Theorem cycpmfv3 33118

Description: Values outside of the orbit are unchanged by a cycle. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmfv3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
cycpmfv3.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cycpmfv3	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem cycpmfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		tocycfv.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		tocycfv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		tocycfv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
5	1, 2, 3, 4	tocycfv 33112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
6	5	fveq1d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋))
7		f1oi 6887	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
8		f1ofn 6850	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊))
10		1zzd 12646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
11		cshwf 14835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
12	3, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
13	12	ffnd 6738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
14		df-f1 6568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
15	4, 14	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
16	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
17	16	funfnd 6599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
18		df-rn 5700	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑊 = dom ◡𝑊
19	18	fneq2i 6667	. . . . 5 ⊢ (◡𝑊 Fn ran 𝑊 ↔ ◡𝑊 Fn dom ◡𝑊)
20	17, 19	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 Fn ran 𝑊)
21		dfdm4 5909	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑊 = ran ◡𝑊
22	21	eqimss2i 4057	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑊 ⊆ dom 𝑊
23		wrdfn 14563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25	24	fndmd 6674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
26	22, 25	sseqtrid 4048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
27		fnco 6687	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ◡𝑊 Fn ran 𝑊 ∧ ran ◡𝑊 ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
28	13, 20, 26, 27	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊)
29		disjdifr 4479	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
31		cycpmfv3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
32		cycpmfv3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ran 𝑊)
33	31, 32	eldifd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
34		fvun1 7000	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) Fn (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) Fn ran 𝑊 ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
35	9, 28, 30, 33, 34	syl112anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))‘𝑋) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋))
36		fvresi 7193	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ ran 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
37	33, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))‘𝑋) = 𝑋)
38	6, 35, 37	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   I cid 5582  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  ℤcz 12611  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823  toCycctocyc 33109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-tocyc 33110

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33136  cyc2fvx  33137  cyc3co2  33143