MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgtf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgtf 19554
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
Assertion
Ref Expression
efgtf (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜π‘‹):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Ž   𝑀,π‘Ž   𝑛,𝑏,𝑣,𝑀,𝑀   𝑇,π‘Ž,𝑏   𝑋,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   ∼ ,π‘Ž,𝑏,𝑦,𝑧   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem efgtf
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 fviss 6954 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
31, 2eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
4 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
53, 4sselid 3976 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
6 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
7 efgval2.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
87efgmf 19545 . . . . . . . . . . 11 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
98ffvelcdmi 7070 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
109ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
116, 10s2cld 14804 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
12 splcl 14684 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
135, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
141efgrcl 19547 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
1514simprd 496 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
1713, 16eleqtrrd 2835 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ π‘Š)
1817ralrimivva 3199 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))βˆ€π‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)(𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ π‘Š)
19 eqid 2731 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
2019fmpo 8036 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))βˆ€π‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)(𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ π‘Š ↔ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
2118, 20sylib 217 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
22 ovex 7426 . . . . 5 (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∈ V
2314simpld 495 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
24 2on 8462 . . . . . 6 2o ∈ On
25 xpexg 7720 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
27 xpexg 7720 . . . . 5 (((0...(β™―β€˜π‘‹)) ∈ V ∧ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V) β†’ ((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
2822, 26, 27sylancr 587 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
2921, 28fexd 7213 . . 3 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∈ V)
30 fveq2 6878 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑋 β†’ (β™―β€˜π‘’) = (β™―β€˜π‘‹))
3130oveq2d 7409 . . . . 5 (𝑒 = 𝑋 β†’ (0...(β™―β€˜π‘’)) = (0...(β™―β€˜π‘‹)))
32 eqidd 2732 . . . . 5 (𝑒 = 𝑋 β†’ (𝐼 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o))
33 oveq1 7400 . . . . 5 (𝑒 = 𝑋 β†’ (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
3431, 32, 33mpoeq123dv 7468 . . . 4 (𝑒 = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘’)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
35 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
36 oteq1 4875 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘Ž β†’ βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ© = βŸ¨π‘Ž, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)
37 oteq2 4876 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘Ž β†’ βŸ¨π‘Ž, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ© = βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)
3836, 37eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘Ž β†’ βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ© = βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)
3938oveq2d 7409 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘Ž β†’ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©) = (𝑣 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©))
40 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑏 β†’ 𝑀 = 𝑏)
41 fveq2 6878 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘€β€˜π‘€) = (π‘€β€˜π‘))
4240, 41s2eqd 14796 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑏 β†’ βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
4342oteq3d 4880 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑏 β†’ βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ© = βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)
4443oveq2d 7409 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑏 β†’ (𝑣 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©) = (𝑣 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
4539, 44cbvmpov 7488 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
46 fveq2 6878 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β™―β€˜π‘£) = (β™―β€˜π‘’))
4746oveq2d 7409 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (0...(β™―β€˜π‘£)) = (0...(β™―β€˜π‘’)))
48 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝐼 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o))
49 oveq1 7400 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
5047, 48, 49mpoeq123dv 7468 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑒 β†’ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘’)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5145, 50eqtrid 2783 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘’)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5251cbvmptv 5254 . . . . 5 (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©))) = (𝑒 ∈ π‘Š ↦ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘’)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5335, 52eqtri 2759 . . . 4 𝑇 = (𝑒 ∈ π‘Š ↦ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘’)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑒 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5434, 53fvmptg 6982 . . 3 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∈ V) β†’ (π‘‡β€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5529, 54mpdan 685 . 2 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5655feq1d 6689 . . 3 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜π‘‹):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š ↔ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
5721, 56mpbird 256 . 2 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜π‘‹):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
5855, 57jca 512 1 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜π‘‹):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3941  βŸ¨cop 4628  βŸ¨cotp 4630   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   Γ— cxp 5667  Oncon0 6353  βŸΆwf 6528  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   ∈ cmpo 7395  1oc1o 8441  2oc2o 8442  0cc0 11092  ...cfz 13466  β™―chash 14272  Word cword 14446   splice csplice 14681  βŸ¨β€œcs2 14774   ~FG cefg 19538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-concat 14503  df-s1 14528  df-substr 14573  df-pfx 14603  df-splice 14682  df-s2 14781
This theorem is referenced by:  efgtval  19555  efgval2  19556  efgtlen  19558  efginvrel2  19559  efgsp1  19569  efgredleme  19575  efgredlem  19579  efgrelexlemb  19582  efgcpbllemb  19587  frgpnabllem1  19701
  Copyright terms: Public domain W3C validator