Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhchr 30527
Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhchr (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))

Proof of Theorem zrhchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhker.1 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2 eqid 2797 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
3 eqid 2797 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3zrhval2 20175 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))))
5 f1eq1 6309 . . 3 (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
64, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
7 ringgrp 18864 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8 zrhker.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
98, 3ringidcl 18880 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 eqid 2797 . . . 4 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
11 eqid 2797 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅)))
128, 10, 2, 11odf1 18288 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
137, 9, 12syl2anc 580 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
14 eqid 2797 . . . . 5 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1510, 3, 14chrval 20191 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = (chr‘𝑅)
1615eqeq1i 2802 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0)
1716a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0))
186, 13, 173bitr2rd 300 1 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  cmpt 4920  1-1wf1 6096  cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  cz 11662  Basecbs 16180  0gc0g 16411  Grpcgrp 17734  .gcmg 17852  odcod 18253  1rcur 18813  Ringcrg 18859  ℤRHomczrh 20166  chrcchr 20168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14176  df-re 14177  df-im 14178  df-sqrt 14312  df-abs 14313  df-dvds 15316  df-struct 16182  df-ndx 16183  df-slot 16184  df-base 16186  df-sets 16187  df-ress 16188  df-plusg 16276  df-mulr 16277  df-starv 16278  df-tset 16282  df-ple 16283  df-ds 16285  df-unif 16286  df-0g 16413  df-mgm 17553  df-sgrp 17595  df-mnd 17606  df-mhm 17646  df-grp 17737  df-minusg 17738  df-sbg 17739  df-mulg 17853  df-subg 17900  df-ghm 17967  df-od 18257  df-cmn 18506  df-mgp 18802  df-ur 18814  df-ring 18861  df-cring 18862  df-rnghom 19029  df-subrg 19092  df-cnfld 20065  df-zring 20137  df-zrh 20170  df-chr 20172
This theorem is referenced by:  zrhker  30528  qqhre  30571
  Copyright terms: Public domain W3C validator