Theorem efginvrel1 19694

Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efginvrel1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19679	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		revco 14787	. . . . . . 7 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
10	6, 8, 9	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11		revrev 14720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
13	12	coeq2d 5804	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
14	10, 13	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
15	14	coeq2d 5804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)))
16		wrdf 14471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
18	17	ffvelcdmda 7025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
19	7	efgmnvl 19680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
21	20	mpteq2dva 5165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
22	8	ffvelcdmi 7024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24		fcompt 7075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
25	8, 17, 24	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
26	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
27	26	feqmptd 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀‘𝑎)))
28		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
29	23, 25, 27, 28	fmptco 7071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))))
30	17	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
31	21, 29, 30	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = 𝐴)
32	15, 31	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
33	32	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34		wrdco 14784	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
35	6, 8, 34	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
36	1	efgrcl 19681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
37	36	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
38	35, 37	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
40		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
41	1, 39, 7, 40	efginvrel2 19693	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
42	38, 41	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
43	33, 42	eqbrtrrd 5096	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  ⟨cop 4561  ⟨cotp 4563   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   I cid 5512   × cxp 5616   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  0cc0 11029  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523   splice csplice 14702  reversecreverse 14711  ⟨“cs2 14794   ~_FG cefg 19672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ec 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-efg 19675

This theorem is referenced by:  frgp0  19726