Theorem xrge0mulgnn0 33401

Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulgnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		iccssxr 13475	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrsbas 17684	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	sseqtri 3986	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7		xrs0 33392	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8		xrge00 33400	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9	7, 8	eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	1, 4, 5, 6, 9	ressmulgnn0 19189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		nn0z 12632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		eliccxr 13480	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrsmulgzz 33395	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	10, 14	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  +∞cpnf 11257  ℝ^*cxr 11259  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608   ·_e cxmu 13154  [,]cicc 13393  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  0_gc0g 17516  ℝ^*_𝑠cxrs 17578  inv_gcminusg 19047  ._gcmg 19179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-0g 17518  df-xrs 17580  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-minusg 19050  df-mulg 19180  df-cmn 19898

This theorem is used by:  esumcst  34519