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Theorem efgredleme 19525
Description: Lemma for efgred 19530. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
efgredlemd.9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgredleme (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredleme
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsf 19511 . . . . . . . 8 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
98fdmi 6680 . . . . . . . . 9 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
109feq2i 6660 . . . . . . . 8 (𝑆:dom 𝑆𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
118, 10mpbir 230 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆𝑊
1211ffvelcdmi 7034 . . . . . 6 (𝐶 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑊)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑊)
14 efgredlemb.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
15 elfzuz 13437 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ (ℤ‘0))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (ℤ‘0))
17 efgredlemd.sc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
1817fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
19 fviss 6918 . . . . . . . . . . . . 13 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
202, 19eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
21 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
22 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
23 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
24 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
25 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26 efgredlemb.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
27 efgredlemb.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
282, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27efgredlemf 19523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
2928simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
3020, 29sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
31 pfxcl 14565 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3328simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
3420, 33sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
35 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
37 ccatlen 14463 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
3832, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
39 pfxlen 14571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
4030, 14, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
41 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
42 uzaddcl 12829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0))
4316, 41, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0))
44 efgredlemb.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
45 elfzuz3 13438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃))
47 efgredlemd.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
48 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
4946, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
50 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ↔ ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
5143, 49, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
52 lencl 14421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
5334, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
54 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
5553, 54eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0))
56 eluzfz2 13449 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
58 swrdlen 14535 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2)))
5934, 51, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2)))
6040, 59oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (𝑄 + ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2))))
6114elfzelzd 13442 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
6261zcnd 12608 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
6353nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
64 2z 12535 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
65 zaddcl 12543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑄 + 2) ∈ ℤ)
6661, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ ℤ)
6766zcnd 12608 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ ℂ)
6862, 63, 67addsubassd 11532 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + (♯‘(𝐴𝐾))) − (𝑄 + 2)) = (𝑄 + ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2))))
69 2cn 12228 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7162, 63, 70pnpcand 11549 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + (♯‘(𝐴𝐾))) − (𝑄 + 2)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2))
7260, 68, 713eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2))
7318, 38, 723eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2))
7444elfzelzd 13442 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
75 zsubcl 12545 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 − 2) ∈ ℤ)
7674, 64, 75sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ ℤ)
7764a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
7874zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
79 npcan 11410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑃 − 2) + 2) = 𝑃)
8078, 69, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 2) + 2) = 𝑃)
8180fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2)) = (ℤ𝑃))
8246, 81eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2)))
83 eluzsub 12793 . . . . . . . . 9 (((𝑃 − 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2))) → ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
8476, 77, 82, 83syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
8573, 84eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
86 eluzsub 12793 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄))
8761, 77, 47, 86syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄))
88 uztrn 12781 . . . . . . 7 (((♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄)) → (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄))
8985, 87, 88syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄))
90 elfzuzb 13435 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄)))
9116, 89, 90sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))))
92 efgredlemb.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
932, 3, 4, 5efgtval 19505 . . . . 5 (((𝑆𝐶) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
9413, 91, 92, 93syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
95 pfxcl 14565 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
9634, 95syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
97 wrd0 14427 . . . . . 6 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
9897a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o))
994efgmf 19495 . . . . . . . 8 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
10099ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
10192, 100syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
10292, 101s2cld 14760 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
10361zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
104 nn0addge1 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → 𝑄 ≤ (𝑄 + 2))
105103, 41, 104sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑄 ≤ (𝑄 + 2))
106 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄) ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≤ (𝑄 + 2)))
10761, 66, 105, 106syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄))
108 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄)) → 𝑃 ∈ (ℤ𝑄))
10947, 107, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑄))
110 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
11116, 109, 110sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (0...𝑃))
112 ccatpfx 14589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑃))
11334, 111, 44, 112syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑃))
114113oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
115 pfxcl 14565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11634, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
117 efgredlemb.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
11899ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
120117, 119s2cld 14760 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
121 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
