Theorem metdsre 25080

Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsre	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem metdsre

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
2		metxmet 24560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 25075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	2, 4	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑋)
8	5	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
9		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
10	8, 9	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
11		eliccxr 13488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
13		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
14		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
16	15	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
17		metcl 24558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
18	13, 16, 9, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
19		elxrge0 13510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
20	19	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
21	10, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
22	3	metdsle 25079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
23	2, 22	sylanl1 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
24		xrrege0 13226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
25	12, 18, 21, 23, 24	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
26	25	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
27	26	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
28		ffnfv 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ))
29	7, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
31	30	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
32	1, 31	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
33	32	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  infcinf 9411  ℝcr 11123  0cc0 11124  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  [,]cicc 13401  ∞Metcxmet 21570  Metcmet 21571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-ec 8698  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-icc 13405  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580

This theorem is used by:  metdscn2  25084  lebnumlem1  25189  lebnumlem3  25191