MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpinv 19782
Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
frgpinv.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpinv (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpadd.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6986 . . . . . . . . 9 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
43sseli 3979 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5 revcl 14799 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7 frgpinv.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
87efgmf 19731 . . . . . 6 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9 wrdco 14870 . . . . . 6 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
106, 8, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
111efgrcl 19733 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
1211simprd 495 . . . . 5 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
1310, 12eleqtrrd 2844 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14 frgpadd.g . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15 frgpadd.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
16 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
171, 14, 15, 16frgpadd 19781 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
1813, 17mpdan 687 . . 3 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
191, 15efger 19736 . . . . 5 Er 𝑊
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑊 Er 𝑊)
21 eqid 2737 . . . . 5 (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
221, 15, 7, 21efginvrel2 19745 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∅)
2320, 22erthi 8798 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] = [∅] )
2414, 15frgp0 19778 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2611, 25syl 17 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2726simprd 495 . . 3 (𝐴𝑊 → [∅] = (0g𝐺))
2818, 23, 273eqtrd 2781 . 2 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺))
2926simpld 494 . . 3 (𝐴𝑊𝐺 ∈ Grp)
30 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3114, 15, 1, 30frgpeccl 19779 . . 3 (𝐴𝑊 → [𝐴] ∈ (Base‘𝐺))
3214, 15, 1, 30frgpeccl 19779 . . . 4 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
3313, 32syl 17 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
34 eqid 2737 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
35 frgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
3630, 16, 34, 35grpinvid1 19009 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3729, 31, 33, 36syl3anc 1373 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3828, 37mpbird 257 1 (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  cop 4632  cotp 4634  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8499  2oc2o 8500   Er wer 8742  [cec 8743  0cc0 11155  ...cfz 13547  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608   splice csplice 14787  reversecreverse 14796  ⟨“cs2 14880  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952   ~FG cefg 19724  freeGrpcfrgp 19725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-frmd 18862  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-efg 19727  df-frgp 19728
This theorem is referenced by:  vrgpinv  19787
  Copyright terms: Public domain W3C validator