Theorem decpmatval 21914

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power, general version for arbitrary matrices. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmatval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem decpmatval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmatval0 21913	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
2		decpmatval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		decpmatval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5	2, 3, 4	matbas2i 21571	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6		elmapi 8637	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7		fdm 6609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑀 = (𝑁 × 𝑁))
8	7	dmeqd 5814	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = dom (𝑁 × 𝑁))
9		dmxpid 5839	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑁 × 𝑁) = 𝑁
10	8, 9	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
11	5, 6, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → dom dom 𝑀 = 𝑁)
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
13		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾))
14	12, 12, 13	mpoeq123dv 7350	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
15	1, 14	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   × cxp 5587  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ↑_m cmap 8615  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  coe₁cco1 21349   Mat cmat 21554   decompPMat cdecpmat 21911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555  df-decpmat 21912

This theorem is referenced by:  decpmate  21915  decpmatcl  21916  decpmatid  21919  decpmatmulsumfsupp  21922  monmatcollpw  21928  pm2mpf1  21948  mp2pm2mplem3  21957  pm2mpghm  21965  pm2mpmhmlem1  21967