MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem11 16888
Description: Lemma for 4sq 16897. Use the pigeonhole principle to show that the sets {π‘šβ†‘2 ∣ π‘š ∈ (0...𝑁)} and {-1 βˆ’ 𝑛↑2 ∣ 𝑛 ∈ (0...𝑁)} have a common element, mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ β„€ 𝑛 = (((π‘₯↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑀↑2)))}
4sq.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4sq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((2 Β· 𝑁) + 1))
4sq.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
4sqlem11.5 𝐴 = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)}
4sqlem11.6 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣))
Assertion
Ref Expression
4sqlem11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝐴   𝑛,𝐹   𝑒,𝑛,π‘š,𝑣,𝑁   𝑃,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣   πœ‘,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣   𝑆,π‘š,𝑛,𝑒,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑒,π‘š)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑒,π‘š)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)

Proof of Theorem 4sqlem11
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13938 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
2 4sqlem11.5 . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)}
3 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ π‘š ∈ β„€)
4 zsqcl 14094 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„€ β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„€)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„€)
6 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
7 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
9 zmodfz 13858 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘šβ†‘2) ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
105, 8, 9syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
11 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . 11 (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) β†’ 𝑒 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) β†’ 𝑒 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
1312rexlimdva 3156 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) β†’ 𝑒 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
1413abssdv 4066 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)} βŠ† (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
152, 14eqsstrid 4031 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
16 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
176, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
18 peano2zm 12605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
2019zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2120addlidd 11415 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 + (𝑃 βˆ’ 1)) = (𝑃 βˆ’ 1))
2221oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((0 + (𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ 𝑣) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣))
2322adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((0 + (𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ 𝑣) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣))
2415sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
25 fzrev3i 13568 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ((0 + (𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ 𝑣) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((0 + (𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ 𝑣) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
2723, 26eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
28 4sqlem11.6 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣))
2927, 28fmptd 7114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
3029frnd 6726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
3115, 30unssd 4187 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ ran 𝐹) βŠ† (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
321, 31ssfid 9267 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ ran 𝐹) ∈ Fin)
33 hashcl 14316 . . . . 5 ((𝐴 βˆͺ ran 𝐹) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ∈ β„•0)
3432, 33syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ∈ β„•0)
3534nn0red 12533 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
3617zred 12666 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
37 ssdomg 8996 . . . . . 6 ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin β†’ ((𝐴 βˆͺ ran 𝐹) βŠ† (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝐴 βˆͺ ran 𝐹) β‰Ό (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
381, 31, 37sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ ran 𝐹) β‰Ό (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
39 hashdom 14339 . . . . . 6 (((𝐴 βˆͺ ran 𝐹) ∈ Fin ∧ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ≀ (β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ (𝐴 βˆͺ ran 𝐹) β‰Ό (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
4032, 1, 39syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ≀ (β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))) ↔ (𝐴 βˆͺ ran 𝐹) β‰Ό (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
4138, 40mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ≀ (β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))))
42 fz01en 13529 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β‰ˆ (1...𝑃))
4317, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β‰ˆ (1...𝑃))
44 fzfid 13938 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...𝑃) ∈ Fin)
45 hashen 14307 . . . . . . 7 (((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑃) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))) = (β™―β€˜(1...𝑃)) ↔ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β‰ˆ (1...𝑃)))
461, 44, 45syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))) = (β™―β€˜(1...𝑃)) ↔ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β‰ˆ (1...𝑃)))
4743, 46mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))) = (β™―β€˜(1...𝑃)))
488nnnn0d 12532 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
49 hashfz1 14306 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑃)) = 𝑃)
5048, 49syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑃)) = 𝑃)
5147, 50eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...(𝑃 βˆ’ 1))) = 𝑃)
5241, 51breqtrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) ≀ 𝑃)
5335, 36, 52lensymd 11365 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 < (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)))
5436adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
5554ltp1d 12144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ 𝑃 < (𝑃 + 1))
56 4sq.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5756nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
58 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
5957, 57, 58, 58add4d 11442 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 𝑁) + (1 + 1)) = ((𝑁 + 1) + (𝑁 + 1)))
60 4sq.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((2 Β· 𝑁) + 1))
6160oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 1) = (((2 Β· 𝑁) + 1) + 1))
62 2cn 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
63 mulcl 11194 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
6462, 57, 63sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
6564, 58, 58addassd 11236 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) + 1) = ((2 Β· 𝑁) + (1 + 1)))
66572timesd 12455 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
6766oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) + (1 + 1)) = ((𝑁 + 𝑁) + (1 + 1)))
6861, 65, 673eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + (1 + 1)))
6910ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
708adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
713ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ π‘š ∈ β„€)
7271, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„€)
73 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
7473ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
75 zsqcl 14094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ β„€ β†’ (𝑒↑2) ∈ β„€)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑒↑2) ∈ β„€)
77 moddvds 16208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (π‘šβ†‘2) ∈ β„€ ∧ (𝑒↑2) ∈ β„€) β†’ (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((π‘šβ†‘2) βˆ’ (𝑒↑2))))
