Theorem ausgrusgri 27538

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
ausgrusgri.1	⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}

Assertion

Ref	Expression
ausgrusgri	⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑥,𝐻   𝑓,𝐻   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑣,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem ausgrusgri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐻) ∈ V
2		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) ∈ V
3		ausgr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ 𝑒 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑣 ∣ (♯‘𝑥) = 2}}
4	3	isausgr 27534	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐻) ∈ V ∧ (Edg‘𝐻) ∈ V) → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
5	1, 2, 4	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ↔ (Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		edgval 27419	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (Edg‘𝐻) = ran (iEdg‘𝐻))
8	7	sseq1d 3952	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
9		ausgrusgri.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓}
10	9	eleq2i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 ↔ (iEdg‘𝐻) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓})
11		fvex 6787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝐻) ∈ V
12		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → 𝑓 = (iEdg‘𝐻))
13		dmeq 5812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → dom 𝑓 = dom (iEdg‘𝐻))
14		rneq 5845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → ran 𝑓 = ran (iEdg‘𝐻))
15	12, 13, 14	f1eq123d 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (iEdg‘𝐻) → (𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓 ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻)))
16	11, 15	elab 3609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:dom 𝑓–1-1→ran 𝑓} ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
17	10, 16	sylbb 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
18	17	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻))
19		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
20		f1ssr 6677	. . . . . . 7 ⊢ (((iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→ran (iEdg‘𝐻) ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
22	21	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (ran (iEdg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
23	8, 22	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Edg‘𝐻) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
24	5, 23	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) → ((iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂 → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})))
25	24	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐻)
28	26, 27	isusgrs 27526	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑊 → (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
29	28	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → (𝐻 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐻):dom (iEdg‘𝐻)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
30	25, 29	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐻)𝐺(Edg‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐻) ∈ 𝑂) → 𝐻 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  {copab 5136  dom cdm 5589  ran crn 5590  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  2c2 12028  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  USGraphcusgr 27519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-usgr 27521

This theorem is referenced by:  usgrausgrb  27539