MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpinv 19797
Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
frgpinv.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpinv (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpadd.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 fviss 6986 . . . . . . . . 9 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
31, 2eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
43sseli 3991 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5 revcl 14796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7 frgpinv.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
87efgmf 19746 . . . . . 6 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9 wrdco 14867 . . . . . 6 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
106, 8, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
111efgrcl 19748 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
1211simprd 495 . . . . 5 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
1310, 12eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14 frgpadd.g . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15 frgpadd.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
16 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
171, 14, 15, 16frgpadd 19796 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
1813, 17mpdan 687 . . 3 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
191, 15efger 19751 . . . . 5 Er 𝑊
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑊 Er 𝑊)
21 eqid 2735 . . . . 5 (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
221, 15, 7, 21efginvrel2 19760 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∅)
2320, 22erthi 8797 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] = [∅] )
2414, 15frgp0 19793 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2611, 25syl 17 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2726simprd 495 . . 3 (𝐴𝑊 → [∅] = (0g𝐺))
2818, 23, 273eqtrd 2779 . 2 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺))
2926simpld 494 . . 3 (𝐴𝑊𝐺 ∈ Grp)
30 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3114, 15, 1, 30frgpeccl 19794 . . 3 (𝐴𝑊 → [𝐴] ∈ (Base‘𝐺))
3214, 15, 1, 30frgpeccl 19794 . . . 4 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
3313, 32syl 17 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
34 eqid 2735 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
35 frgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
3630, 16, 34, 35grpinvid1 19022 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3729, 31, 33, 36syl3anc 1370 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3828, 37mpbird 257 1 (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  cop 4637  cotp 4639  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499   Er wer 8741  [cec 8742  0cc0 11153  ...cfz 13544  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605   splice csplice 14784  reversecreverse 14793  ⟨“cs2 14877  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965   ~FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-frmd 18875  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-efg 19742  df-frgp 19743
This theorem is referenced by:  vrgpinv  19802
  Copyright terms: Public domain W3C validator