Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatval 21368
 Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power, general version for arbitrary matrices. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmatval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmatval ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem decpmatval
StepHypRef Expression
1 decpmatval0 21367 . 2 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
2 decpmatval.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 decpmatval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
52, 3, 4matbas2i 21025 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6 elmapi 8415 . . . . 5 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7 fdm 6502 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑀 = (𝑁 × 𝑁))
87dmeqd 5751 . . . . . 6 (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = dom (𝑁 × 𝑁))
9 dmxpid 5777 . . . . . 6 dom (𝑁 × 𝑁) = 𝑁
108, 9syl6eq 2873 . . . . 5 (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
115, 6, 103syl 18 . . . 4 (𝑀𝐵 → dom dom 𝑀 = 𝑁)
1211adantr 484 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → dom dom 𝑀 = 𝑁)
13 eqidd 2823 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾))
1412, 12, 13mpoeq123dv 7213 . 2 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ dom dom 𝑀, 𝑗 ∈ dom dom 𝑀 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
151, 14eqtrd 2857 1 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   × cxp 5530  dom cdm 5532  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142   ↑m cmap 8393  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  coe1cco1 20805   Mat cmat 21010   decompPMat cdecpmat 21365 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-mat 21011  df-decpmat 21366 This theorem is referenced by:  decpmate  21369  decpmatcl  21370  decpmatid  21373  decpmatmulsumfsupp  21376  monmatcollpw  21382  pm2mpf1  21402  mp2pm2mplem3  21411  pm2mpghm  21419  pm2mpmhmlem1  21421
 Copyright terms: Public domain W3C validator