Theorem orvcelval 34450

Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelval	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orrvcval4 34446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5		epelg 5590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rabbidv 3441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		dfin5 3971	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10		elssuni 4942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ∪ 𝔅ℝ)
11		unibrsiga 34167	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
12	10, 11	sseqtrdi 4046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		sseqin2 4231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
16	7, 9, 15	3eqtr2d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
17	16	imaeq2d 6080	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (◡𝑋 “ 𝐴))
18	4, 17	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   E cep 5588  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  𝔅_ℝcbrsiga 34162  Probcprb 34389  rRndVarcrrv 34422  ∘_RV/𝑐corvc 34437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-esum 34009  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-brsiga 34163  df-meas 34177  df-mbfm 34231  df-prob 34390  df-rrv 34423  df-orvc 34438

This theorem is referenced by:  orvcelel  34451  dstrvval  34452  dstrvprob  34453