Theorem frgpinv 19705

Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
frgpinv.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpinv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpadd.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3982	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		frgpinv.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19654	. . . . . 6 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		wrdco 14766	. . . . . 6 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
10	6, 8, 9	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11	1	efgrcl 19656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13	10, 12	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14		frgpadd.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15		frgpadd.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 14, 15, 16	frgpadd 19704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
18	13, 17	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
19	1, 15	efger 19659	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ∼ Er 𝑊)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
22	1, 15, 7, 21	efginvrel2 19668	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∼ ∅)
23	20, 22	erthi 8702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ = [∅] ∼ )
24	14, 15	frgp0 19701	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
26	11, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
27	26	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
28	18, 23, 27	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺))
29	26	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ Grp)
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
32	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19702	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
33	13, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35		frgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
36	30, 16, 34, 35	grpinvid1 18933	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
37	29, 31, 33, 36	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
38	28, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401   Er wer 8642  [cec 8643  0cc0 11038  ...cfz 13435  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505   splice csplice 14684  reversecreverse 14693  ⟨“cs2 14776  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876   ~_FG cefg 19647  freeGrpcfrgp 19648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-0g 17373  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-frmd 18786  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-efg 19650  df-frgp 19651

This theorem is referenced by:  vrgpinv  19710