Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmfv3 33136
Description: Values outside of the orbit are unchanged by a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmfv3.1 (𝜑𝑋𝐷)
cycpmfv3.2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cycpmfv3 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem cycpmfv3
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . . 4 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 tocycfv.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
3 tocycfv.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . . 4 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
51, 2, 3, 4tocycfv 33130 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
65fveq1d 6907 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘𝑋) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))‘𝑋))
7 f1oi 6885 . . . 4 ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
8 f1ofn 6848 . . . 4 (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
97, 8mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
10 1zzd 12650 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11 cshwf 14839 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
1312ffnd 6736 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14 df-f1 6565 . . . . . . . 8 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
154, 14sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
1615simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝑊)
1716funfnd 6596 . . . . 5 (𝜑𝑊 Fn dom 𝑊)
18 df-rn 5695 . . . . . 6 ran 𝑊 = dom 𝑊
1918fneq2i 6665 . . . . 5 (𝑊 Fn ran 𝑊𝑊 Fn dom 𝑊)
2017, 19sylibr 234 . . . 4 (𝜑𝑊 Fn ran 𝑊)
21 dfdm4 5905 . . . . . 6 dom 𝑊 = ran 𝑊
2221eqimss2i 4044 . . . . 5 ran 𝑊 ⊆ dom 𝑊
23 wrdfn 14567 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
243, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2524fndmd 6672 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2622, 25sseqtrid 4025 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
27 fnco 6685 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran 𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) Fn ran 𝑊)
2813, 20, 26, 27syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) Fn ran 𝑊)
29 disjdifr 4472 . . . 4 ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
3029a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
31 cycpmfv3.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
32 cycpmfv3.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)
3331, 32eldifd 3961 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
34 fvun1 6999 . . 3 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
359, 28, 30, 33, 34syl112anc 1375 . 2 (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
36 fvresi 7194 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
3733, 36syl 17 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
386, 35, 373eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐶𝑊)‘𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332   I cid 5576  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  ccom 5688  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  wf 6556  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157  cz 12615  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553   cyclShift ccsh 14827  toCycctocyc 33127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-csh 14828  df-tocyc 33128
This theorem is referenced by:  cycpmco2  33154  cyc2fvx  33155  cyc3co2  33161
  Copyright terms: Public domain W3C validator