Theorem frgpinv 19730

Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
frgpinv.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
frgpinv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpadd.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		fviss 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ⊆ Word (𝐼 × 2o)
3	1, 2	eqsstri 3969	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2o)
4	3	sseli 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o))
5		revcl 14714	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7		frgpinv.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
8	7	efgmf 19679	. . . . . 6 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
9		wrdco 14784	. . . . . 6 ⊢ (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
10	6, 8, 9	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
11	1	efgrcl 19681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
12	11	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
13	10, 12	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14		frgpadd.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15		frgpadd.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 14, 15, 16	frgpadd 19729	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
18	13, 17	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ )
19	1, 15	efger 19684	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ∼ Er 𝑊)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
22	1, 15, 7, 21	efginvrel2 19693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∼ ∅)
23	20, 22	erthi 8693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] ∼ = [∅] ∼ )
24	14, 15	frgp0 19726	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
26	11, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
27	26	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
28	18, 23, 27	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺))
29	26	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐺 ∈ Grp)
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19727	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
32	14, 15, 1, 30	frgpeccl 19727	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
33	13, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
35		frgpinv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
36	30, 16, 34, 35	grpinvid1 18958	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∼ ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
37	29, 31, 33, 36	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ↔ ([𝐴] ∼ (+g‘𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ ) = (0g‘𝐺)))
38	28, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ∼ ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392   Er wer 8633  [cec 8634  0cc0 11029  ...cfz 13452  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523   splice csplice 14702  reversecreverse 14711  ⟨“cs2 14794  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901   ~_FG cefg 19672  freeGrpcfrgp 19673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-frmd 18808  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-efg 19675  df-frgp 19676

This theorem is referenced by:  vrgpinv  19735