Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhre 30579
Description: The ℚHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
qqhre (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)

Proof of Theorem qqhre
StepHypRef Expression
1 resubdrg 20276 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21simpri 480 . . . . . 6 fld ∈ DivRing
3 drngring 19071 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
4 f1oi 6394 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
5 f1of1 6356 . . . . . . . . . . 11 (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ
7 zssre 11672 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
8 f1ss 6322 . . . . . . . . . 10 ((( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ)
96, 7, 8mp2an 684 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ
10 zrhre 30578 . . . . . . . . . 10 (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)
11 f1eq1 6312 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ)
139, 12mpbir 223 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ
14 rebase 20274 . . . . . . . . 9 ℝ = (Base‘ℝfld)
15 eqid 2800 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
16 re0g 20280 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘ℝfld)
1714, 15, 16zrhchr 30535 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ Ring → ((chr‘ℝfld) = 0 ↔ (ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ))
1813, 17mpbiri 250 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Ring → (chr‘ℝfld) = 0)
192, 3, 18mp2b 10 . . . . . 6 (chr‘ℝfld) = 0
20 eqid 2800 . . . . . . 7 (/r‘ℝfld) = (/r‘ℝfld)
2114, 20, 15qqhf 30545 . . . . . 6 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ (chr‘ℝfld) = 0) → (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ)
222, 19, 21mp2an 684 . . . . 5 (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ
2322a1i 11 . . . 4 (⊤ → (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ)
2423feqmptd 6475 . . 3 (⊤ → (ℚHom‘ℝfld) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞)))
2524mptru 1661 . 2 (ℚHom‘ℝfld) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞))
2614, 20, 15qqhvval 30542 . . . . 5 (((ℝfld ∈ DivRing ∧ (chr‘ℝfld) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
272, 19, 26mpanl12 694 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
28 f1f 6317 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ → (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ)
2913, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ)
31 qnumcl 15780 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
3230, 31ffvelrnd 6587 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) ∈ ℝ)
33 qdencl 15781 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
3433nnzd 11770 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
3530, 34ffvelrnd 6587 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ∈ ℝ)
3634anim1i 609 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
3714, 15, 16zrhf1ker 30534 . . . . . . . . . . . 12 (ℝfld ∈ Ring → ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0}))
382, 3, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0})
3913, 38mpbi 222 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0}
4039eleq2i 2871 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ (denom‘𝑞) ∈ {0})
41 ffn 6257 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ → (ℤRHom‘ℝfld) Fn ℤ)
42 fniniseg 6565 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0)))
4329, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
44 fvex 6425 . . . . . . . . . 10 (denom‘𝑞) ∈ V
4544elsn 4384 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
4640, 43, 453bitr3ri 294 . . . . . . . 8 ((denom‘𝑞) = 0 ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
4736, 46sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → (denom‘𝑞) = 0)
4833nnne0d 11362 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ≠ 0)
4948adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
5049neneqd 2977 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
5147, 50pm2.65da 852 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ¬ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0)
5251neqned 2979 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ≠ 0)
53 redvr 20285 . . . . 5 ((((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) ∈ ℝ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ∈ ℝ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ≠ 0) → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
5432, 35, 52, 53syl3anc 1491 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
5510fveq1i 6413 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (( I ↾ ℤ)‘(numer‘𝑞))
56 fvresi 6669 . . . . . . . 8 ((numer‘𝑞) ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5755, 56syl5eq 2846 . . . . . . 7 ((numer‘𝑞) ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5831, 57syl 17 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5910fveq1i 6413 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (( I ↾ ℤ)‘(denom‘𝑞))
60 fvresi 6669 . . . . . . . 8 ((denom‘𝑞) ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
6159, 60syl5eq 2846 . . . . . . 7 ((denom‘𝑞) ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
6234, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
6358, 62oveq12d 6897 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
64 qeqnumdivden 15786 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
6563, 64eqtr4d 2837 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = 𝑞)
6627, 54, 653eqtrd 2838 . . 3 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = 𝑞)
6766mpteq2ia 4934 . 2 (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞)) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ 𝑞)
68 mptresid 5676 . 2 (𝑞 ∈ ℚ ↦ 𝑞) = ( I ↾ ℚ)
6925, 67, 683eqtri 2826 1 (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wtru 1654  wcel 2157  wne 2972  wss 3770  {csn 4369  cmpt 4923   I cid 5220  ccnv 5312  cres 5315  cima 5316   Fn wfn 6097  wf 6098  1-1wf1 6099  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  (class class class)co 6879  cr 10224  0cc0 10225   / cdiv 10977  cz 11665  cq 12032  numercnumer 15773  denomcdenom 15774  Ringcrg 18862  /rcdvr 18997  DivRingcdr 19064  SubRingcsubrg 19093  fldccnfld 20067  ℤRHomczrh 20169  chrcchr 20171  fldcrefld 20272  ℚHomcqqh 30531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-tpos 7591  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-fz 12580  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-dvds 15319  df-gcd 15551  df-numer 15775  df-denom 15776  df-gz 15966  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-mhm 17649  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-sbg 17742  df-mulg 17856  df-subg 17903  df-ghm 17970  df-od 18260  df-cmn 18509  df-mgp 18805  df-ur 18817  df-ring 18864  df-cring 18865  df-oppr 18938  df-dvdsr 18956  df-unit 18957  df-invr 18987  df-dvr 18998  df-rnghom 19032  df-drng 19066  df-subrg 19095  df-cnfld 20068  df-zring 20140  df-zrh 20173  df-chr 20175  df-refld 20273  df-qqh 30532
This theorem is referenced by:  rrhre  30580
  Copyright terms: Public domain W3C validator