Theorem dstrvval 34469

Description: The value of the distribution of a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
dstrvval.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dstrvval	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem dstrvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2	1	fveq1d 6863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴))
3		dstrvval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴))
5	4	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
7		fvex 6874	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6971	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
10		dstrvprob.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
11		dstrvprob.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
12	10, 11, 3	orvcelval 34467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
13	12	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))
14	2, 9, 13	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191   E cep 5540  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  𝔅_ℝcbrsiga 34178  Probcprb 34405  rRndVarcrrv 34438  ∘_RV/𝑐corvc 34454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317  df-topgen 17413  df-top 22788  df-bases 22840  df-esum 34025  df-siga 34106  df-sigagen 34136  df-brsiga 34179  df-meas 34193  df-mbfm 34247  df-prob 34406  df-rrv 34439  df-orvc 34455

This theorem is referenced by:  dstrvprob  34470