MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgtlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgtlen 19724
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgtlen ((𝑋𝑊𝐴 ∈ ran (𝑇𝑋)) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑤,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem efgtlen
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . . 8 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
51, 2, 3, 4efgtf 19720 . . . . . . 7 (𝑋𝑊 → ((𝑇𝑋) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇𝑋):((0...(♯‘𝑋)) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
65simpld 493 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝑇𝑋) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)))
76rneqd 5944 . . . . 5 (𝑋𝑊 → ran (𝑇𝑋) = ran (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)))
87eleq2d 2812 . . . 4 (𝑋𝑊 → (𝐴 ∈ ran (𝑇𝑋) ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩))))
9 eqid 2726 . . . . 5 (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩))
10 ovex 7457 . . . . 5 (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩) ∈ V
119, 10elrnmpo 7562 . . . 4 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋))∃𝑏 ∈ (𝐼 × 2o)𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩))
128, 11bitrdi 286 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝐴 ∈ ran (𝑇𝑋) ↔ ∃𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋))∃𝑏 ∈ (𝐼 × 2o)𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)))
13 fviss 6979 . . . . . . . . 9 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
141, 13eqsstri 4014 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
15 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑋𝑊)
1614, 15sselid 3977 . . . . . . 7 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2o))
17 elfzuz 13551 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
1817ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
19 eluzfz2b 13564 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ‘0) ↔ 𝑎 ∈ (0...𝑎))
2018, 19sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ (0...𝑎))
21 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)))
22 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))
233efgmf 19711 . . . . . . . . . 10 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
2423ffvelcdmi 7097 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑏) ∈ (𝐼 × 2o))
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (𝑀𝑏) ∈ (𝐼 × 2o))
2622, 25s2cld 14880 . . . . . . 7 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
2716, 20, 21, 26spllen 14762 . . . . . 6 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (♯‘(𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) = ((♯‘𝑋) + ((♯‘⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩) − (𝑎𝑎))))
28 s2len 14898 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩) = 2
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (♯‘⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩) = 2)
30 eluzelcn 12886 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ‘0) → 𝑎 ∈ ℂ)
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → 𝑎 ∈ ℂ)
3231subidd 11609 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (𝑎𝑎) = 0)
3329, 32oveq12d 7442 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ((♯‘⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩) − (𝑎𝑎)) = (2 − 0))
34 2cn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3534subid1i 11582 . . . . . . . 8 (2 − 0) = 2
3633, 35eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ((♯‘⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩) − (𝑎𝑎)) = 2)
3736oveq2d 7440 . . . . . 6 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → ((♯‘𝑋) + ((♯‘⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩) − (𝑎𝑎))) = ((♯‘𝑋) + 2))
3827, 37eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (♯‘(𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) = ((♯‘𝑋) + 2))
39 fveqeq2 6910 . . . . 5 (𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩) → ((♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2) ↔ (♯‘(𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) = ((♯‘𝑋) + 2)))
4038, 39syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑋𝑊 ∧ (𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 × 2o))) → (𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2)))
4140rexlimdvva 3202 . . 3 (𝑋𝑊 → (∃𝑎 ∈ (0...(♯‘𝑋))∃𝑏 ∈ (𝐼 × 2o)𝐴 = (𝑋 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2)))
4212, 41sylbid 239 . 2 (𝑋𝑊 → (𝐴 ∈ ran (𝑇𝑋) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2)))
4342imp 405 1 ((𝑋𝑊𝐴 ∈ ran (𝑇𝑋)) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝑋) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  cdif 3944  cop 4639  cotp 4641  cmpt 5236   I cid 5579   × cxp 5680  ran crn 5683  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  1oc1o 8489  2oc2o 8490  cc 11156  0cc0 11158   + caddc 11161  cmin 11494  2c2 12319  cuz 12874  ...cfz 13538  chash 14347  Word cword 14522   splice csplice 14757  ⟨“cs2 14850   ~FG cefg 19704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-splice 14758  df-s2 14857
This theorem is referenced by:  efgsfo  19737  efgredlemg  19740  efgredlemd  19742  efgredlem  19745  frgpnabllem1  19871
  Copyright terms: Public domain W3C validator