Theorem swapf1a 49899

Description: The object part of the swap functor swaps the objects. (Contributed by Zhi Wang, 7-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
swapf1a.o	⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
swapf1a.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
swapf1a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
swapf1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
swapf1a	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)

Proof of Theorem swapf1a

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swapf1a.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ×c 𝐷)
2		swapf1a.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		swapf1a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	elxpcbasex1 49878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5	1, 2, 3	elxpcbasex2 49880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
6		swapf1a.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 swapF 𝐷) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
7	4, 5, 1, 2, 6	swapf1val 49897	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
8		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
9	8	sneqd 4597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
10	9	cnveqd 5851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ◡{𝑥} = ◡{𝑋})
11	10	unieqd 4880	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑥} = ∪ ◡{𝑋})
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	1, 12, 13	xpcbas 18222	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = (Base‘𝑆)
15	2, 14	eqtr4i 2791	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))
16	3, 15	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)))
17		2nd1st 8023	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑋} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
20	11, 19	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ∪ ◡{𝑥} = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)
21		opex 5435	. . 3 ⊢ ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩ ∈ V
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩ ∈ V)
23	7, 20, 3, 22	fvmptd 6987	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ⟨(2nd ‘𝑋), (1st ‘𝑋)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4867   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  Basecbs 17257   ×_c cxpc 18212   swap_F cswapf 49889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-xpc 18216  df-swapf 49890

This theorem is referenced by:  swapf2f1oa  49907  swapf2f1oaALT  49908  swapfcoa  49911