Theorem metdscnlem 24362

Description: Lemma for metdscn 24363. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
metdscnlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
metdscnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscnlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metdscnlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		metdscn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 24355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6		metdscnlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	ffvelcdmd 7084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8		eliccxr 13408	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
10		metdscnlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
11	5, 10	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12		eliccxr 13408	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	13	xnegcld 13275	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
15	9, 14	xaddcld 13276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ*)
16		xmetcl 23828	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
17	1, 6, 10, 16	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18		metdscnlem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
19	18	rpxrd 13013	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
20	3	metdstri 24358	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
21	1, 2, 6, 10, 20	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
22		elxrge0 13430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
23	22	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
25		elxrge0 13430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
26	25	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
27	11, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
28		ge0nemnf 13148	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
29	13, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
30		xmetge0 23841	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
31	1, 6, 10, 30	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32		xlesubadd 13238	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
33	9, 13, 17, 24, 29, 31, 32	syl33anc 1385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35		metdscnlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
36	15, 17, 19, 34, 35	xrlelttrd 13135	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 12970  -_𝑒cxne 13085   +_𝑒 cxad 13086  [,]cicc 13323  distcds 17202  ℝ^*_𝑠cxrs 17442  ∞Metcxmet 20921  MetOpencmopn 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931

This theorem is referenced by:  metdscn  24363