MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efginvrel1 19560
Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
Assertion
Ref Expression
efginvrel1 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6954 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
43sseli 3974 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5 revcl 14693 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
87efgmf 19545 . . . . . . 7 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9 revco 14767 . . . . . . 7 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
106, 8, 9sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11 revrev 14699 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
1312coeq2d 5854 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀𝐴))
1410, 13eqtr3d 2773 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀𝐴))
1514coeq2d 5854 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)))
16 wrdf 14451 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
1817ffvelcdmda 7071 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
197efgmnvl 19546 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))) = (𝐴𝑐))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))) = (𝐴𝑐))
2120mpteq2dva 5241 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴𝑐)))
228ffvelcdmi 7070 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24 fcompt 7115 . . . . . . 7 ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴𝑐))))
258, 17, 24sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴𝑐))))
268a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
2726feqmptd 6946 . . . . . 6 (𝐴𝑊𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀𝑎)))
28 fveq2 6878 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑀‘(𝐴𝑐)) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))))
2923, 25, 27, 28fmptco 7111 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐)))))
3017feqmptd 6946 . . . . 5 (𝐴𝑊𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴𝑐)))
3121, 29, 303eqtr4d 2781 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)) = 𝐴)
3215, 31eqtrd 2771 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
3332oveq2d 7409 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34 wrdco 14764 . . . . 5 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
356, 8, 34sylancl 586 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
361efgrcl 19547 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
3736simprd 496 . . . 4 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
3835, 37eleqtrrd 2835 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
40 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
411, 39, 7, 40efginvrel2 19559 . . 3 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∅)
4238, 41syl 17 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∅)
4333, 42eqbrtrrd 5165 1 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  cdif 3941  c0 4318  cop 4628  cotp 4630   class class class wbr 5141  cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667  ccom 5673  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cmpo 7395  1oc1o 8441  2oc2o 8442  0cc0 11092  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  chash 14272  Word cword 14446   ++ cconcat 14502   splice csplice 14681  reversecreverse 14690  ⟨“cs2 14774   ~FG cefg 19538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-ec 8688  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-lsw 14495  df-concat 14503  df-s1 14528  df-substr 14573  df-pfx 14603  df-splice 14682  df-reverse 14691  df-s2 14781  df-efg 19541
This theorem is referenced by:  frgp0  19592
  Copyright terms: Public domain W3C validator