Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblcncfioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblcncfioo 45271
Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐡) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐡 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblcncfioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iblcncfioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iblcncfioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
iblcncfioo.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
iblcncfioo.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
iblcncfioo (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblcncfioo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblcncfioo.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24768 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
43feqmptd 6954 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5 iblcncfioo.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 eliooord 13389 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
87simpld 494 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
106, 9gtned 11353 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
1110neneqd 2939 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
1211iffalsed 4534 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
13 elioore 13360 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
157simprd 495 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
1714, 16ltned 11354 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
1817neneqd 2939 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
1918iffalsed 4534 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
2012, 19eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
2120eqcomd 2732 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
2221mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
234, 22eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))))
24 ioossicc 13416 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
2524a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
26 ioombl 25449 . . . 4 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
2726a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
28 iftrue 4529 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
2928adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝑅)
30 limccl 25759 . . . . . . . 8 (𝐹 limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
31 iblcncfioo.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
3230, 31sselid 3975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
3429, 33eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
3534adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
36 iffalse 4532 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
3736ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
38 iftrue 4529 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
3938adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐿)
4037, 39eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = 𝐿)
41 limccl 25759 . . . . . . . . 9 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
42 iblcncfioo.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
4341, 42sselid 3975 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4443ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4540, 44eqeltrd 2827 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
4645adantllr 716 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
47 simplll 772 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ πœ‘)
485rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
50 iblcncfioo.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5150rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5247, 51syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
53 eliccxr 13418 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
5453ad3antlr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
5549, 52, 543jca 1125 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*))
565ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
575adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5850adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
60 eliccre 44795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
635, 50jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
65 elicc2 13395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
6759, 66mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
6867simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
70 df-ne 2935 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ β‰  𝐴 ↔ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
7170biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ = 𝐴 β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
7356, 62, 69, 72leneltd 11372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 < π‘₯)
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
75 nesym 2991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰  π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
7675biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐡 β‰  π‘₯)
7867simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
7961, 58, 783jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
81 leltne 11307 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ < 𝐡 ↔ 𝐡 β‰  π‘₯))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (π‘₯ < 𝐡 ↔ 𝐡 β‰  π‘₯))
8377, 82mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
8483adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ < 𝐡)
8574, 84jca 511 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
86 elioo3g 13359 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
8755, 85, 86sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
8847, 87jca 511 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)))
893ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9020, 89eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9188, 90syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9246, 91pm2.61dan 810 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐴) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9335, 92pm2.61dan 810 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
94 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
95 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
9694, 95, 5, 50, 1, 42, 31cncfiooicc 45187 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
97 cniccibl 25725 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
985, 50, 96, 97syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
9925, 27, 93, 98iblss 25689 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐿1)
10023, 99eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  β€“cnβ†’ccncf 24751  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501   limβ„‚ climc 25746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-0p 25554  df-limc 25750
This theorem is referenced by:  fourierdlem69  45468  fourierdlem73  45472  fourierdlem81  45480  fourierdlem93  45492
  Copyright terms: Public domain W3C validator