MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsre 24138
Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsre ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4304 . . 3 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆)
2 metxmet 23609 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 24133 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
52, 4sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
65adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
76ffnd 6664 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
85adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
108, 9ffvelcdmd 7030 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
11 eliccxr 13280 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
13 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
14 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
1514sselda 3942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1615adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
17 metcl 23607 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ)
1813, 16, 9, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ)
19 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
2019simprbi 497 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
2110, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
223metdsle 24137 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))
232, 22sylanl1 678 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))
24 xrrege0 13021 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2512, 18, 21, 23, 24syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2625anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3141 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
28 ffnfv 7060 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ))
297, 27, 28sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ex 413 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
3130exlimdv 1936 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
321, 31biimtrid 241 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
33323impia 1117 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5631   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  infcinf 9310  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  βˆžMetcxmet 20704  Metcmet 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-er 8581  df-ec 8583  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-2 12149  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-icc 13199  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714
This theorem is referenced by:  metdscn2  24142  lebnumlem1  24246  lebnumlem3  24248
  Copyright terms: Public domain W3C validator