MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsre 24138
Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsre ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4305 . . 3 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆)
2 metxmet 23609 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 24133 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
52, 4sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
65adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
76ffnd 6665 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
85adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
9 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
108, 9ffvelcdmd 7031 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞))
11 eliccxr 13281 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
13 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
14 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
1514sselda 3943 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1615adantrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
17 metcl 23607 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ)
1813, 16, 9, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ)
19 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
2019simprbi 498 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
2110, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
223metdsle 24137 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))
232, 22sylanl1 679 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))
24 xrrege0 13022 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2512, 18, 21, 23, 24syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2625anassrs 469 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3142 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
28 ffnfv 7061 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ))
297, 27, 28sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ex 414 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
3130exlimdv 1937 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
321, 31biimtrid 241 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
33323impia 1118 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704  Metcmet 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-ec 8584  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714
This theorem is referenced by:  metdscn2  24142  lebnumlem1  24246  lebnumlem3  24248
  Copyright terms: Public domain W3C validator