Theorem cycpmfv3 33722

Description: Values outside of the orbit are unchanged by a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
cycpmfv3.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv3	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem cycpmfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 33716	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋))
7		f1oi 6863	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
8		f1ofn 6825	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	7, 8	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
10		1zzd 12730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		cshwf 14955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
12	3, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
13	12	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14		df-f1 6543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	4, 14	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
16	15	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
17	16	funfnd 6571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
18		df-rn 5661	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
19	18	fneq2i 6637	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊 Fn ran 𝑊 ↔ ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
20	17, 19	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
21		dfdm4 5876	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
22	21	eqimss2i 3969	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑊 ⊆ dom 𝑊
23		wrdfn 14676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	3, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	fndmd 6644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	22, 25	sseqtrid 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
27		fnco 6657	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
28	13, 20, 26, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
29		disjdifr 4426	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
31		cycpmfv3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
32		cycpmfv3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)
33	31, 32	eldifd 4050	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
34		fvun1 6976	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
35	9, 28, 30, 33, 34	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
36		fvresi 7178	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
37	33, 36	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
38	6, 35, 37	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278   I cid 5544  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  ℤcz 12696  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661   cyclShift ccsh 14943  toCycctocyc 33713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-csh 14944  df-tocyc 33714

This theorem is used by:  cycpmco2  33740  cyc2fvx  33741  cyc3co2  33747