Theorem metdscnlem 24018

Description: Lemma for metdscn 24019. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c	⊢ 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
metdscnlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
metdscnlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
metdscnlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
metdscnlem	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscnlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		metdscnlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
3		metdscn.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	3	metdsf 24011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6		metdscnlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	5, 6	ffvelrnd 6962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8		eliccxr 13167	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
10		metdscnlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
11	5, 10	ffvelrnd 6962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12		eliccxr 13167	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	13	xnegcld 13034	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ*)
15	9, 14	xaddcld 13035	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ*)
16		xmetcl 23484	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
17	1, 6, 10, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18		metdscnlem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
19	18	rpxrd 12773	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
20	3	metdstri 24014	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
21	1, 2, 6, 10, 20	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵)))
22		elxrge0 13189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
23	22	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
25		elxrge0 13189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)))
26	25	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
27	11, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐵))
28		ge0nemnf 12907	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
29	13, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ -∞)
30		xmetge0 23497	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
31	1, 6, 10, 30	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32		xlesubadd 12997	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
33	9, 13, 17, 24, 29, 31, 32	syl33anc 1384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35		metdscnlem.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
36	15, 17, 19, 34, 35	xrlelttrd 12894	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹‘𝐵)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℝ⁺crp 12730  -_𝑒cxne 12845   +_𝑒 cxad 12846  [,]cicc 13082  distcds 16971  ℝ^*_𝑠cxrs 17211  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592

This theorem is referenced by:  metdscn  24019