Theorem efgmf 19683

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
efgmf	⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 8433	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 2o → (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o)
2		opelxpi 5663	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1o ∖ 𝑧) ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
3	1, 2	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2o) → ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
4	3	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o)
5		efgmval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
6	5	fmpo 8016	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2o ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ↔ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887  ⟨cop 4574   × cxp 5624  ⟶wf 6490   ∈ cmpo 7364  1_oc1o 8393  2_oc2o 8394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-fv 6502  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-1o 8400  df-2o 8401

This theorem is referenced by:  efgtf  19692  efgtlen  19696  efginvrel2  19697  efginvrel1  19698  efgredleme  19713  efgredlemc  19715  efgcpbllemb  19725  frgp0  19730  frgpinv  19734  vrgpinv  19739  frgpnabllem1  19843