Theorem elxpcbasex2 49740

Description: A non-empty base set of the product category indicates the existence of the second factor of the product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.) (Proof shortened by SN, 15-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elxpcbasex1.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
elxpcbasex1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
elxpcbasex1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elxpcbasex2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)

Proof of Theorem elxpcbasex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpcbasex1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		reldmxpc 49736	. . . 4 ⊢ Rel dom ×c
3		elxpcbasex1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		elxpcbasex1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
5	2, 3, 4	elbasov 17180	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ×_c cxpc 18128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-1cn 11090  ax-addcl 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12169  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-xpc 18132

This theorem is referenced by:  swapf1a  49759  swapf2vala  49760  swapf2f1oaALT  49768