Theorem decpmatval 22922

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power, general version for arbitrary matrices. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem decpmatval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmatval0 22921	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
2		decpmatval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		decpmatval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	matbas2i 22579	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6		elmapi 8842	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7		fdm 6715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑀 = (𝑁 × 𝑁))
8	7	dmeqd 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = dom (𝑁 × 𝑁))
9		dmxpid 5920	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑁 × 𝑁) = 𝑁
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
11	5, 6, 10	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → dom dom 𝑀 = 𝑁)
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
13		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾))
14	12, 12, 13	mpoeq123dv 7485	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
15	1, 14	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   × cxp 5659  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   ↑_m cmap 8820  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17264  coe₁cco1 22338   Mat cmat 22564   decompPMat cdecpmat 22919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-mat 22565  df-decpmat 22920

This theorem is referenced by:  decpmate  22923  decpmatcl  22924  decpmatid  22927  decpmatmulsumfsupp  22930  monmatcollpw  22936  pm2mpf1  22956  mp2pm2mplem3  22965  pm2mpghm  22973  pm2mpmhmlem1  22975