7870, 72, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((π‘šβ†‘2) βˆ’ (𝑒↑2))))
7971zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8074zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
81 subsq 14174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ ((π‘šβ†‘2) βˆ’ (𝑒↑2)) = ((π‘š + 𝑒) Β· (π‘š βˆ’ 𝑒)))
8279, 80, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((π‘šβ†‘2) βˆ’ (𝑒↑2)) = ((π‘š + 𝑒) Β· (π‘š βˆ’ 𝑒)))
8382breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π‘šβ†‘2) βˆ’ (𝑒↑2)) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((π‘š + 𝑒) Β· (π‘š βˆ’ 𝑒))))
846adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
8571, 74zaddcld 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š + 𝑒) ∈ β„€)
8671, 74zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑒) ∈ β„€)
87 euclemma 16650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ (π‘š + 𝑒) ∈ β„€ ∧ (π‘š βˆ’ 𝑒) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π‘š + 𝑒) Β· (π‘š βˆ’ 𝑒)) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) ∨ 𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒))))
8884, 85, 86, 87syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 βˆ₯ ((π‘š + 𝑒) Β· (π‘š βˆ’ 𝑒)) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) ∨ 𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒))))
8978, 83, 883bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃) ↔ (𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) ∨ 𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒))))
9085zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š + 𝑒) ∈ ℝ)
91 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
9256nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
93 remulcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
9491, 92, 93sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
9684, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
9796zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
9871zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
9974zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
10092adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
101 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ π‘š ≀ 𝑁)
102101ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ π‘š ≀ 𝑁)
103 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑒 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑒 ≀ 𝑁)
104103ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑒 ≀ 𝑁)
10598, 99, 100, 100, 102, 104le2addd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š + 𝑒) ≀ (𝑁 + 𝑁))
10657adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1071062timesd 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
108105, 107breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š + 𝑒) ≀ (2 Β· 𝑁))
10994ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) < ((2 Β· 𝑁) + 1))
110109, 60breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) < 𝑃)
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (2 Β· 𝑁) < 𝑃)
11290, 95, 97, 108, 111lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š + 𝑒) < 𝑃)
11390, 97ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((π‘š + 𝑒) < 𝑃 ↔ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒)))
114112, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒))
115114adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒))
11617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
11785adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (π‘š + 𝑒) ∈ β„€)
118 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ 1 ∈ ℝ)
119 nn0abscl 15259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘š βˆ’ 𝑒) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„•0)
12086, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„•0)
121120nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ ℝ)
122121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ ℝ)
123117zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (π‘š + 𝑒) ∈ ℝ)
124120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„•0)
125124nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„€)
12686zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑒) ∈ β„‚)
127126adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑒) ∈ β„‚)
12879, 80subeq0ad 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((π‘š βˆ’ 𝑒) = 0 ↔ π‘š = 𝑒))
129128necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((π‘š βˆ’ 𝑒) β‰  0 ↔ π‘š β‰  𝑒))
130129biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑒) β‰  0)
131127, 130absrpcld 15395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ ℝ+)
132131rpgt0d 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ 0 < (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)))
133 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„• ↔ ((absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„€ ∧ 0 < (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒))))
134125, 132, 133sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„•)
135134nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ 1 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)))
136 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 0 ∈ β„‚)
13779, 80, 136abs3difd 15407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ≀ ((absβ€˜(π‘š βˆ’ 0)) + (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑒))))
13879subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š βˆ’ 0) = π‘š)
139138fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘š))
140 elfzle1 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ 0 ≀ π‘š)
141140ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 0 ≀ π‘š)
14298, 141absidd 15369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜π‘š) = π‘š)
143139, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 0)) = π‘š)
144 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 ∈ β„‚
145 abssub 15273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 0)))
146144, 80, 145sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 0)))
14780subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑒 βˆ’ 0) = 𝑒)
148147fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘’))
149 elfzle1 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑒 ∈ (0...𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑒)
150149ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ 0 ≀ 𝑒)
15199, 150absidd 15369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜π‘’) = 𝑒)
152146, 148, 1513eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑒)) = 𝑒)
153143, 152oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((absβ€˜(π‘š βˆ’ 0)) + (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑒))) = (π‘š + 𝑒))
154137, 153breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ≀ (π‘š + 𝑒))
155154adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ≀ (π‘š + 𝑒))
156118, 122, 123, 135, 155letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ 1 ≀ (π‘š + 𝑒))
157 elnnz1 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘š + 𝑒) ∈ β„• ↔ ((π‘š + 𝑒) ∈ β„€ ∧ 1 ≀ (π‘š + 𝑒)))
158117, 156, 157sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (π‘š + 𝑒) ∈ β„•)
159 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (π‘š + 𝑒) ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) β†’ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒)))
160116, 158, 159syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) β†’ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒)))
161115, 160mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒))
162161ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š β‰  𝑒 β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒)))
163162necon4ad 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) β†’ π‘š = 𝑒))
164 dvdsabsb 16219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (π‘š βˆ’ 𝑒) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒) ↔ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒))))
16596, 86, 164syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒) ↔ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒))))
166 letr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ ℝ ∧ (π‘š + 𝑒) ∈ ℝ) β†’ ((𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∧ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ≀ (π‘š + 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒)))
