Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhchr 33924
Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhchr (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))

Proof of Theorem zrhchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhker.1 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2 eqid 2740 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
3 eqid 2740 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3zrhval2 21544 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))))
5 f1eq1 6814 . . 3 (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
64, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
7 ringgrp 20267 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8 zrhker.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
98, 3ringidcl 20291 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 eqid 2740 . . . 4 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
11 eqid 2740 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅)))
128, 10, 2, 11odf1 19606 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
137, 9, 12syl2anc 583 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
14 eqid 2740 . . . . 5 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1510, 3, 14chrval 21563 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = (chr‘𝑅)
1615eqeq1i 2745 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0)
1716a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0))
186, 13, 173bitr2rd 308 1 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2108  cmpt 5249  1-1wf1 6572  cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  cz 12641  Basecbs 17260  0gc0g 17501  Grpcgrp 18975  .gcmg 19109  odcod 19568  1rcur 20210  Ringcrg 20262  ℤRHomczrh 21535  chrcchr 21537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265  ax-mulf 11266
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fz 13570  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16305  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mhm 18820  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19255  df-od 19572  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-rhm 20500  df-subrng 20574  df-subrg 20599  df-cnfld 21390  df-zring 21483  df-zrh 21539  df-chr 21541
This theorem is referenced by:  zrhker  33925  qqhre  33968
  Copyright terms: Public domain W3C validator