Theorem zrhchr 33445

Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhchr	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1→𝐵))

Proof of Theorem zrhchr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhker.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
3		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	zrhval2 21363	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
5		f1eq1 6772	. . 3 ⊢ (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) → (𝐿:ℤ–1-1→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿:ℤ–1-1→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
7		ringgrp 20133	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8		zrhker.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8, 3	ringidcl 20155	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
11		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
12	8, 10, 2, 11	odf1 19472	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
13	7, 9, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))):ℤ–1-1→𝐵))
14		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
15	10, 3, 14	chrval 21382	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
16	15	eqeq1i 2729	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0))
18	6, 13, 17	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5221  –1-1→wf1 6530  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  ℤcz 12555  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  Grpcgrp 18853  ._gcmg 18985  odcod 19434  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  ℤRHomczrh 21354  chrcchr 21356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-chr 21360

This theorem is referenced by:  zrhker  33446  qqhre  33489