Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 23474
 Description: Lemma for metdscn 23475. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2 (𝜑𝑆𝑋)
metdscnlem.3 (𝜑𝐴𝑋)
metdscnlem.4 (𝜑𝐵𝑋)
metdscnlem.5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 23467 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
75, 6ffvelrnd 6834 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8 eliccxr 12820 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
10 metdscnlem.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
115, 10ffvelrnd 6834 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 eliccxr 12820 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1413xnegcld 12688 . . 3 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
159, 14xaddcld 12689 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
16 xmetcl 22952 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
171, 6, 10, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18 metdscnlem.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 12427 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
203metdstri 23470 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
211, 2, 6, 10, 20syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
22 elxrge0 12842 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
2322simprbi 500 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
247, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
25 elxrge0 12842 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
2625simprbi 500 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
2711, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐵))
28 ge0nemnf 12561 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
2913, 27, 28syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
30 xmetge0 22965 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
311, 6, 10, 30syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32 xlesubadd 12651 . . . 4 ((((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
339, 13, 17, 24, 29, 31, 32syl33anc 1382 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
3421, 33mpbird 260 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35 metdscnlem.6 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
3615, 17, 19, 34, 35xrlelttrd 12548 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ran crn 5521  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  infcinf 8896  0cc0 10533  +∞cpnf 10668  -∞cmnf 10669  ℝ*cxr 10670   < clt 10671   ≤ cle 10672  ℝ+crp 12384  -𝑒cxne 12499   +𝑒 cxad 12500  [,]cicc 12736  distcds 16573  ℝ*𝑠cxrs 16772  ∞Metcxmet 20084  MetOpencmopn 20089 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8279  df-ec 8281  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-2 11695  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-bl 20094 This theorem is referenced by:  metdscn  23475
 Copyright terms: Public domain W3C validator