12234, 121syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
123 ccatass 14476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
124116, 120, 122, 123syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
125 efgredlemb.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
1262, 3, 4, 5efgtval 19505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
12733, 44, 117, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
128 splval 14639 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
12933, 44, 44, 120, 128syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
130125, 127, 1293eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
131 efgredlemb.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
1322, 3, 4, 5efgtval 19505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
13329, 14, 92, 132syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
134 splval 14639 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
13529, 14, 14, 102, 134syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
136131, 133, 1353eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐵) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
13724, 130, 1363eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
138114, 124, 1373eqtr2d 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
139 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
14034, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
141 ccatcl 14462 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
142120, 122, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
143 ccatass 14476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
14496, 140, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
145 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
14630, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
147 ccatass 14476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
14832, 102, 146, 147syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
149138, 144, 1483eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
150 ccatcl 14462 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
151140, 142, 150syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
152 ccatcl 14462 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
153102, 146, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
154 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄))
15546, 109, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄))
156 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄)))
15716, 155, 156sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
158 pfxlen 14571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = 𝑄)
15934, 157, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = 𝑄)
160159, 40eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)))
161 ccatopth 14604 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄))) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))))
16296, 151, 32, 153, 160, 161syl221anc 1381 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))))
163149, 162mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
164163simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄))
165164oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
166 ccatrid 14475 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑄))
16796, 166syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑄))
168167oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
169165, 168, 173eqtr4rd 2787 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
170159eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)))
171 hash0 14267 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
172171oveq2i 7368 . . . . . 6 (𝑄 + (♯‘∅)) = (𝑄 + 0)
17362addid1d 11355 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 + 0) = 𝑄)
174172, 173eqtr2id 2789 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝑄 + (♯‘∅)))
17596, 98, 36, 102, 169, 170, 174splval2 14645 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
176 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄)))
17716, 107, 176sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)))
178 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ↔ ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
17943, 47, 178sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃))
180 ccatswrd 14556 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩))
18134, 177, 179, 44, 180syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩))
182181oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
183 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
18434, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
185 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
18634, 185syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
187 ccatass 14476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
188184, 186, 142, 187syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
189163simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
190182, 188, 1893eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
191 ccatcl 14462 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
192186, 142, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
193 swrdlen 14535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝑄 + 2) − 𝑄))
19434, 177, 51, 193syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝑄 + 2) − 𝑄))
195 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 2) − 𝑄) = 2)
19662, 69, 195sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 + 2) − 𝑄) = 2)
197194, 196eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = 2)
198 s2len 14778 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = 2
199197, 198eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
200 ccatopth 14604 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
201184, 192, 102, 146, 199, 200syl221anc 1381 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
202190, 201mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
203202simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)
204203oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
205 ccatpfx 14589 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)))
20634, 177, 51, 205syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)))
207204, 206eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = ((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)))
208207oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
209 ccatpfx 14589 . . . . . 6 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))))
21034, 51, 57, 209syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))))
211 pfxid 14572 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))) = (𝐴𝐾))
21234, 211syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))) = (𝐴𝐾))
213208, 210, 2123eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝐴𝐾))
21494, 175, 2133eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = (𝐴𝐾))
2152, 3, 4, 5efgtf 19504 . . . . . . 7 ((𝑆𝐶) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝑆𝐶)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
21613, 215syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇‘(𝑆𝐶)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
217216simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
218217ffnd 6669 . . . 4 (𝜑 → (𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o)))
219 fnovrn 7529 . . . 4 (((𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
220218, 91, 92, 219syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
221214, 220eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
222 uztrn 12781 . . . . . . 7 (((𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0))
22387, 16, 222syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0))
224 elfzuzb 13435 . . . . . 6 ((𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
225223, 85, 224sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))))
2262, 3, 4, 5efgtval 19505 . . . . 5 (((𝑆𝐶) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
22713, 225, 117, 226syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
228 pfxcl 14565 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
22930, 228syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
230 swrdcl 14533 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
23130, 230syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
232 ccatswrd 14556 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))
