Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 33108
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvcelel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvcelel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
41, 2, 3orrvcval4 33104 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}))
5 epelg 5543 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
76rabbidv 3418 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
8 dfin5 3923 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
10 elssuni 4903 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝔅ℝ)
11 unibrsiga 32825 . . . . . . 7 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
1210, 11sseqtrdi 3999 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
14 sseqin2 4180 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 6018 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
184, 17eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   E cep 5541  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  π”…ℝcbrsiga 32820  Probcprb 33047  rRndVarcrrv 33080  βˆ˜RV/𝑐corvc 33095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-ioo 13275  df-topgen 17332  df-top 22259  df-bases 22312  df-esum 32667  df-siga 32748  df-sigagen 32778  df-brsiga 32821  df-meas 32835  df-mbfm 32889  df-prob 33048  df-rrv 33081  df-orvc 33096
This theorem is referenced by:  orvcelel  33109  dstrvval  33110  dstrvprob  33111
  Copyright terms: Public domain W3C validator