Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 33762
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvcelel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvcelel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
41, 2, 3orrvcval4 33758 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}))
5 epelg 5582 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
76rabbidv 3439 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
8 dfin5 3957 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
10 elssuni 4942 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝔅ℝ)
11 unibrsiga 33479 . . . . . . 7 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
1210, 11sseqtrdi 4033 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
14 sseqin2 4216 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 6060 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
184, 17eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   E cep 5580  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„cr 11112  π”…ℝcbrsiga 33474  Probcprb 33701  rRndVarcrrv 33734  βˆ˜RV/𝑐corvc 33749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-ioo 13333  df-topgen 17394  df-top 22617  df-bases 22670  df-esum 33321  df-siga 33402  df-sigagen 33432  df-brsiga 33475  df-meas 33489  df-mbfm 33543  df-prob 33702  df-rrv 33735  df-orvc 33750
This theorem is referenced by:  orvcelel  33763  dstrvval  33764  dstrvprob  33765
  Copyright terms: Public domain W3C validator