Theorem metdscnlem 24760

Description: Lemma for metdscn 24761. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
metdscnlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
metdscnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscnlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metdscnlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		metdscn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 24753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6		metdscnlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	ffvelcdmd 7023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8		eliccxr 13356	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
10		metdscnlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
11	5, 10	ffvelcdmd 7023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12		eliccxr 13356	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	13	xnegcld 13220	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
15	9, 14	xaddcld 13221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ*)
16		xmetcl 24235	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
17	1, 6, 10, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18		metdscnlem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
19	18	rpxrd 12956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
20	3	metdstri 24756	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
21	1, 2, 6, 10, 20	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
22		elxrge0 13378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
23	22	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
25		elxrge0 13378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
26	25	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
27	11, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
28		ge0nemnf 13093	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
29	13, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
30		xmetge0 24248	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
31	1, 6, 10, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32		xlesubadd 13183	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
33	9, 13, 17, 24, 29, 31, 32	syl33anc 1387	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35		metdscnlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
36	15, 17, 19, 34, 35	xrlelttrd 13080	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  infcinf 9350  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℝ⁺crp 12911  -_𝑒cxne 13029   +_𝑒 cxad 13030  [,]cicc 13269  distcds 17188  ℝ^*_𝑠cxrs 17422  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-ec 8634  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-2 12209  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274

This theorem is referenced by:  metdscn  24761