Theorem cycpmfv3 33070

Description: Values outside of the orbit are unchanged by a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
cycpmfv3.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv3	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem cycpmfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 33064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	fveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋))
7		f1oi 6806	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
8		f1ofn 6769	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
10		1zzd 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		cshwf 14724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
12	3, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
13	12	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14		df-f1 6491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	4, 14	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
16	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
17	16	funfnd 6517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
18		df-rn 5634	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
19	18	fneq2i 6584	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊 Fn ran 𝑊 ↔ ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
20	17, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
21		dfdm4 5842	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
22	21	eqimss2i 3999	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑊 ⊆ dom 𝑊
23		wrdfn 14453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	fndmd 6591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	22, 25	sseqtrid 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
27		fnco 6604	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
28	13, 20, 26, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
29		disjdifr 4426	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
31		cycpmfv3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
32		cycpmfv3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)
33	31, 32	eldifd 3916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
34		fvun1 6918	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
35	9, 28, 30, 33, 34	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
36		fvresi 7113	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
37	33, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
38	6, 35, 37	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   I cid 5517  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438   cyclShift ccsh 14712  toCycctocyc 33061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-csh 14713  df-tocyc 33062

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33088  cyc2fvx  33089  cyc3co2  33095