Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhchr 31105
Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhchr (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))

Proof of Theorem zrhchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhker.1 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2 eqid 2825 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
3 eqid 2825 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3zrhval2 20574 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))))
5 f1eq1 6566 . . 3 (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
64, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
7 ringgrp 19224 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8 zrhker.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
98, 3ringidcl 19240 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 eqid 2825 . . . 4 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
11 eqid 2825 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅)))
128, 10, 2, 11odf1 18611 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
137, 9, 12syl2anc 584 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
14 eqid 2825 . . . . 5 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1510, 3, 14chrval 20590 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = (chr‘𝑅)
1615eqeq1i 2830 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0)
1716a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0))
186, 13, 173bitr2rd 309 1 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  cmpt 5142  1-1wf1 6348  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  cz 11973  Basecbs 16475  0gc0g 16705  Grpcgrp 18035  .gcmg 18156  odcod 18574  1rcur 19173  Ringcrg 19219  ℤRHomczrh 20565  chrcchr 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-od 18578  df-cmn 18830  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-rnghom 19389  df-subrg 19455  df-cnfld 20464  df-zring 20536  df-zrh 20569  df-chr 20571
This theorem is referenced by:  zrhker  31106  qqhre  31149
  Copyright terms: Public domain W3C validator