MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmrecnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmrecnq 11008
Description: Domain of reciprocal on positive fractions. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmrecnq dom *Q = Q

Proof of Theorem dmrecnq
StepHypRef Expression
1 df-rq 10957 . . . . . 6 *Q = ( ·Q “ {1Q})
2 cnvimass 6100 . . . . . 6 ( ·Q “ {1Q}) ⊆ dom ·Q
31, 2eqsstri 4030 . . . . 5 *Q ⊆ dom ·Q
4 mulnqf 10989 . . . . . 6 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 6747 . . . . 5 dom ·Q = (Q × Q)
63, 5sseqtri 4032 . . . 4 *Q ⊆ (Q × Q)
7 dmss 5913 . . . 4 (*Q ⊆ (Q × Q) → dom *Q ⊆ dom (Q × Q))
86, 7ax-mp 5 . . 3 dom *Q ⊆ dom (Q × Q)
9 dmxpid 5941 . . 3 dom (Q × Q) = Q
108, 9sseqtri 4032 . 2 dom *QQ
11 recclnq 11006 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
12 opelxpi 5722 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ (*Q𝑥) ∈ Q) → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
1311, 12mpdan 687 . . . . . . 7 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q))
14 df-ov 7434 . . . . . . . 8 (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩)
15 recidnq 11005 . . . . . . . 8 (𝑥Q → (𝑥 ·Q (*Q𝑥)) = 1Q)
1614, 15eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (𝑥Q → ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)
17 ffn 6736 . . . . . . . 8 ( ·Q :(Q × Q)⟶Q → ·Q Fn (Q × Q))
18 fniniseg 7080 . . . . . . . 8 ( ·Q Fn (Q × Q) → (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q)))
194, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}) ↔ (⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ (Q × Q) ∧ ( ·Q ‘⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩) = 1Q))
2013, 16, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ ( ·Q “ {1Q}))
2120, 1eleqtrrdi 2852 . . . . 5 (𝑥Q → ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
22 df-br 5144 . . . . 5 (𝑥*Q(*Q𝑥) ↔ ⟨𝑥, (*Q𝑥)⟩ ∈ *Q)
2321, 22sylibr 234 . . . 4 (𝑥Q𝑥*Q(*Q𝑥))
24 vex 3484 . . . . 5 𝑥 ∈ V
25 fvex 6919 . . . . 5 (*Q𝑥) ∈ V
2624, 25breldm 5919 . . . 4 (𝑥*Q(*Q𝑥) → 𝑥 ∈ dom *Q)
2723, 26syl 17 . . 3 (𝑥Q𝑥 ∈ dom *Q)
2827ssriv 3987 . 2 Q ⊆ dom *Q
2910, 28eqssi 4000 1 dom *Q = Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Qcnq 10892  1Qc1q 10893   ·Q cmq 10896  *Qcrq 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-mpq 10949  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957
This theorem is referenced by:  ltrnq  11019  reclem2pr  11088
  Copyright terms: Public domain W3C validator