16797, 121, 90, 166syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∧ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ≀ (π‘š + 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒)))
168154, 167mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (π‘š + 𝑒)))
169114, 168mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)))
170169adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)))
17196adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
172 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒))))
173171, 134, 172syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ (𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒))))
174170, 173mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) ∧ π‘š β‰  𝑒) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)))
175174ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (π‘š β‰  𝑒 β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒))))
176175necon4ad 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 βˆ₯ (absβ€˜(π‘š βˆ’ 𝑒)) β†’ π‘š = 𝑒))
177165, 176sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒) β†’ π‘š = 𝑒))
178163, 177jaod 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((𝑃 βˆ₯ (π‘š + 𝑒) ∨ 𝑃 βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑒)) β†’ π‘š = 𝑒))
17989, 178sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃) β†’ π‘š = 𝑒))
180 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š = 𝑒 β†’ (π‘šβ†‘2) = (𝑒↑2))
181180oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š = 𝑒 β†’ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃))
182179, 181impbid1 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁))) β†’ (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃) ↔ π‘š = 𝑒))
183182ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((π‘šβ†‘2) mod 𝑃) = ((𝑒↑2) mod 𝑃) ↔ π‘š = 𝑒)))
18469, 183dom2lem 8988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
185 f1f1orn 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)))
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)))
187 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)) = (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃))
188187rnmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)𝑒 = ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)}
1892, 188eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 = ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃))
190 f1oeq3 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)) β†’ ((π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-onto→𝐴 ↔ (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃))))
191189, 190ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-onto→𝐴 ↔ (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-ontoβ†’ran (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)))
192186, 191sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-onto→𝐴)
193 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...𝑁) ∈ V
194193f1oen 8969 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ (0...𝑁) ↦ ((π‘šβ†‘2) mod 𝑃)):(0...𝑁)–1-1-onto→𝐴 β†’ (0...𝑁) β‰ˆ 𝐴)
195192, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) β‰ˆ 𝐴)
196195ensymd 9001 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰ˆ (0...𝑁))
197 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
198 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
19957, 197, 198sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
200199oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑁))
20156nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
202 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
204203nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
205 fz01en 13529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β‰ˆ (1...(𝑁 + 1)))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β‰ˆ (1...(𝑁 + 1)))
207200, 206eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) β‰ˆ (1...(𝑁 + 1)))
208 entr 9002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 β‰ˆ (0...𝑁) ∧ (0...𝑁) β‰ˆ (1...(𝑁 + 1))) β†’ 𝐴 β‰ˆ (1...(𝑁 + 1)))
209196, 207, 208syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰ˆ (1...(𝑁 + 1)))
2101, 15ssfid 9267 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
211 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
212 hashen 14307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜(1...(𝑁 + 1))) ↔ 𝐴 β‰ˆ (1...(𝑁 + 1))))
213210, 211, 212syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜(1...(𝑁 + 1))) ↔ 𝐴 β‰ˆ (1...(𝑁 + 1))))
214209, 213mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜(1...(𝑁 + 1))))
215 hashfz1 14306 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
216203, 215syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
217214, 216eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (𝑁 + 1))
21827ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))))
21920adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
220 fzssuz 13542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0)
221 uzssz 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„€β‰₯β€˜0) βŠ† β„€
222 zsscn 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„€ βŠ† β„‚
223221, 222sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„€β‰₯β€˜0) βŠ† β„‚
224220, 223sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† β„‚
22515, 224sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
226225sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
227226adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
228225sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
229228adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
230219, 227, 229subcanad 11614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) ↔ 𝑣 = π‘˜))
231230ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) ↔ 𝑣 = π‘˜)))
232218, 231dom2lem 8988 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣)):𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
233 f1eq1 6783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣)) β†’ (𝐹:𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣)):𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1))))
23428, 233ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ 𝑣)):𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
235232, 234sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
236 f1f1orn 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴–1-1β†’(0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝐹:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
238210, 237hasheqf1od 14313 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = (β™―β€˜ran 𝐹))
239238, 217eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜ran 𝐹) = (𝑁 + 1))
240217, 239oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜ran 𝐹)) = ((𝑁 + 1) + (𝑁 + 1)))
24159, 68, 2403eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 1) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜ran 𝐹)))
242241adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ (𝑃 + 1) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜ran 𝐹)))
243210adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2441, 30ssfid 9267 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
245244adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
246 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…)
247 hashun 14342 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜ran 𝐹)))
248243, 245, 246, 247syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜ran 𝐹)))
249242, 248eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ (𝑃 + 1) = (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)))
25055, 249breqtrd 5175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ…) β†’ 𝑃 < (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)))
251250ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ ran 𝐹) = βˆ… β†’ 𝑃 < (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹))))
252251necon3bd 2955 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑃 < (β™―β€˜(𝐴 βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) β‰  βˆ…))
25353, 252mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ ran 𝐹) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  β™―chash 14290  abscabs 15181   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  4sqlem12  16889
  Copyright terms: Public domain W3C validator