Theorem efgmf 19863

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
efgmf	⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 8494	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 2o → (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o)
2		opelxpi 5692	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
4	3	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o)
5		efgmval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6	5	fmpo 8067	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ↔ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896  ⟨cop 4590   × cxp 5653  ⟶wf 6530   ∈ cmpo 7417  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8459  df-2o 8460

This theorem is used by:  efgtf  19872  efgtlen  19876  efginvrel2  19877  efginvrel1  19878  efgredleme  19893  efgredlemc  19895  efgcpbllemb  19905  frgp0  19910  frgpinv  19914  vrgpinv  19919  frgpnabllem1  20023