Theorem iblcncfioo 46932

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblcncfioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iblcncfioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iblcncfioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
iblcncfioo.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
iblcncfioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
iblcncfioo	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblcncfioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblcncfioo.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
2		cncff 25194	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
4	3	feqmptd 6945	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)))
5		iblcncfioo.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		eliooord 13517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
8	7	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
10	6, 9	gtned 11426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐴)
11	10	neneqd 2961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
12	11	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
13		elioore 13487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	7	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
17	14, 16	ltned 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
18	17	neneqd 2961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
19	18	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
20	12, 19	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
21	20	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
22	21	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
23	4, 22	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
24		ioossicc 13545	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
26		ioombl 25866	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
28		iftrue 4488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
29	28	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝑅)
30		limccl 26175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐴) ⊆ ℂ
31		iblcncfioo.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
32	30, 31	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
34	29, 33	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
35	34	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
36		iffalse 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
37	36	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
38		iftrue 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
39	38	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = 𝐿)
40	37, 39	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = 𝐿)
41		limccl 26175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
42		iblcncfioo.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
43	41, 42	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐿 ∈ ℂ)
45	40, 44	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
46	45	adantllr 732	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
47		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
48	5	rexrd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
50		iblcncfioo.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51	50	rexrd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	47, 51	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53		eliccxr 13547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
54	53	ad3antlr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
55	49, 52, 54	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
56	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
57	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
58	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
59		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
60		eliccre 46461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
61	57, 58, 59, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
63	5, 50	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
65		elicc2 13523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
67	59, 66	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
68	67	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑥)
70		df-ne 2957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐴)
71	70	bilanri 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
72	56, 62, 69, 71	leneltd 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
74		nesym 3012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
75	74	bilanri 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑥)
76	67	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
77	61, 58, 76	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
79		leltne 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑥))
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝑥))
81	75, 80	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
82	81	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
83	73, 82	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
84		elioo3g 13486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
85	55, 83, 84	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
86	47, 85	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
87	3	ffvelcdmda 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
88	20, 87	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
89	86, 88	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
90	46, 89	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
91	35, 90	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℂ)
92		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
93		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
94	92, 93, 5, 50, 1, 42, 31	cncfiooicc 46848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
95		cniccibl 26141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
96	5, 50, 94, 95	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
97	25, 27, 91, 96	iblss 26105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
98	23, 97	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13457  [,]cicc 13460  –cn→ccncf 25177  volcvol 25764  𝐿¹cibl 25918   lim_ℂ climc 26162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-cmp 23685  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-ovol 25765  df-vol 25766  df-mbf 25920  df-itg1 25921  df-itg2 25922  df-ibl 25923  df-0p 25971  df-limc 26166

This theorem is used by:  fourierdlem69  47129  fourierdlem73  47133  fourierdlem81  47141  fourierdlem93  47153