Theorem efgmf 19627

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
efgmf	⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 8444	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 2o → (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o)
2		opelxpi 5668	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
4	3	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o)
5		efgmval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6	5	fmpo 8026	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ↔ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908  ⟨cop 4591   × cxp 5629  ⟶wf 6495   ∈ cmpo 7371  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-2o 8412

This theorem is referenced by:  efgtf  19636  efgtlen  19640  efginvrel2  19641  efginvrel1  19642  efgredleme  19657  efgredlemc  19659  efgcpbllemb  19669  frgp0  19674  frgpinv  19678  vrgpinv  19683  frgpnabllem1  19787