MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metdsre 24589
Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsre ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metdsre
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4346 . . 3 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆)
2 metxmet 24060 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 24584 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
52, 4sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
65adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
76ffnd 6718 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
85adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
108, 9ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
11 eliccxr 13416 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
13 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
14 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
1514sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1615adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
17 metcl 24058 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ)
1813, 16, 9, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ)
19 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
2019simprbi 497 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
2110, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
223metdsle 24588 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))
232, 22sylanl1 678 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))
24 xrrege0 13157 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2512, 18, 21, 23, 24syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2625anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
28 ffnfv 7120 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ))
297, 27, 28sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ex 413 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
3130exlimdv 1936 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
321, 31biimtrid 241 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
33323impia 1117 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  [,]cicc 13331  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139
This theorem is referenced by:  metdscn2  24593  lebnumlem1  24701  lebnumlem3  24703
  Copyright terms: Public domain W3C validator