Theorem decpmatval 22650

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power, general version for arbitrary matrices. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem decpmatval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmatval0 22649	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
2		decpmatval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		decpmatval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	matbas2i 22307	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6		elmapi 8776	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7		fdm 6661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑀 = (𝑁 × 𝑁))
8	7	dmeqd 5848	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = dom (𝑁 × 𝑁))
9		dmxpid 5872	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑁 × 𝑁) = 𝑁
10	8, 9	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
11	5, 6, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → dom dom 𝑀 = 𝑁)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
13		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾))
14	12, 12, 13	mpoeq123dv 7424	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
15	1, 14	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5617  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351   ↑_m cmap 8753  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  coe₁cco1 22060   Mat cmat 22292   decompPMat cdecpmat 22647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-mat 22293  df-decpmat 22648

This theorem is referenced by:  decpmate  22651  decpmatcl  22652  decpmatid  22655  decpmatmulsumfsupp  22658  monmatcollpw  22664  pm2mpf1  22684  mp2pm2mplem3  22693  pm2mpghm  22701  pm2mpmhmlem1  22703