Theorem dstrvval 35214

Description: The value of the distribution of a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
dstrvval.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dstrvval	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem dstrvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2	1	fveq1d 6918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴))
3		dstrvval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4		oveq2 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴))
5	4	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
7		fvex 6929	. . . 4 ⊢ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7024	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
9	3, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))‘𝐴) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)))
10		dstrvprob.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
11		dstrvprob.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
12	10, 11, 3	orvcelval 35212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))
13	12	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))
14	2, 9, 13	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5192   E cep 5557  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  𝔅_ℝcbrsiga 34925  Probcprb 35150  rRndVarcrrv 35183  ∘_RV/𝑐corvc 35199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ioo 13520  df-topgen 17664  df-top 23267  df-bases 23319  df-esum 34771  df-siga 34852  df-sigagen 34883  df-brsiga 34926  df-meas 34940  df-mbfm 34994  df-prob 35151  df-rrv 35184  df-orvc 35200

This theorem is used by:  dstrvprob  35215