MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efginvrel1 18846
Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
Assertion
Ref Expression
efginvrel1 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∅)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6734 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 3999 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
43sseli 3961 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5 revcl 14115 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
87efgmf 18831 . . . . . . 7 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9 revco 14188 . . . . . . 7 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
106, 8, 9sylancl 588 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11 revrev 14121 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
1312coeq2d 5726 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀𝐴))
1410, 13eqtr3d 2856 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀𝐴))
1514coeq2d 5726 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)))
16 wrdf 13858 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
1817ffvelrnda 6844 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
197efgmnvl 18832 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))) = (𝐴𝑐))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))) = (𝐴𝑐))
2120mpteq2dva 5152 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴𝑐)))
228ffvelrni 6843 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24 fcompt 6888 . . . . . . 7 ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴𝑐))))
258, 17, 24sylancr 589 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝑀𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴𝑐))))
268a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
2726feqmptd 6726 . . . . . 6 (𝐴𝑊𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀𝑎)))
28 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑀‘(𝐴𝑐)) → (𝑀𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐))))
2923, 25, 27, 28fmptco 6884 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴𝑐)))))
3017feqmptd 6726 . . . . 5 (𝐴𝑊𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴𝑐)))
3121, 29, 303eqtr4d 2864 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀𝐴)) = 𝐴)
3215, 31eqtrd 2854 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
3332oveq2d 7164 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34 wrdco 14185 . . . . 5 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
356, 8, 34sylancl 588 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
361efgrcl 18833 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
3736simprd 498 . . . 4 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
3835, 37eleqtrrd 2914 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
40 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
411, 39, 7, 40efginvrel2 18845 . . 3 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∅)
4238, 41syl 17 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∅)
4333, 42eqbrtrrd 5081 1 (𝐴𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  Vcvv 3493  cdif 3931  c0 4289  cop 4565  cotp 4567   class class class wbr 5057  cmpt 5137   I cid 5452   × cxp 5546  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150  1oc1o 8087  2oc2o 8088  0cc0 10529  ...cfz 12884  ..^cfzo 13025  chash 13682  Word cword 13853   ++ cconcat 13914   splice csplice 14103  reversecreverse 14112  ⟨“cs2 14195   ~FG cefg 18824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-concat 13915  df-s1 13942  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-splice 14104  df-reverse 14113  df-s2 14202  df-efg 18827
This theorem is referenced by:  frgp0  18878
  Copyright terms: Public domain W3C validator