Theorem efginvrel1 19746

Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efginvrel1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19731	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		revco 14873	. . . . . . 7 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11		revrev 14805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
12	4, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
13	12	coeq2d 5873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
14	10, 13	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
15	14	coeq2d 5873	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)))
16		wrdf 14557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
17	4, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
18	17	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
19	7	efgmnvl 19732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
21	20	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
22	8	ffvelcdmi 7103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
23	18, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24		fcompt 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
25	8, 17, 24	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
26	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
27	26	feqmptd 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀‘𝑎)))
28		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
29	23, 25, 27, 28	fmptco 7149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))))
30	17	feqmptd 6977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
31	21, 29, 30	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = 𝐴)
32	15, 31	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
33	32	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34		wrdco 14870	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
35	6, 8, 34	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
36	1	efgrcl 19733	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
37	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
38	35, 37	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
40		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
41	1, 39, 7, 40	efginvrel2 19745	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
42	38, 41	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
43	33, 42	eqbrtrrd 5167	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  ⟨cop 4632  ⟨cotp 4634   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500  0cc0 11155  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608   splice csplice 14787  reversecreverse 14796  ⟨“cs2 14880   ~_FG cefg 19724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-efg 19727

This theorem is referenced by:  frgp0  19778