Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhchr 33476
Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zrhker.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
zrhker.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zrhchr (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ↔ 𝐿:℀–1-1→𝐡))

Proof of Theorem zrhchr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhker.1 . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
2 eqid 2724 . . . 4 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
41, 2, 3zrhval2 21384 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))))
5 f1eq1 6773 . . 3 (𝐿 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) β†’ (𝐿:℀–1-1→𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))):℀–1-1→𝐡))
64, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐿:℀–1-1→𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))):℀–1-1→𝐡))
7 ringgrp 20139 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8 zrhker.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
98, 3ringidcl 20161 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
10 eqid 2724 . . . 4 (odβ€˜π‘…) = (odβ€˜π‘…)
11 eqid 2724 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))) = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
128, 10, 2, 11odf1 19478 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 0 ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))):℀–1-1→𝐡))
137, 9, 12syl2anc 583 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 0 ↔ (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))):℀–1-1→𝐡))
14 eqid 2724 . . . . 5 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
1510, 3, 14chrval 21403 . . . 4 ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (chrβ€˜π‘…)
1615eqeq1i 2729 . . 3 (((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 0 ↔ (chrβ€˜π‘…) = 0)
1716a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = 0 ↔ (chrβ€˜π‘…) = 0))
186, 13, 173bitr2rd 308 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ↔ 𝐿:℀–1-1→𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5222  β€“1-1β†’wf1 6531  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  β„€cz 12557  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  .gcmg 18991  odcod 19440  1rcur 20082  Ringcrg 20134  β„€RHomczrh 21375  chrcchr 21377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-od 19444  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-chr 21381
This theorem is referenced by:  zrhker  33477  qqhre  33520
  Copyright terms: Public domain W3C validator