MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgtlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgtlen 19643
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
Assertion
Ref Expression
efgtlen ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ ran (π‘‡β€˜π‘‹)) β†’ (β™―β€˜π΄) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑀,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem efgtlen
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . . . . . 8 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
51, 2, 3, 4efgtf 19639 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜π‘‹):((0...(β™―β€˜π‘‹)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
65simpld 494 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜π‘‹) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
76rneqd 5930 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ran (π‘‡β€˜π‘‹) = ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
87eleq2d 2813 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ∈ ran (π‘‡β€˜π‘‹) ↔ 𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))))
9 eqid 2726 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
10 ovex 7437 . . . . 5 (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ V
119, 10elrnmpo 7540 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)𝐴 = (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
128, 11bitrdi 287 . . 3 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ∈ ran (π‘‡β€˜π‘‹) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)𝐴 = (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
13 fviss 6961 . . . . . . . . 9 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
141, 13eqsstri 4011 . . . . . . . 8 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
15 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
1614, 15sselid 3975 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑋 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
17 elfzuz 13500 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1817ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
19 eluzfz2b 13513 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ π‘Ž ∈ (0...π‘Ž))
2018, 19sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (0...π‘Ž))
21 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)))
22 simprr 770 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
233efgmf 19630 . . . . . . . . . 10 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
2423ffvelcdmi 7078 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
2622, 25s2cld 14825 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
2716, 20, 21, 26spllen 14707 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘‹) + ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) βˆ’ (π‘Ž βˆ’ π‘Ž))))
28 s2len 14843 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = 2)
30 eluzelcn 12835 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
3231subidd 11560 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž βˆ’ π‘Ž) = 0)
3329, 32oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) βˆ’ (π‘Ž βˆ’ π‘Ž)) = (2 βˆ’ 0))
34 2cn 12288 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
3534subid1i 11533 . . . . . . . 8 (2 βˆ’ 0) = 2
3633, 35eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) βˆ’ (π‘Ž βˆ’ π‘Ž)) = 2)
3736oveq2d 7420 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘‹) + ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) βˆ’ (π‘Ž βˆ’ π‘Ž))) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2))
3827, 37eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2))
39 fveqeq2 6893 . . . . 5 (𝐴 = (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ ((β™―β€˜π΄) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2) ↔ (β™―β€˜(𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2)))
4038, 39syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝐴 = (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ (β™―β€˜π΄) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2)))
4140rexlimdvva 3205 . . 3 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜π‘‹))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)𝐴 = (𝑋 splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ (β™―β€˜π΄) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2)))
4212, 41sylbid 239 . 2 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ∈ ran (π‘‡β€˜π‘‹) β†’ (β™―β€˜π΄) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2)))
4342imp 406 1 ((𝑋 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ ran (π‘‡β€˜π‘‹)) β†’ (β™―β€˜π΄) = ((β™―β€˜π‘‹) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  βŸ¨cop 4629  βŸ¨cotp 4631   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   Γ— cxp 5667  ran crn 5670  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1oc1o 8457  2oc2o 8458  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   βˆ’ cmin 11445  2c2 12268  β„€β‰₯cuz 12823  ...cfz 13487  β™―chash 14292  Word cword 14467   splice csplice 14702  βŸ¨β€œcs2 14795   ~FG cefg 19623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-s2 14802
This theorem is referenced by:  efgsfo  19656  efgredlemg  19659  efgredlemd  19661  efgredlem  19664  frgpnabllem1  19790
  Copyright terms: Public domain W3C validator