Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 34024
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvcelel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvcelel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
41, 2, 3orrvcval4 34020 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}))
5 epelg 5577 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
76rabbidv 3435 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
8 dfin5 3952 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
10 elssuni 4935 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝔅ℝ)
11 unibrsiga 33741 . . . . . . 7 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
1210, 11sseqtrdi 4028 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
14 sseqin2 4211 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 6057 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
184, 17eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   E cep 5575  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  π”…ℝcbrsiga 33736  Probcprb 33963  rRndVarcrrv 33996  βˆ˜RV/𝑐corvc 34011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13352  df-topgen 17416  df-top 22783  df-bases 22836  df-esum 33583  df-siga 33664  df-sigagen 33694  df-brsiga 33737  df-meas 33751  df-mbfm 33805  df-prob 33964  df-rrv 33997  df-orvc 34012
This theorem is referenced by:  orvcelel  34025  dstrvval  34026  dstrvprob  34027
  Copyright terms: Public domain W3C validator