Theorem efgtlen 19856

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))

Assertion

Ref	Expression
efgtlen	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘𝑋)) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑀(𝑦, 𝑧)   𝑋(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem efgtlen

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5	1, 2, 3, 4	efgtf 19852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ((𝑇‘𝑋) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘𝑋):((0...(♯‘𝑋)) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
6	5	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑇‘𝑋) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)))
7	6	rneqd 5922	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ran (𝑇‘𝑋) = ran (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)))
8	7	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∈ ran (𝑇‘𝑋) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩))))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩))
10		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩) ∈ V
11	9, 10	elrnmpo 7550	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋))∃𝑏 ∈ (𝐼 × 2o)𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩))
12	8, 11	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∈ ran (𝑇‘𝑋) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋))∃𝑏 ∈ (𝐼 × 2o)𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)))
13		fviss 6956	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
14	1, 13	eqsstri 3977	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
15		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑋 ∈ 𝑊)
16	14, 15	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o))
17		elfzuz 13577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
18	17	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
19		eluzfz2b 13590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑎 ∈ (0...𝑎))
20	18, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ (0...𝑎))
21		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
22		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))
23	3	efgmf 19843	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
24	23	ffvelcdmi 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀‘𝑏) ∈ (𝐼 × 2o))
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (𝑀‘𝑏) ∈ (𝐼 × 2o))
26	22, 25	s2cld 14945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
27	16, 20, 21, 26	spllen 14826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (♯‘(𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)) = ((♯‘𝑋) + ((♯‘⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩) − (𝑎 − 𝑎))))
28		s2len 14963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩) = 2
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (♯‘⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩) = 2)
30		eluzelcn 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑎 ∈ ℂ)
31	18, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ ℂ)
32	31	subidd 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (𝑎 − 𝑎) = 0)
33	29, 32	oveq12d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ((♯‘⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩) − (𝑎 − 𝑎)) = (2 − 0))
34		2cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
35	34	subid1i 11557	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 0) = 2
36	33, 35	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ((♯‘⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩) − (𝑎 − 𝑎)) = 2)
37	36	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ((♯‘𝑋) + ((♯‘⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩) − (𝑎 − 𝑎))) = ((♯‘𝑋) + 2))
38	27, 37	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (♯‘(𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)) = ((♯‘𝑋) + 2))
39		fveqeq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩) → ((♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2) ↔ (♯‘(𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩)) = ((♯‘𝑋) + 2)))
40	38, 39	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2)))
41	40	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (∃𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋))∃𝑏 ∈ (𝐼 × 2o)𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀‘𝑏)”⟩⟩) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2)))
42	12, 41	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∈ ran (𝑇‘𝑋) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2)))
43	42	imp 412	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘𝑋)) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   × cxp 5653  ran crn 5656  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  ℂcc 11125  0cc0 11127   + caddc 11130   − cmin 11468  2c2 12322  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564  ♯chash 14397  Word cword 14581   splice csplice 14821  ⟨“cs2 14915   ~_FG cefg 19836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-splice 14822  df-s2 14922

This theorem is used by:  efgsfo  19869  efgredlemg  19872  efgredlemd  19874  efgredlem  19877  frgpnabllem1  20003