MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 24789
Description: Lemma for metdscn 24790. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metdscnlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metdscnlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
metdscnlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 24782 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
75, 6ffvelcdmd 7090 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
8 eliccxr 13444 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
10 metdscnlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
115, 10ffvelcdmd 7090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
12 eliccxr 13444 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
1413xnegcld 13311 . . 3 (πœ‘ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
159, 14xaddcld 13312 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
16 xmetcl 24255 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
171, 6, 10, 16syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
18 metdscnlem.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 13049 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
203metdstri 24785 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
211, 2, 6, 10, 20syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
22 elxrge0 13466 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
2322simprbi 495 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
247, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
25 elxrge0 13466 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
2625simprbi 495 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
2711, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
28 ge0nemnf 13184 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞)
2913, 27, 28syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞)
30 xmetge0 24268 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
311, 6, 10, 30syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
32 xlesubadd 13274 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅))))
339, 13, 17, 24, 29, 31, 32syl33anc 1382 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅))))
3421, 33mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
35 metdscnlem.6 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) < 𝑅)
3615, 17, 19, 34, 35xrlelttrd 13171 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  infcinf 9464  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  β„+crp 13006  -𝑒cxne 13121   +𝑒 cxad 13122  [,]cicc 13359  distcds 17241  β„*𝑠cxrs 17481  βˆžMetcxmet 21268  MetOpencmopn 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-ec 8725  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278
This theorem is referenced by:  metdscn  24790
  Copyright terms: Public domain W3C validator