MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmrecnq 11006
Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq dom *Q = Q

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 10955 . . . . . 6 *Q = ( ·Q “ {1Q})
2 cnvimass 6102 . . . . . 6 ( ·Q “ {1Q}) ⊆ dom ·Q
31, 2eqsstri 4030 . . . . 5 *Q ⊆ dom ·Q
4 mulnqf 10987 . . . . . 6 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 6748 . . . . 5 dom ·Q = (Q × Q)
63, 5sseqtri 4032 . . . 4 *Q ⊆ (Q × Q)
7 dmss 5916 . . . 4 (*Q ⊆ (Q × Q) → dom *Q ⊆ dom (Q × Q))
86, 7ax-mp 5 . . 3 dom *Q ⊆ dom (Q × Q)
9 dmxpid 5944 . . 3 dom (Q × Q) = Q
108, 9sseqtri 4032 . 2 dom *QQ
11 recclnq 11004 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
12 opelxpi 5726 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ (*Q𝑥) ∈ Q) → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
1311, 12mpdan 687 . . . . . . 7 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
14 df-ov 7434 . . . . . . . 8 (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩)
15 recidnq 11003 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = 1Q)
1614, 15eqtr3id 2789 . . . . . . 7 (𝑥Q → ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)
17 ffn 6737 . . . . . . . 8 ( ·Q :(Q × Q)⟶Q → ·Q Fn (Q × Q))
18 fniniseg 7080 . . . . . . . 8 ( ·Q Fn (Q × Q) → (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)))
194, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q))
2013, 16, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}))
2120, 1eleqtrrdi 2850 . . . . 5 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
22 df-br 5149 . . . . 5 (𝑥*Q(*Q𝑥) ↔ ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
2321, 22sylibr 234 . . . 4 (𝑥Q𝑥*Q(*Q𝑥))
24 vex 3482 . . . . 5 𝑥 ∈ V
25 fvex 6920 . . . . 5 (*Q𝑥) ∈ V
2624, 25breldm 5922 . . . 4 (𝑥*Q(*Q𝑥) → 𝑥 ∈ dom *Q)
2723, 26syl 17 . . 3 (𝑥Q𝑥 ∈ dom *Q)
2827ssriv 3999 . 2 Q ⊆ dom *Q
2910, 28eqssi 4012 1 dom *Q = Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Qcnq 10890  1Qc1q 10891   ·Q cmq 10894  *Qcrq 10895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-mi 10912  df-lti 10913  df-mpq 10947  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955
This theorem is referenced by:  ltrnq  11017  reclem2pr  11086
  Copyright terms: Public domain W3C validator