Theorem xrge0mulgnn0 30198

Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulgnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		iccssxr 12502	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrsbas 20081	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	sseqtri 3832	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7		xrs0 30184	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8		xrge00 30195	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9	7, 8	eqtr3i 2822	. . 3 ⊢ (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	1, 4, 5, 6, 9	ressmulgnn0 30193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		nn0z 11687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		eliccxr 12506	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrsmulgzz 30187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	11, 12, 13	syl2an 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	10, 14	eqtrd 2832	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  0cc0 10223  +∞cpnf 10359  ℝ^*cxr 10361  ℕ₀cn0 11577  ℤcz 11663   ·_e cxmu 12189  [,]cicc 12424  Basecbs 16181   ↾_s cress 16182  0_gc0g 16412  ℝ^*_𝑠cxrs 16472  inv_gcminusg 17736  ._gcmg 17853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-xneg 12190  df-xadd 12191  df-xmul 12192  df-icc 12428  df-fz 12578  df-seq 13053  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-0g 16414  df-xrs 16474  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-minusg 17739  df-mulg 17854  df-cmn 18507

This theorem is referenced by:  esumcst  30634