Theorem zrhchr 31219

Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhchr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1→𝐵))

Proof of Theorem zrhchr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhker.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
3		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	zrhval2 20634	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
5		f1eq1 6551	. . 3 ⊢ (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) → (𝐿:ℤ–1-1→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿:ℤ–1-1→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
7		ringgrp 19280	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		zrhker.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	ringidcl 19296	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
11		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
12	8, 10, 2, 11	odf1 18667	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
13	7, 9, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
14		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
15	10, 3, 14	chrval 20650	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
16	15	eqeq1i 2825	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0))
18	6, 13, 17	3bitr2rd 310	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5127  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  (class class class)co 7137  0cc0 10518  ℤcz 11963  Basecbs 16461  0_gc0g 16691  Grpcgrp 18081  ._gcmg 18202  odcod 18630  1_rcur 19229  Ringcrg 19275  ℤRHomczrh 20625  chrcchr 20627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595  ax-pre-sup 10596  ax-addf 10597  ax-mulf 10598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-1st 7670  df-2nd 7671  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-1o 8083  df-oadd 8087  df-er 8270  df-map 8389  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-fin 8494  df-sup 8887  df-inf 8888  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-div 11279  df-nn 11620  df-2 11682  df-3 11683  df-4 11684  df-5 11685  df-6 11686  df-7 11687  df-8 11688  df-9 11689  df-n0 11880  df-z 11964  df-dec 12081  df-uz 12226  df-rp 12372  df-fz 12878  df-fl 13147  df-mod 13223  df-seq 13355  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-dvds 15588  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-od 18634  df-cmn 18886  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-rnghom 19445  df-subrg 19511  df-cnfld 20524  df-zring 20596  df-zrh 20629  df-chr 20631

This theorem is referenced by:  zrhker  31220  qqhre  31263