Theorem metdscnlem 24812

Description: Lemma for metdscn 24813. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
metdscnlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
metdscnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscnlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metdscnlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		metdscn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 24805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6		metdscnlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8		eliccxr 13363	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
10		metdscnlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
11	5, 10	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12		eliccxr 13363	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	13	xnegcld 13227	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
15	9, 14	xaddcld 13228	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ*)
16		xmetcl 24287	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
17	1, 6, 10, 16	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18		metdscnlem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
19	18	rpxrd 12962	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
20	3	metdstri 24808	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
21	1, 2, 6, 10, 20	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
22		elxrge0 13385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
23	22	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
25		elxrge0 13385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
26	25	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
27	11, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
28		ge0nemnf 13100	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
29	13, 27, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
30		xmetge0 24300	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
31	1, 6, 10, 30	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32		xlesubadd 13190	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
33	9, 13, 17, 24, 29, 31, 32	syl33anc 1388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35		metdscnlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
36	15, 17, 19, 34, 35	xrlelttrd 13086	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  infcinf 9356  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917  -_𝑒cxne 13035   +_𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13276  distcds 17198  ℝ^*_𝑠cxrs 17433  ∞Metcxmet 21306  MetOpencmopn 21311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-ec 8647  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-2 12220  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-bl 21316

This theorem is referenced by:  metdscn  24813