Theorem swapf1a 50376

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1a.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1a.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
swapf1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
swapf1a	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)

Proof of Theorem swapf1a

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapf1a.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		swapf1a.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		swapf1a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	elxpcbasex1 50355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5	1, 2, 3	elxpcbasex2 50357	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		swapf1a.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
7	4, 5, 1, 2, 6	swapf1val 50374	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
9	8	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
10	9	cnveqd 5853	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ◡{𝑥} = ◡{𝑋})
11	10	unieqd 4880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{𝑋})
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	1, 12, 13	xpcbas 18352	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘𝑆)
15	2, 14	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))
16	3, 15	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
17		2nd1st 8049	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
20	11, 19	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
21		opex 5432	. . 3 ⊢ ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩ ∈ V
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩ ∈ V)
23	7, 20, 3, 22	fvmptd 7001	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  Basecbs 17387   ×_c cxpc 18342   swap_F cswapf 50366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-xpc 18346  df-swapf 50367

This theorem is used by:  swapf2f1oa  50384  swapf2f1oaALT  50385  swapfcoa  50388