Theorem orvcelval 32676

Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelval	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orrvcval4 32672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5		epelg 5519	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rabbidv 3411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		dfin5 3905	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10		elssuni 4884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ∪ 𝔅ℝ)
11		unibrsiga 32393	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
12	10, 11	sseqtrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		sseqin2 4161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
16	7, 9, 15	3eqtr2d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
17	16	imaeq2d 5993	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (◡𝑋 “ 𝐴))
18	4, 17	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5089   E cep 5517  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℝcr 10963  𝔅_ℝcbrsiga 32388  Probcprb 32615  rRndVarcrrv 32648  ∘_RV/𝑐corvc 32663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-ioo 13176  df-topgen 17243  df-top 22141  df-bases 22194  df-esum 32235  df-siga 32316  df-sigagen 32346  df-brsiga 32389  df-meas 32403  df-mbfm 32457  df-prob 32616  df-rrv 32649  df-orvc 32664

This theorem is referenced by:  orvcelel  32677  dstrvval  32678  dstrvprob  32679