Theorem dstrvval 34893

Description: The value of the distribution of a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
dstrvval.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dstrvval	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem dstrvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2	1	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴))
3		dstrvval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴))
5	4	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
7		fvex 6901	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6996	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
9	3, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
10		dstrvprob.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
11		dstrvprob.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
12	10, 11, 3	orvcelval 34891	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
13	12	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))
14	2, 9, 13	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197   E cep 5565  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  𝔅_ℝcbrsiga 34603  Probcprb 34829  rRndVarcrrv 34862  ∘_RV/𝑐corvc 34878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ioo 13394  df-topgen 17521  df-top 23088  df-bases 23140  df-esum 34449  df-siga 34530  df-sigagen 34561  df-brsiga 34604  df-meas 34618  df-mbfm 34672  df-prob 34830  df-rrv 34863  df-orvc 34879

This theorem is used by:  dstrvprob  34894