Theorem orvcelval 34436

Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelval	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orrvcval4 34432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5		epelg 5524	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rabbidv 3404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		dfin5 3913	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10		elssuni 4891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ∪ 𝔅ℝ)
11		unibrsiga 34152	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
12	10, 11	sseqtrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		sseqin2 4176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
16	7, 9, 15	3eqtr2d 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
17	16	imaeq2d 6015	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (◡𝑋 “ 𝐴))
18	4, 17	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095   E cep 5522  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  𝔅_ℝcbrsiga 34147  Probcprb 34374  rRndVarcrrv 34407  ∘_RV/𝑐corvc 34423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270  df-topgen 17365  df-top 22797  df-bases 22849  df-esum 33994  df-siga 34075  df-sigagen 34105  df-brsiga 34148  df-meas 34162  df-mbfm 34216  df-prob 34375  df-rrv 34408  df-orvc 34424

This theorem is referenced by:  orvcelel  34437  dstrvval  34438  dstrvprob  34439