Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmgcl 33156
Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 33119, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
cycpmgcl ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl
Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → (𝑀𝑢) = 𝑝)
2 cycpmconjs.m . . . . . . . 8 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3 simplll 775 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝐷𝑉)
4 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃})))
54elin1d 4214 . . . . . . . . 9 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
6 elrabi 3690 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
9 dmeq 5917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1211elrab 3695 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1312simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
15 cycpmconjs.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
162, 3, 7, 14, 15cycpmcl 33119 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → (𝑀𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
1716adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → (𝑀𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18 cycpmgcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
1917, 18eleqtrrdi 2850 . . . . 5 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → (𝑀𝑢) ