MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 24726
Description: Lemma for metdscn 24727. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metdscnlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metdscnlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
metdscnlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 24719 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
75, 6ffvelcdmd 7081 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
8 eliccxr 13418 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
10 metdscnlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
115, 10ffvelcdmd 7081 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
12 eliccxr 13418 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
1413xnegcld 13285 . . 3 (πœ‘ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
159, 14xaddcld 13286 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
16 xmetcl 24192 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
171, 6, 10, 16syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
18 metdscnlem.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 13023 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
203metdstri 24722 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
211, 2, 6, 10, 20syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
22 elxrge0 13440 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
2322simprbi 496 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
247, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
25 elxrge0 13440 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
2625simprbi 496 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
2711, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
28 ge0nemnf 13158 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞)
2913, 27, 28syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞)
30 xmetge0 24205 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
311, 6, 10, 30syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
32 xlesubadd 13248 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅))))
339, 13, 17, 24, 29, 31, 32syl33anc 1382 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅))))
3421, 33mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
35 metdscnlem.6 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) < 𝑅)
3615, 17, 19, 34, 35xrlelttrd 13145 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„+crp 12980  -𝑒cxne 13095   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333  distcds 17215  β„*𝑠cxrs 17455  βˆžMetcxmet 21225  MetOpencmopn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235
This theorem is referenced by:  metdscn  24727
  Copyright terms: Public domain W3C validator