23334, 179, 44, 57, 232syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))
234202simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
235 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄)))
23616, 87, 235sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)))
2372, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 44, 14, 117, 92, 125, 131efgredlemg 19524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) = (♯‘(𝐵𝐿)))
238237, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃))
239 0le2 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 2
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 2)
24174zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
242 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
243 subge02 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (0 ≤ 2 ↔ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
244241, 242, 243sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
245240, 244mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 − 2) ≤ 𝑃)
246 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
24776, 74, 245, 246syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
248 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
249238, 247, 248syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
250 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
251223, 249, 250sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
252 lencl 14421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
25330, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
254253, 54eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0))
255 eluzfz2 13449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
256254, 255syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
257 ccatswrd 14556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
25830, 236, 251, 256, 257syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
259234, 258eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
260 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
26130, 260syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
262 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
26330, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
264 swrdlen 14535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
26534, 179, 44, 264syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
266 swrdlen 14535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
26730, 236, 251, 266syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
26878, 62, 70sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃𝑄) − 2) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
26978, 62, 70subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃𝑄) − 2) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
270267, 268, 2693eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
271265, 270eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)))
272 ccatopth 14604 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩))) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
273186, 142, 261, 263, 271, 272syl221anc 1381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
274259, 273mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
275274simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩))
276274simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
277 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
278223, 247, 277sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃))
279 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘0))
28044, 279syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘0))
281 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃)))
282280, 238, 281sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
283 ccatswrd 14556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
28430, 278, 282, 256, 283syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
285276, 284eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
286 swrdcl 14533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
28730, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
288 s2len 14778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = 2
289 swrdlen 14535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑃 − 2)))
29030, 278, 282, 289syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑃 − 2)))
291 nncan 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃 − 2)) = 2)
29278, 69, 291sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − (𝑃 − 2)) = 2)
293290, 292eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
294288, 293eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
295 ccatopth 14604 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩))) → ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
296120, 122, 287, 231, 294, 295syl221anc 1381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
297285, 296mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
298297simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
299275, 298oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
300233, 299eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
301300oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
302 ccatass 14476 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
30332, 261, 231, 302syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
304301, 303eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
305 ccatpfx 14589 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
30630, 236, 251, 305syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
307306oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
30817, 304, 3073eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
309 ccatrid 14475 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
310229, 309syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
311310oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
312308, 311eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
313 pfxlen 14571 . . . . . . 7 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2))) = (𝑃 − 2))
31430, 251, 313syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2))) = (𝑃 − 2))
315314eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2))))
316171oveq2i 7368 . . . . . 6 ((𝑃 − 2) + (♯‘∅)) = ((𝑃 − 2) + 0)
31776zcnd 12608 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ ℂ)
318317addid1d 11355 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 2) + 0) = (𝑃 − 2))
319316, 318eqtr2id 2789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) = ((𝑃 − 2) + (♯‘∅)))
320229, 98, 231, 120, 312, 315, 319splval2 14645 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
321297simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩))
322321oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
323 ccatpfx 14589 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑃))
32430, 278, 282, 323syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑃))
325322, 324eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑃))
326325oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑃) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
327 ccatpfx 14589 . . . . . 6 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑃) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))))
32830, 282, 256, 327syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑃) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))))
329 pfxid 14572 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))) = (𝐵𝐿))
33030, 329syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))) = (𝐵𝐿))
331326, 328, 3303eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (𝐵𝐿))
332227, 320, 3313eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = (𝐵𝐿))
333 fnovrn 7529 . . . 4 (((𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
334218, 225, 117, 333syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
335332, 334eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
336221, 335jca 512 1 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  cotp 4594   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1oc1o 8405  2oc2o 8406  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458   substr csubstr 14528   prefix cpfx 14558   splice csplice 14637  ⟨“cs2 14730   ~FG cefg 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-s2 14737
This theorem is referenced by:  efgredlemd  19526
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