Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhre 31709
Description: The ℚHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
qqhre (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)

Proof of Theorem qqhre
StepHypRef Expression
1 resubdrg 20598 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21simpri 489 . . . . 5 fld ∈ DivRing
3 drngring 19802 . . . . . 6 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
4 f1oi 6717 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
5 f1of1 6679 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ
7 zssre 12208 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
8 f1ss 6640 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℤ ∧ ℤ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ)
96, 7, 8mp2an 692 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ
10 zrhre 31708 . . . . . . . . 9 (ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ)
11 f1eq1 6629 . . . . . . . . 9 ((ℤRHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℤ) → ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1→ℝ)
139, 12mpbir 234 . . . . . . 7 (ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ
14 rebase 20596 . . . . . . . 8 ℝ = (Base‘ℝfld)
15 eqid 2738 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘ℝfld) = (ℤRHom‘ℝfld)
16 re0g 20602 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℝfld)
1714, 15, 16zrhchr 31665 . . . . . . 7 (ℝfld ∈ Ring → ((chr‘ℝfld) = 0 ↔ (ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ))
1813, 17mpbiri 261 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Ring → (chr‘ℝfld) = 0)
192, 3, 18mp2b 10 . . . . 5 (chr‘ℝfld) = 0
20 eqid 2738 . . . . . 6 (/r‘ℝfld) = (/r‘ℝfld)
2114, 20, 15qqhvval 31672 . . . . 5 (((ℝfld ∈ DivRing ∧ (chr‘ℝfld) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
222, 19, 21mpanl12 702 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
23 f1f 6634 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ → (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ)
2413, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ)
26 qnumcl 16324 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
2725, 26ffvelrnd 6924 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) ∈ ℝ)
28 qdencl 16325 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
2928nnzd 12306 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
3025, 29ffvelrnd 6924 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ∈ ℝ)
3129anim1i 618 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
3214, 15, 16zrhf1ker 31664 . . . . . . . . . . . 12 (ℝfld ∈ Ring → ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0}))
332, 3, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ–1-1→ℝ ↔ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0})
3413, 33mpbi 233 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) = {0}
3534eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ (denom‘𝑞) ∈ {0})
36 ffn 6564 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld):ℤ⟶ℝ → (ℤRHom‘ℝfld) Fn ℤ)
37 fniniseg 6899 . . . . . . . . . 10 ((ℤRHom‘ℝfld) Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0)))
3824, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ ((ℤRHom‘ℝfld) “ {0}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
39 fvex 6749 . . . . . . . . . 10 (denom‘𝑞) ∈ V
4039elsn 4571 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
4135, 38, 403bitr3ri 305 . . . . . . . 8 ((denom‘𝑞) = 0 ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0))
4231, 41sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → (denom‘𝑞) = 0)
4328nnne0d 11905 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ≠ 0)
4443adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
4544neneqd 2946 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
4642, 45pm2.65da 817 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ¬ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = 0)
4746neqned 2948 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ≠ 0)
48 redvr 20607 . . . . 5 ((((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) ∈ ℝ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ∈ ℝ ∧ ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) ≠ 0) → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
4927, 30, 47, 48syl3anc 1373 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞))(/r‘ℝfld)((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))))
5010fveq1i 6737 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (( I ↾ ℤ)‘(numer‘𝑞))
51 fvresi 7007 . . . . . . . 8 ((numer‘𝑞) ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5250, 51syl5eq 2791 . . . . . . 7 ((numer‘𝑞) ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5326, 52syl 17 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) = (numer‘𝑞))
5410fveq1i 6737 . . . . . . . 8 ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (( I ↾ ℤ)‘(denom‘𝑞))
55 fvresi 7007 . . . . . . . 8 ((denom‘𝑞) ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
5654, 55syl5eq 2791 . . . . . . 7 ((denom‘𝑞) ∈ ℤ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
5729, 56syl 17 . . . . . 6 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞)) = (denom‘𝑞))
5853, 57oveq12d 7250 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
59 qeqnumdivden 16330 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
6058, 59eqtr4d 2781 . . . 4 (𝑞 ∈ ℚ → (((ℤRHom‘ℝfld)‘(numer‘𝑞)) / ((ℤRHom‘ℝfld)‘(denom‘𝑞))) = 𝑞)
6122, 49, 603eqtrd 2782 . . 3 (𝑞 ∈ ℚ → ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞) = 𝑞)
6261mpteq2ia 5161 . 2 (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞)) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ 𝑞)
6314, 20, 15qqhf 31675 . . . . . 6 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ (chr‘ℝfld) = 0) → (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ)
642, 19, 63mp2an 692 . . . . 5 (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ
6564a1i 11 . . . 4 (⊤ → (ℚHom‘ℝfld):ℚ⟶ℝ)
6665feqmptd 6799 . . 3 (⊤ → (ℚHom‘ℝfld) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞)))
6766mptru 1550 . 2 (ℚHom‘ℝfld) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((ℚHom‘ℝfld)‘𝑞))
68 mptresid 5933 . 2 ( I ↾ ℚ) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ 𝑞)
6962, 67, 683eqtr4i 2776 1 (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wtru 1544  wcel 2111  wne 2941  wss 3881  {csn 4556  cmpt 5150   I cid 5469  ccnv 5565  cres 5568  cima 5569   Fn wfn 6393  wf 6394  1-1wf1 6395  1-1-ontowf1o 6397  cfv 6398  (class class class)co 7232  cr 10753  0cc0 10754   / cdiv 11514  cz 12201  cq 12569  numercnumer 16317  denomcdenom 16318  Ringcrg 19590  /rcdvr 19728  DivRingcdr 19795  SubRingcsubrg 19824  fldccnfld 20391  ℤRHomczrh 20494  chrcchr 20496  fldcrefld 20594  ℚHomcqqh 31661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832  ax-addf 10833  ax-mulf 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-tpos 7989  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-map 8531  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-sup 9083  df-inf 9084  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-q 12570  df-rp 12612  df-fz 13121  df-fl 13392  df-mod 13470  df-seq 13602  df-exp 13663  df-cj 14690  df-re 14691  df-im 14692  df-sqrt 14826  df-abs 14827  df-dvds 15844  df-gcd 16082  df-numer 16319  df-denom 16320  df-gz 16511  df-struct 16728  df-sets 16745  df-slot 16763  df-ndx 16773  df-base 16789  df-ress 16813  df-plusg 16843  df-mulr 16844  df-starv 16845  df-tset 16849  df-ple 16850  df-ds 16852  df-unif 16853  df-0g 16974  df-mgm 18142  df-sgrp 18191  df-mnd 18202  df-mhm 18246  df-grp 18396  df-minusg 18397  df-sbg 18398  df-mulg 18517  df-subg 18568  df-ghm 18648  df-od 18948  df-cmn 19200  df-mgp 19533  df-ur 19545  df-ring 19592  df-cring 19593  df-oppr 19669  df-dvdsr 19687  df-unit 19688  df-invr 19718  df-dvr 19729  df-rnghom 19763  df-drng 19797  df-subrg 19826  df-cnfld 20392  df-zring 20464  df-zrh 20498  df-chr 20500  df-refld 20595  df-qqh 31662
This theorem is referenced by:  rrhre  31710
  Copyright terms: Public domain W3C validator