Theorem frgpinv 19008

Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
frgpinv.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpinv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpadd.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3911	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		frgpinv.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 18957	. . . . . 6 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		wrdco 14282	. . . . . 6 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
10	6, 8, 9	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11	1	efgrcl 18959	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
12	11	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13	10, 12	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14		frgpadd.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15		frgpadd.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 14, 15, 16	frgpadd 19007	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
18	13, 17	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
19	1, 15	efger 18962	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ∼ Er 𝑊)
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
22	1, 15, 7, 21	efginvrel2 18971	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∼ ∅)
23	20, 22	erthi 8371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ = [∅] ∼ )
24	14, 15	frgp0 19004	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
26	11, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
27	26	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
28	18, 23, 27	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺))
29	26	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ Grp)
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
32	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19005	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
33	13, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
34		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35		frgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
36	30, 16, 34, 35	grpinvid1 18272	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
37	29, 31, 33, 36	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
38	28, 37	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398   ∖ cdif 3840  ∅c0 4211  ⟨cop 4522  ⟨cotp 4524   ↦ cmpt 5110   I cid 5428   × cxp 5523   ∘ ccom 5529  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ∈ cmpo 7172  1_oc1o 8124  2_oc2o 8125   Er wer 8317  [cec 8318  0cc0 10615  ...cfz 12981  ♯chash 13782  Word cword 13955   ++ cconcat 14011   splice csplice 14200  reversecreverse 14209  ⟨“cs2 14292  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  0_gc0g 16816  Grpcgrp 18219  inv_gcminusg 18220   ~_FG cefg 18950  freeGrpcfrgp 18951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-splice 14201  df-reverse 14210  df-s2 14299  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-0g 16818  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-frmd 18130  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-efg 18953  df-frgp 18954

This theorem is referenced by:  vrgpinv  19013