Theorem ausgrusgri 27441

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
ausgrusgri.1	⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}

Assertion

Ref	Expression
ausgrusgri	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻   𝑓,𝐻   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑣,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem ausgrusgri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) ∈ V
2		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) ∈ V
3		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
4	3	isausgr 27437	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐻) ∈ V ∧ (Edg‘𝐻) ∈ V) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
5	1, 2, 4	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		edgval 27322	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻))
8	7	sseq1d 3948	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9		ausgrusgri.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}
10	9	eleq2i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 ↔ (iEdg‘𝐻) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓})
11		fvex 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝐻) ∈ V
12		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → 𝑓 = (iEdg‘𝐻))
13		dmeq 5801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → dom 𝑓 = dom (iEdg‘𝐻))
14		rneq 5834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → ran 𝑓 = ran (iEdg‘𝐻))
15	12, 13, 14	f1eq123d 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → (𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓 ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻)))
16	11, 15	elab 3602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓} ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
17	10, 16	sylbb 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
18	17	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
19		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
20		f1ssr 6661	. . . . . . 7 ⊢ (((iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻) ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21	18, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
22	21	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
23	8, 22	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
24	5, 23	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
25	24	3imp 1109	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐻)
28	26, 27	isusgrs 27429	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
29	28	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
30	25, 29	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070  {copab 5132  dom cdm 5580  ran crn 5581  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  2c2 11958  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Edgcedg 27320  USGraphcusgr 27422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-usgr 27424

This theorem is referenced by:  usgrausgrb  27442