Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmrecnq 10127
 Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq dom *Q = Q

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 10076 . . . . . 6 *Q = ( ·Q “ {1Q})
2 cnvimass 5741 . . . . . 6 ( ·Q “ {1Q}) ⊆ dom ·Q
31, 2eqsstri 3854 . . . . 5 *Q ⊆ dom ·Q
4 mulnqf 10108 . . . . . 6 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 6303 . . . . 5 dom ·Q = (Q × Q)
63, 5sseqtri 3856 . . . 4 *Q ⊆ (Q × Q)
7 dmss 5570 . . . 4 (*Q ⊆ (Q × Q) → dom *Q ⊆ dom (Q × Q))
86, 7ax-mp 5 . . 3 dom *Q ⊆ dom (Q × Q)
9 dmxpid 5592 . . 3 dom (Q × Q) = Q
108, 9sseqtri 3856 . 2 dom *QQ
11 recclnq 10125 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
12 opelxpi 5394 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ (*Q𝑥) ∈ Q) → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
1311, 12mpdan 677 . . . . . . 7 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
14 df-ov 6927 . . . . . . . 8 (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩)
15 recidnq 10124 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = 1Q)
1614, 15syl5eqr 2828 . . . . . . 7 (𝑥Q → ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)
17 ffn 6293 . . . . . . . 8 ( ·Q :(Q × Q)⟶Q → ·Q Fn (Q × Q))
18 fniniseg 6604 . . . . . . . 8 ( ·Q Fn (Q × Q) → (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)))
194, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q))
2013, 16, 19sylanbrc 578 . . . . . 6 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}))
2120, 1syl6eleqr 2870 . . . . 5 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
22 df-br 4889 . . . . 5 (𝑥*Q(*Q𝑥) ↔ ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
2321, 22sylibr 226 . . . 4 (𝑥Q𝑥*Q(*Q𝑥))
24 vex 3401 . . . . 5 𝑥 ∈ V
25 fvex 6461 . . . . 5 (*Q𝑥) ∈ V
2624, 25breldm 5576 . . . 4 (𝑥*Q(*Q𝑥) → 𝑥 ∈ dom *Q)
2723, 26syl 17 . . 3 (𝑥Q𝑥 ∈ dom *Q)
2827ssriv 3825 . 2 Q ⊆ dom *Q
2910, 28eqssi 3837 1 dom *Q = Q
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  {csn 4398  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888   × cxp 5355  ◡ccnv 5356  dom cdm 5357   “ cima 5360   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Qcnq 10011  1Qc1q 10012   ·Q cmq 10015  *Qcrq 10016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ni 10031  df-mi 10033  df-lti 10034  df-mpq 10068  df-enq 10070  df-nq 10071  df-erq 10072  df-mq 10074  df-1nq 10075  df-rq 10076 This theorem is referenced by:  ltrnq  10138  reclem2pr  10207
 Copyright terms: Public domain W3C validator