝑊 Fn dom 𝑊)
2017, 19sylibr 237 . . . 4 (𝜑𝑊 Fn ran 𝑊)
21 dfdm4 5728 . . . . . 6 dom 𝑊 = ran 𝑊
2221eqimss2i 3974 . . . . 5 ran 𝑊 ⊆ dom 𝑊
23 wrdfn 13873 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
243, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2524fndmd 6427 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2622, 25sseqtrid 3967 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
27 fnco 6437 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) Fn ran 𝑊)
2813, 20, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) Fn ran 𝑊)
29 incom 4128 . . . . 5 (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊)
30 disjdif 4379 . . . . 5 (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ∅
3129, 30eqtr3i 2823 . . . 4 ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
33 cycpmfvlem.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
34 fnfvelrn 6825 . . . 4 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)
3524, 33, 34syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)
36 fvun2 6730 . . 3 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ (𝑊𝑁) ∈ ran 𝑊)) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))‘(𝑊𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)))
379, 28, 32, 35, 36syl112anc 1371 . 2 (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))‘(𝑊𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)))
386, 37eqtrd 2833 1 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘(𝑊𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)‘(𝑊𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   I cid 5424  ◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10528  1c1 10529  ℤcz 11971  ..^cfzo 13030  ♯chash 13688  Word cword 13859   cyclShift ccsh 14143  toCycctocyc 30805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-hash 13689  df-word 13860  df-concat 13916  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-csh 14144  df-tocyc 30806 This theorem is referenced by:  cycpmfv1  30812  cycpmfv2  30813
 Copyright terms: Public domain W3C validator