MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 23150
Description: Lemma for metdscn 23151. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2 (𝜑𝑆𝑋)
metdscnlem.3 (𝜑𝐴𝑋)
metdscnlem.4 (𝜑𝐵𝑋)
metdscnlem.5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 23143 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
75, 6ffvelrnd 6724 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8 eliccxr 12677 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
10 metdscnlem.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
115, 10ffvelrnd 6724 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
12 eliccxr 12677 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1413xnegcld 12547 . . 3 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
159, 14xaddcld 12548 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
16 xmetcl 22628 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
171, 6, 10, 16syl3anc 1364 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18 metdscnlem.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 12286 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
203metdstri 23146 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
211, 2, 6, 10, 20syl22anc 835 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
22 elxrge0 12699 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
2322simprbi 497 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
247, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
25 elxrge0 12699 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
2625simprbi 497 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
2711, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐵))
28 ge0nemnf 12420 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
2913, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
30 xmetge0 22641 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
311, 6, 10, 30syl3anc 1364 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32 xlesubadd 12510 . . . 4 ((((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
339, 13, 17, 24, 29, 31, 32syl33anc 1378 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
3421, 33mpbird 258 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35 metdscnlem.6 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
3615, 17, 19, 34, 35xrlelttrd 12407 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wss 3865   class class class wbr 4968  cmpt 5047  ran crn 5451  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  infcinf 8758  0cc0 10390  +∞cpnf 10525  -∞cmnf 10526  *cxr 10527   < clt 10528  cle 10529  +crp 12243  -𝑒cxne 12358   +𝑒 cxad 12359  [,]cicc 12595  distcds 16407  *𝑠cxrs 16606  ∞Metcxmet 20216  MetOpencmopn 20221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-er 8146  df-ec 8148  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-2 11554  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-icc 12599  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-bl 20226
This theorem is referenced by:  metdscn  23151
  Copyright terms: Public domain W3C validator