Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 34433
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvcelel.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
41, 2, 3orrvcval4 34429 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5 epelg 5600 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅 → (𝑥 E 𝐴𝑥𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 E 𝐴𝑥𝐴))
76rabbidv 3451 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
8 dfin5 3984 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
10 elssuni 4961 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅𝐴 𝔅)
11 unibrsiga 34150 . . . . . . 7 𝔅 = ℝ
1210, 11sseqtrdi 4059 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅𝐴 ⊆ ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
14 sseqin2 4244 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2786 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 6089 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (𝑋𝐴))
184, 17eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2108  {crab 3443  cin 3975  wss 3976   cuni 4931   class class class wbr 5166   E cep 5598  ccnv 5699  cima 5703  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  𝔅cbrsiga 34145  Probcprb 34372  rRndVarcrrv 34405  RV/𝑐corvc 34420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411  df-topgen 17503  df-top 22921  df-bases 22974  df-esum 33992  df-siga 34073  df-sigagen 34103  df-brsiga 34146  df-meas 34160  df-mbfm 34214  df-prob 34373  df-rrv 34406  df-orvc 34421
This theorem is referenced by:  orvcelel  34434  dstrvval  34435  dstrvprob  34436
  Copyright terms: Public domain W3C validator