Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 33536
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvcelel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvcelel.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
41, 2, 3orrvcval4 33532 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}))
5 epelg 5581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ E 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
76rabbidv 3440 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
8 dfin5 3956 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ∈ 𝐴})
10 elssuni 4941 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝔅ℝ)
11 unibrsiga 33253 . . . . . . 7 βˆͺ 𝔅ℝ = ℝ
1210, 11sseqtrdi 4032 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅ℝ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
14 sseqin2 4215 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 6059 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ E 𝐴}) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
184, 17eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 E 𝐴) = (◑𝑋 β€œ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   E cep 5579  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  π”…ℝcbrsiga 33248  Probcprb 33475  rRndVarcrrv 33508  βˆ˜RV/𝑐corvc 33523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-ioo 13330  df-topgen 17391  df-top 22403  df-bases 22456  df-esum 33095  df-siga 33176  df-sigagen 33206  df-brsiga 33249  df-meas 33263  df-mbfm 33317  df-prob 33476  df-rrv 33509  df-orvc 33524
This theorem is referenced by:  orvcelel  33537  dstrvval  33538  dstrvprob  33539
  Copyright terms: Public domain W3C validator