Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblcncfioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblcncfioo 43519
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblcncfioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iblcncfioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iblcncfioo.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
iblcncfioo.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
iblcncfioo.r (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
iblcncfioo (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblcncfioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblcncfioo.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
2 cncff 24056 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
43feqmptd 6837 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
5 iblcncfioo.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 eliooord 13138 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
87simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
98adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
106, 9gtned 11110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐴)
1110neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
1211iffalsed 4470 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
13 elioore 13109 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
157simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
1714, 16ltned 11111 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
1817neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
1918iffalsed 4470 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2012, 19eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
2120eqcomd 2744 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
2221mpteq2dva 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
234, 22eqtrd 2778 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
24 ioossicc 13165 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2524a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
26 ioombl 24729 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
28 iftrue 4465 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
30 limccl 25039 . . . . . . . 8 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
31 iblcncfioo.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
3230, 31sselid 3919 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
3429, 33eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
3534adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
36 iffalse 4468 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
3736ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
38 iftrue 4465 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
4037, 39eqtrd 2778 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
41 limccl 25039 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
42 iblcncfioo.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
4341, 42sselid 3919 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4443ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℂ)
4540, 44eqeltrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
4645adantllr 716 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
47 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
485rexrd 11025 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50 iblcncfioo.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5150rexrd 11025 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5247, 51syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53 eliccxr 13167 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5453ad3antlr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5549, 52, 543jca 1127 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
565ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
575adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5850adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60 eliccre 43043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
635, 50jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
65 elicc2 13144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
6759, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
6867simp2d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
70 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐴)
7170biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
7356, 62, 69, 72leneltd 11129 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
75 nesym 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
7675biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
7867simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
7961, 58, 783jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐵))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐵))
81 leltne 11064 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
8377, 82mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
8483adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
8574, 84jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
86 elioo3g 13108 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
8755, 85, 86sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8847, 87jca 512 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
893ffvelrnda 6961 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9020, 89eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9188, 90syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9246, 91pm2.61dan 810 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9335, 92pm2.61dan 810 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
94 nfv 1917 . . . . 5 𝑥𝜑
95 eqid 2738 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
9694, 95, 5, 50, 1, 42, 31cncfiooicc 43435 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
97 cniccibl 25005 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
985, 50, 96, 97syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
9925, 27, 93, 98iblss 24969 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
10023, 99eqeltrd 2839 1 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  cnccncf 24039  volcvol 24627  𝐿1cibl 24781   lim climc 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-0p 24834  df-limc 25030
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  43716  fourierdlem73  43720  fourierdlem81  43728  fourierdlem93  43740
  Copyright terms: Public domain W3C validator