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Theorem efgredleme 19445
Description: Lemma for efgred 19450. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
efgredlemd.9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgredleme (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredleme
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
3 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsf 19431 . . . . . . . 8 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
98fdmi 6668 . . . . . . . . 9 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
109feq2i 6648 . . . . . . . 8 (𝑆:dom 𝑆𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
118, 10mpbir 230 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆𝑊
1211ffvelcdmi 7021 . . . . . 6 (𝐶 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑊)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑊)
14 efgredlemb.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
15 elfzuz 13358 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ (ℤ‘0))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (ℤ‘0))
17 efgredlemd.sc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
1817fveq2d 6834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) = (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
19 fviss 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
202, 19eqsstri 3970 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
21 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
22 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
23 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
24 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
25 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26 efgredlemb.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
27 efgredlemb.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
282, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27efgredlemf 19443 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
2928simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
3020, 29sselid 3934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o))
31 pfxcl 14489 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3328simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
3420, 33sselid 3934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o))
35 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
37 ccatlen 14383 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
3832, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
39 pfxlen 14495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
4030, 14, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) = 𝑄)
41 2nn0 12356 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
42 uzaddcl 12750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0))
4316, 41, 42sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0))
44 efgredlemb.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
45 elfzuz3 13359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃))
47 efgredlemd.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
48 uztrn 12706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
4946, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
50 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ↔ ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
5143, 49, 50sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
52 lencl 14341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
5334, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
54 nn0uz 12726 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
5553, 54eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0))
56 eluzfz2 13370 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
58 swrdlen 14459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2)))
5934, 51, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2)))
6040, 59oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (𝑄 + ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2))))
6114elfzelzd 13363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
6261zcnd 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
6353nn0cnd 12401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
64 2z 12458 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
65 zaddcl 12466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑄 + 2) ∈ ℤ)
6661, 64, 65sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ ℤ)
6766zcnd 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ ℂ)
6862, 63, 67addsubassd 11458 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + (♯‘(𝐴𝐾))) − (𝑄 + 2)) = (𝑄 + ((♯‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2))))
69 2cn 12154 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7162, 63, 70pnpcand 11475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + (♯‘(𝐴𝐾))) − (𝑄 + 2)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2))
7260, 68, 713eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)) + (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2))
7318, 38, 723eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2))
7444elfzelzd 13363 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
75 zsubcl 12468 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 − 2) ∈ ℤ)
7674, 64, 75sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ ℤ)
7764a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
7874zcnd 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
79 npcan 11336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑃 − 2) + 2) = 𝑃)
8078, 69, 79sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 2) + 2) = 𝑃)
8180fveq2d 6834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2)) = (ℤ𝑃))
8246, 81eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2)))
83 eluzsub 12720 . . . . . . . . 9 (((𝑃 − 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2))) → ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
8476, 77, 82, 83syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐴𝐾)) − 2) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
8573, 84eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
86 eluzsub 12720 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄))
8761, 77, 47, 86syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄))
88 uztrn 12706 . . . . . . 7 (((♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄)) → (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄))
8985, 87, 88syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄))
90 elfzuzb 13356 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄)))
9116, 89, 90sylanbrc 584 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))))
92 efgredlemb.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
932, 3, 4, 5efgtval 19425 . . . . 5 (((𝑆𝐶) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
9413, 91, 92, 93syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
95 pfxcl 14489 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
9634, 95syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o))
97 wrd0 14347 . . . . . 6 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
9897a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o))
994efgmf 19415 . . . . . . . 8 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
10099ffvelcdmi 7021 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
10192, 100syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2o))
10292, 101s2cld 14684 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
10361zred 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
104 nn0addge1 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → 𝑄 ≤ (𝑄 + 2))
105103, 41, 104sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑄 ≤ (𝑄 + 2))
106 eluz2 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄) ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≤ (𝑄 + 2)))
10761, 66, 105, 106syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄))
108 uztrn 12706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄)) → 𝑃 ∈ (ℤ𝑄))
10947, 107, 108syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑄))
110 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
11116, 109, 110sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (0...𝑃))
112 ccatpfx 14513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑃))
11334, 111, 44, 112syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑃))
114113oveq1d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
115 pfxcl 14489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11634, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o))
117 efgredlemb.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
11899ffvelcdmi 7021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐼 × 2o) → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2o))
120117, 119s2cld 14684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
121 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
12234, 121syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
123 ccatass 14396 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
124116, 120, 122, 123syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
125 efgredlemb.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
1262, 3, 4, 5efgtval 19425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
12733, 44, 117, 126syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
