Theorem dstrvval 33755

Description: The value of the distribution of a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
dstrvval.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dstrvval	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem dstrvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2	1	fveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴))
3		dstrvval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴))
5	4	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
7		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
10		dstrvprob.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
11		dstrvprob.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
12	10, 11, 3	orvcelval 33753	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
13	12	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))
14	2, 9, 13	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   E cep 5579  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  𝔅_ℝcbrsiga 33465  Probcprb 33692  rRndVarcrrv 33725  ∘_RV/𝑐corvc 33740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13332  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-esum 33312  df-siga 33393  df-sigagen 33423  df-brsiga 33466  df-meas 33480  df-mbfm 33534  df-prob 33693  df-rrv 33726  df-orvc 33741

This theorem is referenced by:  dstrvprob  33756