Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpinv 18531
 Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
frgpinv.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpinv (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpadd.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6504 . . . . . . . . 9 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 3861 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
43sseli 3824 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5 revcl 13878 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7 frgpinv.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
87efgmf 18478 . . . . . 6 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9 wrdco 13953 . . . . . 6 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
106, 8, 9sylancl 582 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
111efgrcl 18480 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
1211simprd 491 . . . . 5 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
1310, 12eleqtrrd 2910 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14 frgpadd.g . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15 frgpadd.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
16 eqid 2826 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
171, 14, 15, 16frgpadd 18530 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
1813, 17mpdan 680 . . 3 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
191, 15efger 18483 . . . . 5 Er 𝑊
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑊 Er 𝑊)
21 eqid 2826 . . . . 5 (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
221, 15, 7, 21efginvrel2 18492 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∅)
2320, 22erthi 8059 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] = [∅] )
2414, 15frgp0 18527 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2524adantr 474 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2611, 25syl 17 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2726simprd 491 . . 3 (𝐴𝑊 → [∅] = (0g𝐺))
2818, 23, 273eqtrd 2866 . 2 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺))
2926simpld 490 . . 3 (𝐴𝑊𝐺 ∈ Grp)
30 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3114, 15, 1, 30frgpeccl 18528 . . 3 (𝐴𝑊 → [𝐴] ∈ (Base‘𝐺))
3214, 15, 1, 30frgpeccl 18528 . . . 4 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
3313, 32syl 17 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
34 eqid 2826 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
35 frgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
3630, 16, 34, 35grpinvid1 17825 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3729, 31, 33, 36syl3anc 1496 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3828, 37mpbird 249 1 (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796  ∅c0 4145  ⟨cop 4404  ⟨cotp 4406   ↦ cmpt 4953   I cid 5250   × cxp 5341   ∘ ccom 5347  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908  1oc1o 7820  2oc2o 7821   Er wer 8007  [cec 8008  0cc0 10253  ...cfz 12620  ♯chash 13411  Word cword 13575   ++ cconcat 13631   splice csplice 13856  reversecreverse 13875  ⟨“cs2 13963  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  0gc0g 16454  Grpcgrp 17777  invgcminusg 17778   ~FG cefg 18471  freeGrpcfrgp 18472 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-lsw 13624  df-concat 13632  df-s1 13657  df-substr 13702  df-pfx 13751  df-splice 13858  df-reverse 13876  df-s2 13970  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-0g 16456  df-imas 16522  df-qus 16523  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-frmd 17741  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-efg 18474  df-frgp 18475 This theorem is referenced by:  vrgpinv  18536
 Copyright terms: Public domain W3C validator