MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efginvrel1 18975
Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
Assertion
Ref Expression
efginvrel1 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6748 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 3912 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
43sseli 3874 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5 revcl 14215 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
87efgmf 18960 . . . . . . 7 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9 revco 14288 . . . . . . 7 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
106, 8, 9sylancl 589 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11 revrev 14221 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
1312coeq2d 5706 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀𝐴))
1410, 13eqtr3d 2776 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀𝐴))
1514coeq2d 5706 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)))
16 wrdf 13963 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
1817ffvelrnda 6864 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
197efgmnvl 18961 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))) = (𝐴𝑐))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))) = (𝐴𝑐))
2120mpteq2dva 5126 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴𝑐)))
228ffvelrni 6863 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24 fcompt 6908 . . . . . . 7 ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴𝑐))))
258, 17, 24sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴𝑐))))
268a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
2726feqmptd 6740 . . . . . 6 (𝐴𝑊𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀𝑎)))
28 fveq2 6677 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑀‘(𝐴𝑐)) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))))
2923, 25, 27, 28fmptco 6904 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐)))))
3017feqmptd 6740 . . . . 5 (𝐴𝑊𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴𝑐)))
3121, 29, 303eqtr4d 2784 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)) = 𝐴)
3215, 31eqtrd 2774 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
3332oveq2d 7189 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34 wrdco 14285 . . . . 5 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
356, 8, 34sylancl 589 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
361efgrcl 18962 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
3736simprd 499 . . . 4 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
3835, 37eleqtrrd 2837 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
40 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
411, 39, 7, 40efginvrel2 18974 . . 3 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∅)
4238, 41syl 17 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∅)
4333, 42eqbrtrrd 5055 1 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3399  cdif 3841  c0 4212  cop 4523  cotp 4525   class class class wbr 5031  cmpt 5111   I cid 5429   × cxp 5524  ccom 5530  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  cmpo 7175  1oc1o 8127  2oc2o 8128  0cc0 10618  ...cfz 12984  ..^cfzo 13127  chash 13785  Word cword 13958   ++ cconcat 14014   splice csplice 14203  reversecreverse 14212  ⟨“cs2 14295   ~FG cefg 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-ot 4526  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-2o 8135  df-er 8323  df-ec 8325  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-xnn0 12052  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-hash 13786  df-word 13959  df-lsw 14007  df-concat 14015  df-s1 14042  df-substr 14095  df-pfx 14125  df-splice 14204  df-reverse 14213  df-s2 14302  df-efg 18956
This theorem is referenced by:  frgp0  19007
  Copyright terms: Public domain W3C validator