Theorem elxpcbasex2 50703

Description: A non-empty base set of the product category indicates the existence of the second factor of the product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.) (Proof shortened by SN, 15-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elxpcbasex1.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
elxpcbasex1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
elxpcbasex1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elxpcbasex2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)

Proof of Theorem elxpcbasex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpcbasex1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmxpc 50699	. . . 4 ⊢ Rel dom ×c
3		elxpcbasex1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		elxpcbasex1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5	2, 3, 4	elbasov 17438	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
7	6	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ×_c cxpc 18392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-addcl 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-xpc 18396

This theorem is used by:  swapf1a  50722  swapf2vala  50723  swapf2f1oaALT  50731