Theorem efginvrel1 19957

Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efginvrel1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑀(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19942	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		revco 14999	. . . . . . 7 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
10	6, 8, 9	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))
11		revrev 14930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
12	4, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐴)) = 𝐴)
13	12	coeq2d 5845	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
14	10, 13	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
15	14	coeq2d 5845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)))
16		wrdf 14676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
17	4, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o))
18	17	ffvelcdmda 7095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o))
19	7	efgmnvl 19943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))) = (𝐴‘𝑐))
21	20	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
22	8	ffvelcdmi 7094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘𝑐) ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
23	18, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) ∈ (𝐼 × 2o))
24		fcompt 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o) ∧ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
25	8, 17, 24	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
26	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
27	26	feqmptd 6964	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑀 = (𝑎 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑀‘𝑎)))
28		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑀‘(𝐴‘𝑐)) → (𝑀‘𝑎) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐))))
29	23, 25, 27, 28	fmptco 7141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑀‘(𝐴‘𝑐)))))
30	17	feqmptd 6964	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↦ (𝐴‘𝑐)))
31	21, 29, 30	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = 𝐴)
32	15, 31	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))) = 𝐴)
33	32	oveq2d 7446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) = ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴))
34		wrdco 14996	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
35	6, 8, 34	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
36	1	efgrcl 19944	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
37	36	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
38	35, 37	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
39		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
40		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
41	1, 39, 7, 40	efginvrel2 19956	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
42	38, 41	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ (𝑀 ∘ (reverse‘(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))))) ∼ ∅)
43	33, 42	eqbrtrrd 5132	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ++ 𝐴) ∼ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  1_oc1o 8483  2_oc2o 8484  0cc0 11213  ...cfz 13652  ..^cfzo 13801  ♯chash 14487  Word cword 14671   ++ cconcat 14728   splice csplice 14912  reversecreverse 14921  ⟨“cs2 15006   ~_FG cefg 19935

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-ec 8733  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-lsw 14721  df-concat 14729  df-s1 14756  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-splice 14913  df-reverse 14922  df-s2 15013  df-efg 19938

This theorem is used by:  frgp0  19989