MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 24140
Description: Lemma for metdscn 24141. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metdscn.c 𝐢 = (distβ€˜β„*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metdscnlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metdscnlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
metdscnlem.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 24133 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
75, 6ffvelcdmd 7031 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
8 eliccxr 13281 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
10 metdscnlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
115, 10ffvelcdmd 7031 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
12 eliccxr 13281 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
1413xnegcld 13148 . . 3 (πœ‘ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
159, 14xaddcld 13149 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ*)
16 xmetcl 23606 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
171, 6, 10, 16syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*)
18 metdscnlem.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 12887 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
203metdstri 24136 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
211, 2, 6, 10, 20syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅)))
22 elxrge0 13303 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
2322simprbi 498 . . . . 5 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
247, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
25 elxrge0 13303 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)))
2625simprbi 498 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
2711, 26syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅))
28 ge0nemnf 13021 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΅)) β†’ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞)
2913, 27, 28syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞)
30 xmetge0 23619 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
311, 6, 10, 30syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))
32 xlesubadd 13111 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π΅) β‰  -∞ ∧ 0 ≀ (𝐴𝐷𝐡))) β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅))))
339, 13, 17, 24, 29, 31, 32syl33anc 1386 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡) ↔ (πΉβ€˜π΄) ≀ ((𝐴𝐷𝐡) +𝑒 (πΉβ€˜π΅))))
3421, 33mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴𝐷𝐡))
35 metdscnlem.6 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐡) < 𝑅)
3615, 17, 19, 34, 35xrlelttrd 13008 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) +𝑒 -𝑒(πΉβ€˜π΅)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942   βŠ† wss 3909   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  β„+crp 12844  -𝑒cxne 12959   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  distcds 17077  β„*𝑠cxrs 17317  βˆžMetcxmet 20704  MetOpencmopn 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-ec 8584  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714
This theorem is referenced by:  metdscn  24141
  Copyright terms: Public domain W3C validator