Theorem efgmf 19783

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
efgmf	⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 8488	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 2o → (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o)
2		opelxpi 5699	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
3	1, 2	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
4	3	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o)
5		efgmval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6	5	fmpo 8065	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ↔ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910  ⟨cop 4600   × cxp 5660  ⟶wf 6533   ∈ cmpo 7413  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-2o 8454

This theorem is referenced by:  efgtf  19792  efgtlen  19796  efginvrel2  19797  efginvrel1  19798  efgredleme  19813  efgredlemc  19815  efgcpbllemb  19825  frgp0  19830  frgpinv  19834  vrgpinv  19839  frgpnabllem1  19943