Theorem metdsre 24889

Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsre	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsre

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4359	. . 3 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
2		metxmet 24360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 24884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	2, 4	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑋)
8	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
9		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
10	8, 9	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
11		eliccxr 13472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
13		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
16	15	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
17		metcl 24358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
18	13, 16, 9, 17	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
19		elxrge0 13494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
20	19	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
22	3	metdsle 24888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
23	2, 22	sylanl1 680	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
24		xrrege0 13213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
25	12, 18, 21, 23, 24	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
26	25	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
27	26	ralrimiva 3144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
28		ffnfv 7139	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ))
29	7, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
31	30	exlimdv 1931	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
32	1, 31	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
33	32	3impia 1116	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  ℝcr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  [,]cicc 13387  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377

This theorem is referenced by:  metdscn2  24893  lebnumlem1  25007  lebnumlem3  25009