Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhchr 33445
Description: The kernel of the homomorphism from the integers to a ring is injective if and only if the ring has characteristic 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhchr (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))

Proof of Theorem zrhchr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhker.1 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2 eqid 2724 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
3 eqid 2724 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3zrhval2 21363 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))))
5 f1eq1 6772 . . 3 (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
64, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿:ℤ–1-1𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
7 ringgrp 20133 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
8 zrhker.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
98, 3ringidcl 20155 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 eqid 2724 . . . 4 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
11 eqid 2724 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅)))
128, 10, 2, 11odf1 19472 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
137, 9, 12syl2anc 583 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝑅)(1r𝑅))):ℤ–1-1𝐵))
14 eqid 2724 . . . . 5 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
1510, 3, 14chrval 21382 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = (chr‘𝑅)
1615eqeq1i 2729 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0)
1716a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 0 ↔ (chr‘𝑅) = 0))
186, 13, 173bitr2rd 308 1 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ 𝐿:ℤ–1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5221  1-1wf1 6530  cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  cz 12555  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Grpcgrp 18853  .gcmg 18985  odcod 19434  1rcur 20076  Ringcrg 20128  ℤRHomczrh 21354  chrcchr 21356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-chr 21360
This theorem is referenced by:  zrhker  33446  qqhre  33489
  Copyright terms: Public domain W3C validator