Theorem cycpmfvlem 31098

Description: Lemma for cycpmfv1 31099 and cycpmfv2 31100. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))

Assertion

Ref	Expression
cycpmfvlem	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))

Proof of Theorem cycpmfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 31095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	fveq1d 6719	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘(𝑊‘𝑁)))
7		f1oi 6698	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
8		f1ofn 6662	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
10		1zzd 12208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		cshwf 14365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
12	3, 10, 11	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
13	12	ffnd 6546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14		df-f1 6385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	4, 14	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
16	15	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
17	16	funfnd 6411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
18		df-rn 5562	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
19	18	fneq2i 6477	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊 Fn ran 𝑊 ↔ ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
20	17, 19	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
21		dfdm4 5764	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
22	21	eqimss2i 3960	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑊 ⊆ dom 𝑊
23		wrdfn 14083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	fndmd 6483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	22, 25	sseqtrid 3953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
27		fnco 6494	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
28	13, 20, 26, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
29		disjdifr 4387	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
31		cycpmfvlem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		fnfvelrn 6901	. . . 4 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
33	24, 31, 32	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)
34		fvun2 6803	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ (𝑊‘𝑁) ∈ ran 𝑊)) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
35	9, 28, 30, 33, 34	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))
36	6, 35	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘(𝑊‘𝑁)) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)‘(𝑊‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237   I cid 5454  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  –1-1→wf1 6377  –1-1-onto→wf1o 6379  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730  ℤcz 12176  ..^cfzo 13238  ♯chash 13896  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353  toCycctocyc 31092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-csh 14354  df-tocyc 31093

This theorem is referenced by:  cycpmfv1  31099  cycpmfv2  31100