Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0mulgnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0mulgnn0 31681
Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0mulgnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
2 iccssxr 13277 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrsbas 20742 . . . 4 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3sseqtri 3979 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5 eqid 2738 . . 3 (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6 eqid 2738 . . 3 (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7 xrs0 31667 . . . 4 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8 xrge00 31678 . . . 4 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
97, 8eqtr3i 2768 . . 3 (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
101, 4, 5, 6, 9ressmulgnn0 31676 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11 nn0z 12458 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
12 eliccxr 13282 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 xrsmulgzz 31670 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1411, 12, 13syl2an 597 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1510, 14eqtrd 2778 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  *cxr 11122  0cn0 12347  cz 12433   ·e cxmu 12962  [,]cicc 13197  Basecbs 17019  s cress 17048  0gc0g 17257  *𝑠cxrs 17318  invgcminusg 18685  .gcmg 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-icc 13201  df-fz 13355  df-seq 13837  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-0g 17259  df-xrs 17320  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-minusg 18688  df-mulg 18808  df-cmn 19499
This theorem is referenced by:  esumcst  32442
  Copyright terms: Public domain W3C validator