Theorem xrge0mulgnn0 33456

Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulgnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		iccssxr 13484	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrsbas 17693	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	sseqtri 3979	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7		xrs0 33447	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8		xrge00 33455	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9	7, 8	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	1, 4, 5, 6, 9	ressmulgnn0 19201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		nn0z 12640	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		eliccxr 13489	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrsmulgzz 33450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	10, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616   ·_e cxmu 13163  [,]cicc 13402  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  0_gc0g 17525  ℝ^*_𝑠cxrs 17587  inv_gcminusg 19059  ._gcmg 19191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-icc 13406  df-fz 13563  df-seq 14067  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-0g 17527  df-xrs 17589  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-cmn 19910

This theorem is used by:  esumcst  34574