Theorem decpmatval 22652

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power, general version for arbitrary matrices. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem decpmatval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmatval0 22651	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
2		decpmatval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		decpmatval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	matbas2i 22309	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6		elmapi 8822	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7		fdm 6697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑀 = (𝑁 × 𝑁))
8	7	dmeqd 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = dom (𝑁 × 𝑁))
9		dmxpid 5894	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑁 × 𝑁) = 𝑁
10	8, 9	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
11	5, 6, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → dom dom 𝑀 = 𝑁)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
13		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾))
14	12, 12, 13	mpoeq123dv 7464	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
15	1, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5636  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   ↑_m cmap 8799  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  coe₁cco1 22062   Mat cmat 22294   decompPMat cdecpmat 22649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mat 22295  df-decpmat 22650

This theorem is referenced by:  decpmate  22653  decpmatcl  22654  decpmatid  22657  decpmatmulsumfsupp  22660  monmatcollpw  22666  pm2mpf1  22686  mp2pm2mplem3  22695  pm2mpghm  22703  pm2mpmhmlem1  22705