Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmfv3 32865
Description: Values outside of the orbit are unchanged by a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmfv3.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
cycpmfv3.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ran π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cycpmfv3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = 𝑋)
Proof of Theorem cycpmfv3
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 tocycfv.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 tocycfv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
51, 2, 3, 4tocycfv 32859 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
65fveq1d 6904 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜π‘‹))
7 f1oi 6882 . . . 4 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
8 f1ofn 6845 . . . 4 (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
97, 8mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
10 1zzd 12633 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
11 cshwf 14792 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
123, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
1312ffnd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
14 df-f1 6558 . . . . . . . 8 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
154, 14sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1615simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
1716funfnd 6589 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn dom β—‘π‘Š)
18 df-rn 5693 . . . . . 6 ran π‘Š = dom β—‘π‘Š
1918fneq2i 6657 . . . . 5 (β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ↔ β—‘π‘Š Fn dom β—‘π‘Š)
2017, 19sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š)
21 dfdm4 5902 . . . . . 6 dom π‘Š = ran β—‘π‘Š
2221eqimss2i 4043 . . . . 5 ran β—‘π‘Š βŠ† dom π‘Š
23 wrdfn 14520 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
243, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2524fndmd 6664 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2622, 25sseqtrid 4034 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
27 fnco 6677 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ∧ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
2813, 20, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
29 disjdifr 4476 . . . 4 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
31 cycpmfv3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
32 cycpmfv3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ran π‘Š)
3331, 32eldifd 3960 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
34 fvun1 6994 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))) β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜π‘‹) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹))
359, 28, 30, 33, 34syl112anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜π‘‹) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹))
36 fvresi 7188 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹) = 𝑋)
3733, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹) = 𝑋)
386, 35, 373eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326   I cid 5579  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149  β„€cz 12598  ..^cfzo 13669  β™―chash 14331  Word cword 14506   cyclShift ccsh 14780  toCycctocyc 32856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-csh 14781  df-tocyc 32857
This theorem is referenced by:  cycpmco2  32883  cyc2fvx  32884  cyc3co2  32890
  Copyright terms: Public domain W3C validator