Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmfv3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmfv3 32780
Description: Values outside of the orbit are unchanged by a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmfv3.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
cycpmfv3.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ran π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cycpmfv3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = 𝑋)
Proof of Theorem cycpmfv3
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 tocycfv.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 tocycfv.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 tocycfv.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
51, 2, 3, 4tocycfv 32774 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
65fveq1d 6887 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜π‘‹))
7 f1oi 6865 . . . 4 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
8 f1ofn 6828 . . . 4 (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
97, 8mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
10 1zzd 12597 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
11 cshwf 14756 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
123, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
1312ffnd 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
14 df-f1 6542 . . . . . . . 8 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
154, 14sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1615simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
1716funfnd 6573 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn dom β—‘π‘Š)
18 df-rn 5680 . . . . . 6 ran π‘Š = dom β—‘π‘Š
1918fneq2i 6641 . . . . 5 (β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ↔ β—‘π‘Š Fn dom β—‘π‘Š)
2017, 19sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š)
21 dfdm4 5889 . . . . . 6 dom π‘Š = ran β—‘π‘Š
2221eqimss2i 4038 . . . . 5 ran β—‘π‘Š βŠ† dom π‘Š
23 wrdfn 14484 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
243, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2524fndmd 6648 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2622, 25sseqtrid 4029 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
27 fnco 6661 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ β—‘π‘Š Fn ran π‘Š ∧ ran β—‘π‘Š βŠ† (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
2813, 20, 26, 27syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š)
29 disjdifr 4467 . . . 4 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
31 cycpmfv3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
32 cycpmfv3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ran π‘Š)
3331, 32eldifd 3954 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
34 fvun1 6976 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) Fn (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) Fn ran π‘Š ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))) β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜π‘‹) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹))
359, 28, 30, 33, 34syl112anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))β€˜π‘‹) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹))
36 fvresi 7167 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹) = 𝑋)
3733, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š))β€˜π‘‹) = 𝑋)
386, 35, 373eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   I cid 5566  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1β†’wf1 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113  β„€cz 12562  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470   cyclShift ccsh 14744  toCycctocyc 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745  df-tocyc 32772
This theorem is referenced by:  cycpmco2  32798  cyc2fvx  32799  cyc3co2  32805
  Copyright terms: Public domain W3C validator