Theorem efginvrel1 19798

Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efginvrel1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19783	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		revco 14871	. . . . . . 7 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
10	6, 8, 9	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11		revrev 14804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
12	4, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
13	12	coeq2d 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
14	10, 13	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
15	14	coeq2d 5849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)))
16		wrdf 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
18	17	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
19	7	efgmnvl 19784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
21	20	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
22	8	ffvelcdmi 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
23	18, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24		fcompt 7130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
25	8, 17, 24	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
26	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
27	26	feqmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀‘𝑎)))
28		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
29	23, 25, 27, 28	fmptco 7126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))))
30	17	feqmptd 6950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
31	21, 29, 30	3eqtr4d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = 𝐴)
32	15, 31	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
33	32	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34		wrdco 14868	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
35	6, 8, 34	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
36	1	efgrcl 19785	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
37	36	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
38	35, 37	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
40		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
41	1, 39, 7, 40	efginvrel2 19797	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
42	38, 41	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
43	33, 42	eqbrtrrd 5139	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   × cxp 5660   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  0cc0 11100  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550   ++ cconcat 14607   splice csplice 14786  reversecreverse 14795  ⟨“cs2 14878   ~_FG cefg 19776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14787  df-reverse 14796  df-s2 14885  df-efg 19779

This theorem is referenced by:  frgp0  19830