128 splval 14563 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
12933, 44, 44, 120, 128syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
130125, 127, 1293eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
131 efgredlemb.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
1322, 3, 4, 5efgtval 19425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
13329, 14, 92, 132syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
134 splval 14563 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
13529, 14, 14, 102, 134syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
136131, 133, 1353eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐵) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
13724, 130, 1363eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑃) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
138114, 124, 1373eqtr2d 2783 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
139 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
14034, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
141 ccatcl 14382 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
142120, 122, 141syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
143 ccatass 14396 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
14496, 140, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
145 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
14630, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
147 ccatass 14396 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
14832, 102, 146, 147syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
149138, 144, 1483eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
150 ccatcl 14382 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
151140, 142, 150syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
152 ccatcl 14382 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
153102, 146, 152syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
154 uztrn 12706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄))
15546, 109, 154syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄))
156 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄)))
15716, 155, 156sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
158 pfxlen 14495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = 𝑄)
15934, 157, 158syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = 𝑄)
160159, 40eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄)))
161 ccatopth 14528 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix 𝑄))) → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))))
16296, 151, 32, 153, 160, 161syl221anc 1381 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))) ↔ (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))))
163149, 162mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
164163simpld 496 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix 𝑄) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑄))
165164oveq1d 7357 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
166 ccatrid 14395 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑄))
16796, 166syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) = ((𝐴𝐾) prefix 𝑄))
168167oveq1d 7357 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
169165, 168, 173eqtr4rd 2788 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ∅) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
170159eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (♯‘((𝐴𝐾) prefix 𝑄)))
171 hash0 14187 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
172171oveq2i 7353 . . . . . 6 (𝑄 + (♯‘∅)) = (𝑄 + 0)
17362addid1d 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 + 0) = 𝑄)
174172, 173eqtr2id 2790 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝑄 + (♯‘∅)))
17596, 98, 36, 102, 169, 170, 174splval2 14569 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
176 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄)))
17716, 107, 176sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)))
178 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ↔ ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
17943, 47, 178sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃))
180 ccatswrd 14480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩))
18134, 177, 179, 44, 180syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩))
182181oveq1d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))))
183 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
18434, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
185 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
18634, 185syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
187 ccatass 14396 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
188184, 186, 142, 187syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))))
189163simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
190182, 188, 1893eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
191 ccatcl 14382 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
192186, 142, 191syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o))
193 swrdlen 14459 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝑄 + 2) − 𝑄))
19434, 177, 51, 193syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝑄 + 2) − 𝑄))
195 pncan2 11334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 2) − 𝑄) = 2)
19662, 69, 195sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 + 2) − 𝑄) = 2)
197194, 196eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = 2)
198 s2len 14702 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = 2
199197, 198eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
200 ccatopth 14528 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (♯‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
201184, 192, 102, 146, 199, 200syl221anc 1381 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
202190, 201mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
203202simpld 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)
204203oveq2d 7358 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
205 ccatpfx 14513 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)))
20634, 177, 51, 205syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)))
207204, 206eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = ((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)))
208207oveq1d 7357 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
209 ccatpfx 14513 . . . . . 6 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))))
21034, 51, 57, 209syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐾) prefix (𝑄 + 2)) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))))
211 pfxid 14496 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))) = (𝐴𝐾))
21234, 211syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐾) prefix (♯‘(𝐴𝐾))) = (𝐴𝐾))
213208, 210, 2123eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) prefix 𝑄) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝐴𝐾))
21494, 175, 2133eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = (𝐴𝐾))
2152, 3, 4, 5efgtf 19424 . . . . . . 7 ((𝑆𝐶) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝑆𝐶)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
21613, 215syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇‘(𝑆𝐶)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
217216simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
218217ffnd 6657 . . . 4 (𝜑 → (𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o)))
219 fnovrn 7514 . . . 4 (((𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o)) ∧ 𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2o)) → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
220218, 91, 92, 219syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
221214, 220eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
222 uztrn 12706 . . . . . . 7 (((𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0))
22387, 16, 222syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0))
224 elfzuzb 13356 . . . . . 6 ((𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
225223, 85, 224sylanbrc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))))
2262, 3, 4, 5efgtval 19425 . . . . 5 (((𝑆𝐶) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
22713, 225, 117, 226syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
228 pfxcl 14489 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
22930, 228syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
230 swrdcl 14457 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
23130, 230syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
232 ccatswrd 14480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) ∧ (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))
23334, 179, 44, 57, 232syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩))
234202simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
235 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄)))
23616, 87, 235sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)))
2372, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 44, 14, 117, 92, 125, 131efgredlemg 19444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) = (♯‘(𝐵𝐿)))
238237, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃))
239 0le2 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 2
