Theorem frgpinv 19670

Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
frgpinv.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpinv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpadd.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3990	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		frgpinv.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19619	. . . . . 6 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		wrdco 14773	. . . . . 6 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
10	6, 8, 9	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11	1	efgrcl 19621	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13	10, 12	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14		frgpadd.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15		frgpadd.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 14, 15, 16	frgpadd 19669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
18	13, 17	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
19	1, 15	efger 19624	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ∼ Er 𝑊)
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
22	1, 15, 7, 21	efginvrel2 19633	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∼ ∅)
23	20, 22	erthi 8704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ = [∅] ∼ )
24	14, 15	frgp0 19666	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
26	11, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
27	26	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
28	18, 23, 27	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺))
29	26	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ Grp)
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19667	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
32	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19667	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
33	13, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
34		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35		frgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
36	30, 16, 34, 35	grpinvid1 18899	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
37	29, 31, 33, 36	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
38	28, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908  ∅c0 4292  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   × cxp 5629   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405   Er wer 8645  [cec 8646  0cc0 11044  ...cfz 13444  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511   splice csplice 14690  reversecreverse 14699  ⟨“cs2 14783  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842   ~_FG cefg 19612  freeGrpcfrgp 19613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-splice 14691  df-reverse 14700  df-s2 14790  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17380  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-frmd 18752  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-efg 19615  df-frgp 19616

This theorem is referenced by:  vrgpinv  19675