Theorem orvcelval 34629

Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelval	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orrvcval4 34625	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5		epelg 5525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rabbidv 3397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		dfin5 3898	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10		elssuni 4882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ∪ 𝔅ℝ)
11		unibrsiga 34346	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
12	10, 11	sseqtrdi 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		sseqin2 4164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
16	7, 9, 15	3eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
17	16	imaeq2d 6019	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (◡𝑋 “ 𝐴))
18	4, 17	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   E cep 5523  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  𝔅_ℝcbrsiga 34341  Probcprb 34567  rRndVarcrrv 34600  ∘_RV/𝑐corvc 34616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-top 22869  df-bases 22921  df-esum 34188  df-siga 34269  df-sigagen 34299  df-brsiga 34342  df-meas 34356  df-mbfm 34410  df-prob 34568  df-rrv 34601  df-orvc 34617

This theorem is referenced by:  orvcelel  34630  dstrvval  34631  dstrvprob  34632