Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsre 23449
 Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsre ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4291 . . 3 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝑆)
2 metxmet 22932 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 23444 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
52, 4sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
65adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
76ffnd 6498 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹 Fn 𝑋)
85adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
9 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
108, 9ffvelrnd 6835 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞))
11 eliccxr 12813 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
13 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
14 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝑋)
1514sselda 3951 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑋)
1615adantrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
17 metcl 22930 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
1813, 16, 9, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
19 elxrge0 12835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
2019simprbi 500 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
2110, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
223metdsle 23448 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
232, 22sylanl1 679 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
24 xrrege0 12555 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2512, 18, 21, 23, 24syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2625anassrs 471 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3176 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → ∀𝑤𝑋 (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
28 ffnfv 6865 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑤𝑋 (𝐹𝑤) ∈ ℝ))
297, 27, 28sylanbrc 586 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
3029ex 416 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑧𝑆𝐹:𝑋⟶ℝ))
3130exlimdv 1935 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑧 𝑧𝑆𝐹:𝑋⟶ℝ))
321, 31syl5bi 245 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
33323impia 1114 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∀wral 3132   ⊆ wss 3918  ∅c0 4274   class class class wbr 5049   ↦ cmpt 5129  ran crn 5539   Fn wfn 6333  ⟶wf 6334  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  infcinf 8891  ℝcr 10523  0cc0 10524  +∞cpnf 10659  ℝ*cxr 10661   < clt 10662   ≤ cle 10663  [,]cicc 12729  ∞Metcxmet 20518  Metcmet 20519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-er 8274  df-ec 8276  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-psmet 20525  df-xmet 20526  df-met 20527  df-bl 20528 This theorem is referenced by:  metdscn2  23453  lebnumlem1  23557  lebnumlem3  23559
 Copyright terms: Public domain W3C validator