Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblcncfioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblcncfioo 42128
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblcncfioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iblcncfioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iblcncfioo.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
iblcncfioo.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
iblcncfioo.r (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
iblcncfioo (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblcncfioo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblcncfioo.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
2 cncff 23416 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
43feqmptd 6730 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
5 iblcncfioo.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 eliooord 12786 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
87simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
98adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
106, 9gtned 10764 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐴)
1110neneqd 3026 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
1211iffalsed 4481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
13 elioore 12758 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
157simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
1714, 16ltned 10765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
1817neneqd 3026 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
1918iffalsed 4481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2012, 19eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
2120eqcomd 2832 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
2221mpteq2dva 5158 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
234, 22eqtrd 2861 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
24 ioossicc 12812 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2524a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
26 ioombl 24081 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2726a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
28 iftrue 4476 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
30 limccl 24388 . . . . . . . 8 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
31 iblcncfioo.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
3230, 31sseldi 3969 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
3429, 33eqeltrd 2918 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
3534adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
36 iffalse 4479 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
3736ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
38 iftrue 4476 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
4037, 39eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
41 limccl 24388 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
42 iblcncfioo.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
4341, 42sseldi 3969 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4443ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℂ)
4540, 44eqeltrd 2918 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
4645adantllr 715 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
47 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
485rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50 iblcncfioo.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5150rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5247, 51syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53 eliccxr 12813 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5453ad3antlr 727 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5549, 52, 543jca 1122 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
565ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
575adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5850adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60 eliccre 41646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
635, 50jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
65 elicc2 12791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
6759, 66mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
6867simp2d 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
70 df-ne 3022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐴)
7170biimpri 229 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
7356, 62, 69, 72leneltd 10783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
75 nesym 3077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
7675biimpri 229 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
7867simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
7961, 58, 783jca 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐵))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐵))
81 leltne 10719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
8377, 82mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
8483adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
8574, 84jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
86 elioo3g 12757 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
8755, 85, 86sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8847, 87jca 512 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
893ffvelrnda 6847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9020, 89eqeltrd 2918 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9188, 90syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9246, 91pm2.61dan 809 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
9335, 92pm2.61dan 809 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℂ)
94 nfv 1908 . . . . 5 𝑥𝜑
95 eqid 2826 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
9694, 95, 5, 50, 1, 42, 31cncfiooicc 42042 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
97 cniccibl 24356 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
985, 50, 96, 97syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
9925, 27, 93, 98iblss 24320 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
10023, 99eqeltrd 2918 1 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wss 3940  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  cnccncf 23399  volcvol 23979  𝐿1cibl 24133   lim climc 24375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-mbf 24135  df-itg1 24136  df-itg2 24137  df-ibl 24138  df-0p 24186  df-limc 24379
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  42326  fourierdlem73  42330  fourierdlem81  42338  fourierdlem93  42350
  Copyright terms: Public domain W3C validator