Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcelval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcelval 34626
Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
Assertion
Ref Expression
orvcelval (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))

Proof of Theorem orvcelval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstrvprob.2 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvcelel.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ 𝔅)
41, 2, 3orrvcval4 34622 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5 epelg 5525 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅 → (𝑥 E 𝐴𝑥𝐴))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 E 𝐴𝑥𝐴))
76rabbidv 3406 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
8 dfin5 3909 . . . . 5 (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴})
10 elssuni 4894 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔅𝐴 𝔅)
11 unibrsiga 34343 . . . . . . 7 𝔅 = ℝ
1210, 11sseqtrdi 3974 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔅𝐴 ⊆ ℝ)
133, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
14 sseqin2 4175 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
1513, 14sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
167, 9, 153eqtr2d 2777 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
1716imaeq2d 6019 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (𝑋𝐴))
184, 17eqtrd 2771 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E 𝐴) = (𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1541  wcel 2113  {crab 3399  cin 3900  wss 3901   cuni 4863   class class class wbr 5098   E cep 5523  ccnv 5623  cima 5627  cfv 6492  (class class class)co 7358  cr 11025  𝔅cbrsiga 34338  Probcprb 34564  rRndVarcrrv 34597  RV/𝑐corvc 34613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265  df-topgen 17363  df-top 22838  df-bases 22890  df-esum 34185  df-siga 34266  df-sigagen 34296  df-brsiga 34339  df-meas 34353  df-mbfm 34407  df-prob 34565  df-rrv 34598  df-orvc 34614
This theorem is referenced by:  orvcelel  34627  dstrvval  34628  dstrvprob  34629
  Copyright terms: Public domain W3C validator