Theorem efgmf 19640

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
efgmf	⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 8428	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 2o → (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o)
2		opelxpi 5659	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
4	3	rgen2 3174	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o)
5		efgmval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6	5	fmpo 8010	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ↔ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896  ⟨cop 4584   × cxp 5620  ⟶wf 6486   ∈ cmpo 7358  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396

This theorem is referenced by:  efgtf  19649  efgtlen  19653  efginvrel2  19654  efginvrel1  19655  efgredleme  19670  efgredlemc  19672  efgcpbllemb  19682  frgp0  19687  frgpinv  19691  vrgpinv  19696  frgpnabllem1  19800