Theorem metdsre 24819

Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsre	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsre

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4293	. . 3 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
2		metxmet 24299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 24814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	2, 4	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
7	6	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑋)
8	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
9		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
10	8, 9	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞))
11		eliccxr 13388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ*)
13		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑋)
16	15	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
17		metcl 24297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
18	13, 16, 9, 17	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ)
19		elxrge0 13410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑤)))
20	19	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑤))
22	3	metdsle 24818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
23	2, 22	sylanl1 681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))
24		xrrege0 13126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑤) ∧ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
25	12, 18, 21, 23, 24	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
26	25	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
27	26	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ)
28		ffnfv 7071	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ))
29	7, 27, 28	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
31	30	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
32	1, 31	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝐹:𝑋⟶ℝ))
33	32	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  infcinf 9354  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  ∞Metcxmet 21337  Metcmet 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-ec 8645  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-2 12244  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347

This theorem is referenced by:  metdscn2  24823  lebnumlem1  24928  lebnumlem3  24930