MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efginvrel1 19637
Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
Assertion
Ref Expression
efginvrel1 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ++ 𝐴) ∼ βˆ…)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑀,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel1
Dummy variables π‘Ž 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 fviss 6958 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
31, 2eqsstri 4008 . . . . . . . . 9 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
43sseli 3970 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5 revcl 14707 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (reverseβ€˜π΄) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (reverseβ€˜π΄) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
87efgmf 19622 . . . . . . 7 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
9 revco 14781 . . . . . . 7 (((reverseβ€˜π΄) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π΄))) = (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))
106, 8, 9sylancl 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π΄))) = (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))
11 revrev 14713 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π΄)) = 𝐴)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π΄)) = 𝐴)
1312coeq2d 5852 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(reverseβ€˜π΄))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
1410, 13eqtr3d 2766 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) = (𝑀 ∘ 𝐴))
1514coeq2d 5852 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)))) = (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)))
16 wrdf 14465 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢(𝐼 Γ— 2o))
174, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢(𝐼 Γ— 2o))
1817ffvelcdmda 7076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
197efgmnvl 19623 . . . . . . 7 ((π΄β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜(π΄β€˜π‘))) = (π΄β€˜π‘))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜(π΄β€˜π‘))) = (π΄β€˜π‘))
2120mpteq2dva 5238 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄)) ↦ (π‘€β€˜(π‘€β€˜(π΄β€˜π‘)))) = (𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄)) ↦ (π΄β€˜π‘)))
228ffvelcdmi 7075 . . . . . . 7 ((π΄β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜(π΄β€˜π‘)) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ 𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘€β€˜(π΄β€˜π‘)) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
24 fcompt 7123 . . . . . . 7 ((𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄)) ↦ (π‘€β€˜(π΄β€˜π‘))))
258, 17, 24sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ 𝐴) = (𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄)) ↦ (π‘€β€˜(π΄β€˜π‘))))
268a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o))
2726feqmptd 6950 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝑀 = (π‘Ž ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (π‘€β€˜π‘Ž)))
28 fveq2 6881 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘€β€˜(π΄β€˜π‘)) β†’ (π‘€β€˜π‘Ž) = (π‘€β€˜(π‘€β€˜(π΄β€˜π‘))))
2923, 25, 27, 28fmptco 7119 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = (𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄)) ↦ (π‘€β€˜(π‘€β€˜(π΄β€˜π‘)))))
3017feqmptd 6950 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝐴 = (𝑐 ∈ (0..^(β™―β€˜π΄)) ↦ (π΄β€˜π‘)))
3121, 29, 303eqtr4d 2774 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝐴)) = 𝐴)
3215, 31eqtrd 2764 . . 3 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)))) = 𝐴)
3332oveq2d 7417 . 2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))) = ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ++ 𝐴))
34 wrdco 14778 . . . . 5 (((reverseβ€˜π΄) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
356, 8, 34sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
361efgrcl 19624 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3736simprd 495 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
3835, 37eleqtrrd 2828 . . 3 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ∈ π‘Š)
39 efgval.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
40 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
411, 39, 7, 40efginvrel2 19636 . . 3 ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ∈ π‘Š β†’ ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))) ∼ βˆ…)
4238, 41syl 17 . 2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))) ∼ βˆ…)
4333, 42eqbrtrrd 5162 1 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)) ++ 𝐴) ∼ βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937  βˆ…c0 4314  βŸ¨cop 4626  βŸ¨cotp 4628   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   Γ— cxp 5664   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1oc1o 8454  2oc2o 8455  0cc0 11105  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516   splice csplice 14695  reversecreverse 14704  βŸ¨β€œcs2 14788   ~FG cefg 19615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-ec 8700  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-efg 19618
This theorem is referenced by:  frgp0  19669
  Copyright terms: Public domain W3C validator