Theorem ausgrusgri 29578

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
ausgrusgri.1	⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}

Assertion

Ref	Expression
ausgrusgri	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻   𝑓,𝐻   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑣, 𝑒, 𝑓)   𝑂(𝑥, 𝑣, 𝑒, 𝑓)   𝑊(𝑣, 𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem ausgrusgri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) ∈ V
2		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) ∈ V
3		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
4	3	isausgr 29574	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐻) ∈ V ∧ (Edg‘𝐻) ∈ V) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
5	1, 2, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		edgval 29456	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻))
8	7	sseq1d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9		ausgrusgri.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}
10	9	eleq2i 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 ↔ (iEdg‘𝐻) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓})
11		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝐻) ∈ V
12		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → 𝑓 = (iEdg‘𝐻))
13		dmeq 5895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → dom 𝑓 = dom (iEdg‘𝐻))
14		rneq 5928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → ran 𝑓 = ran (iEdg‘𝐻))
15	12, 13, 14	f1eq123d 6816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → (𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓 ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻)))
16	11, 15	elab 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓} ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
17	10, 16	sylbb 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
18	17	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
19		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
20		f1ssr 6786	. . . . . . 7 ⊢ (((iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻) ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
22	21	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
23	8, 22	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
24	5, 23	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
25	24	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
26		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐻)
28	26, 27	isusgrs 29566	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
29	28	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
30	25, 29	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5111  {copab 5175  dom cdm 5663  ran crn 5664  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  2c2 12312  ♯chash 14386  Vtxcvtx 29403  iEdgciedg 29404  Edgcedg 29454  USGraphcusgr 29559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-edg 29455  df-usgr 29561

This theorem is used by:  usgrausgrb  29579