Theorem xrge0mulgnn0 33626

Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulgnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		iccssxr 13568	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrsbas 17787	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	sseqtri 3957	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7		xrs0 33617	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8		xrge00 33625	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9	7, 8	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	1, 4, 5, 6, 9	ressmulgnn0 19296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		nn0z 12724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		eliccxr 13573	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrsmulgzz 33620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	10, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700   ·_e cxmu 13247  [,]cicc 13486  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  0_gc0g 17619  ℝ^*_𝑠cxrs 17681  inv_gcminusg 19154  ._gcmg 19286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-icc 13490  df-fz 13647  df-seq 14152  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-0g 17621  df-xrs 17683  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-minusg 19157  df-mulg 19287  df-cmn 20005

This theorem is used by:  esumcst  34745