MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ausgrusgri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ausgrusgri 28695
Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 15-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ausgr.1 𝐺 = {βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© ∣ 𝑒 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}}
ausgrusgri.1 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1β†’ran 𝑓}
Assertion
Ref Expression
ausgrusgri ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ 𝐻 ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,π‘₯,𝐻   𝑓,𝐻   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑂(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑓)   π‘Š(𝑣,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem ausgrusgri
StepHypRef Expression
1 fvex 6903 . . . . 5 (Vtxβ€˜π») ∈ V
2 fvex 6903 . . . . 5 (Edgβ€˜π») ∈ V
3 ausgr.1 . . . . . 6 𝐺 = {βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© ∣ 𝑒 βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}}
43isausgr 28691 . . . . 5 (((Vtxβ€˜π») ∈ V ∧ (Edgβ€˜π») ∈ V) β†’ ((Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») ↔ (Edgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}))
51, 2, 4mp2an 688 . . . 4 ((Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») ↔ (Edgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
6 edgval 28576 . . . . . . 7 (Edgβ€˜π») = ran (iEdgβ€˜π»)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ π‘Š β†’ (Edgβ€˜π») = ran (iEdgβ€˜π»))
87sseq1d 4012 . . . . 5 (𝐻 ∈ π‘Š β†’ ((Edgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} ↔ ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}))
9 ausgrusgri.1 . . . . . . . . . 10 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1β†’ran 𝑓}
109eleq2i 2823 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂 ↔ (iEdgβ€˜π») ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1β†’ran 𝑓})
11 fvex 6903 . . . . . . . . . 10 (iEdgβ€˜π») ∈ V
12 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (iEdgβ€˜π») β†’ 𝑓 = (iEdgβ€˜π»))
13 dmeq 5902 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (iEdgβ€˜π») β†’ dom 𝑓 = dom (iEdgβ€˜π»))
14 rneq 5934 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (iEdgβ€˜π») β†’ ran 𝑓 = ran (iEdgβ€˜π»))
1512, 13, 14f1eq123d 6824 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (iEdgβ€˜π») β†’ (𝑓:dom 𝑓–1-1β†’ran 𝑓 ↔ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’ran (iEdgβ€˜π»)))
1611, 15elab 3667 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜π») ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1β†’ran 𝑓} ↔ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’ran (iEdgβ€˜π»))
1710, 16sylbb 218 . . . . . . . 8 ((iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂 β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’ran (iEdgβ€˜π»))
18173ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’ran (iEdgβ€˜π»))
19 simp2 1135 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
20 f1ssr 6793 . . . . . . 7 (((iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’ran (iEdgβ€˜π») ∧ ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}) β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
2118, 19, 20syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
22213exp 1117 . . . . 5 (𝐻 ∈ π‘Š β†’ (ran (iEdgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} β†’ ((iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂 β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})))
238, 22sylbid 239 . . . 4 (𝐻 ∈ π‘Š β†’ ((Edgβ€˜π») βŠ† {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} β†’ ((iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂 β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})))
245, 23biimtrid 241 . . 3 (𝐻 ∈ π‘Š β†’ ((Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») β†’ ((iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂 β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})))
25243imp 1109 . 2 ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
26 eqid 2730 . . . 4 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜π»)
27 eqid 2730 . . . 4 (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜π»)
2826, 27isusgrs 28683 . . 3 (𝐻 ∈ π‘Š β†’ (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}))
29283ad2ant1 1131 . 2 ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdgβ€˜π»):dom (iEdgβ€˜π»)–1-1β†’{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜π») ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}))
3025, 29mpbird 256 1 ((𝐻 ∈ π‘Š ∧ (Vtxβ€˜π»)𝐺(Edgβ€˜π») ∧ (iEdgβ€˜π») ∈ 𝑂) β†’ 𝐻 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  {copab 5209  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  2c2 12271  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  Edgcedg 28574  USGraphcusgr 28676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-edg 28575  df-usgr 28678
This theorem is referenced by:  usgrausgrb  28696
  Copyright terms: Public domain W3C validator