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 2)
24174zred 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
242 2re 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
243 subge02 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (0 ≤ 2 ↔ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
244241, 242, 243sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
245240, 244mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 − 2) ≤ 𝑃)
246 eluz2 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
24776, 74, 245, 246syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
248 uztrn 12706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
249238, 247, 248syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
250 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
251223, 249, 250sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
252 lencl 14341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
25330, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
254253, 54eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0))
255 eluzfz2 13370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
256254, 255syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
257 ccatswrd 14480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
25830, 236, 251, 256, 257syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
259234, 258eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
260 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
26130, 260syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
262 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
26330, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
264 swrdlen 14459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾)))) → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
26534, 179, 44, 264syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
266 swrdlen 14459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
26730, 236, 251, 266syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
26878, 62, 70sub32d 11470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃𝑄) − 2) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
26978, 62, 70subsub4d 11469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃𝑄) − 2) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
270267, 268, 2693eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
271265, 270eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)))
272 ccatopth 14528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩))) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
273186, 142, 261, 263, 271, 272syl221anc 1381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
274259, 273mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
275274simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩))
276274simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
277 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
278223, 247, 277sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃))
279 elfzuz 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘0))
28044, 279syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘0))
281 elfzuzb 13356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃)))
282280, 238, 281sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
283 ccatswrd 14480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
28430, 278, 282, 256, 283syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
285276, 284eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
286 swrdcl 14457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
28730, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o))
288 s2len 14702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = 2
289 swrdlen 14459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑃 − 2)))
29030, 278, 282, 289syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑃 − 2)))
291 nncan 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃 − 2)) = 2)
29278, 69, 291sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − (𝑃 − 2)) = 2)
293290, 292eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
294288, 293eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
295 ccatopth 14528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) ∧ (♯‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (♯‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩))) → ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
296120, 122, 287, 231, 294, 295syl221anc 1381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
297285, 296mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
298297simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))
299275, 298oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
300233, 299eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
301300oveq2d 7358 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
302 ccatass 14396 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
30332, 261, 231, 302syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩))))
304301, 303eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
305 ccatpfx 14513 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
30630, 236, 251, 305syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
307306oveq1d 7357 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix 𝑄) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
30817, 304, 3073eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
309 ccatrid 14395 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ∈ Word (𝐼 × 2o) → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
310229, 309syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) = ((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)))
311310oveq1d 7357 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
312308, 311eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ∅) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
313 pfxlen 14495 . . . . . . 7 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (♯‘((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2))) = (𝑃 − 2))
31430, 251, 313syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2))) = (𝑃 − 2))
315314eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) = (♯‘((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2))))
316171oveq2i 7353 . . . . . 6 ((𝑃 − 2) + (♯‘∅)) = ((𝑃 − 2) + 0)
31776zcnd 12533 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ ℂ)
318317addid1d 11281 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 2) + 0) = (𝑃 − 2))
319316, 318eqtr2id 2790 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) = ((𝑃 − 2) + (♯‘∅)))
320229, 98, 231, 120, 312, 315, 319splval2 14569 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
321297simpld 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩))
322321oveq2d 7358 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
323 ccatpfx 14513 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑃))
32430, 278, 282, 323syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑃))
325322, 324eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = ((𝐵𝐿) prefix 𝑃))
326325oveq1d 7357 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) prefix 𝑃) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)))
327 ccatpfx 14513 . . . . . 6 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) ∧ (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿)))) → (((𝐵𝐿) prefix 𝑃) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))))
32830, 282, 256, 327syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐿) prefix 𝑃) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))))
329 pfxid 14496 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2o) → ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))) = (𝐵𝐿))
33030, 329syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) prefix (♯‘(𝐵𝐿))) = (𝐵𝐿))
331326, 328, 3303eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) prefix (𝑃 − 2)) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (♯‘(𝐵𝐿))⟩)) = (𝐵𝐿))
332227, 320, 3313eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = (𝐵𝐿))
333 fnovrn 7514 . . . 4 (((𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(♯‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2o)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2o)) → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
334218, 225, 117, 333syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
335332, 334eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
336221, 335jca 513 1 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {crab 3404  cdif 3899  c0 4274  {csn 4578  cop 4584  cotp 4586   ciun 4946   class class class wbr 5097  cmpt 5180   I cid 5522   × cxp 5623  dom cdm 5625  ran crn 5626   Fn wfn 6479  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  cmpo 7344  1oc1o 8365  2oc2o 8366  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311  2c2 12134  0cn0 12339  cz 12425  cuz 12688  ...cfz 13345  ..^cfzo 13488  chash 14150  Word cword 14322   ++ cconcat 14378   substr csubstr 14452   prefix cpfx 14482   splice csplice 14561  ⟨“cs2 14654   ~FG cefg 19408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-hash 14151  df-word 14323  df-concat 14379  df-s1 14404  df-substr 14453  df-pfx 14483  df-splice 14562  df-s2 14661
This theorem is referenced by:  efgredlemd  19446
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