Theorem xrge0mulgnn0 32714

Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulgnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		iccssxr 13425	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrsbas 21291	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	sseqtri 4014	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5		eqid 2727	. . 3 ⊢ (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2727	. . 3 ⊢ (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7		xrs0 32702	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8		xrge00 32711	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
9	7, 8	eqtr3i 2757	. . 3 ⊢ (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	1, 4, 5, 6, 9	ressmulgnn0 19017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11		nn0z 12599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		eliccxr 13430	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xrsmulgzz 32705	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
14	11, 12, 13	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
15	10, 14	eqtrd 2767	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  ℝ^*cxr 11263  ℕ₀cn0 12488  ℤcz 12574   ·_e cxmu 13109  [,]cicc 13345  Basecbs 17165   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17406  ℝ^*_𝑠cxrs 17467  inv_gcminusg 18876  ._gcmg 19007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-fz 13503  df-seq 13985  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17408  df-xrs 17469  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-minusg 18879  df-mulg 19008  df-cmn 19721

This theorem is referenced by:  esumcst  33605