Theorem swapf1a 49020

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1a.o	⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1a.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
swapf1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
swapf1a	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)

Proof of Theorem swapf1a

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapf1a.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		swapf1a.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		swapf1a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	elxpcbasex1 48999	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5	1, 2, 3	elxpcbasex2 49001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		swapf1a.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶swapF𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
7	4, 5, 1, 2, 6	swapf1val 49018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
9	8	sneqd 4618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
10	9	cnveqd 5866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ◡{𝑥} = ◡{𝑋})
11	10	unieqd 4900	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{𝑋})
12		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	1, 12, 13	xpcbas 18194	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘𝑆)
15	2, 14	eqtr4i 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))
16	3, 15	eleqtrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
17		2nd1st 8045	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
20	11, 19	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
21		opex 5449	. . 3 ⊢ ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩ ∈ V
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩ ∈ V)
23	7, 20, 3, 22	fvmptd 7003	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  {csn 4606  ⟨cop 4612  ∪ cuni 4887   × cxp 5663  ^◡ccnv 5664  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  Basecbs 17230   ×_c cxpc 18184  swap_Fcswapf 49010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-xpc 18188  df-swapf 49011

This theorem is referenced by:  swapf2f1oa  49028  swapf2f1oaALT  49029  swapfcoa  49032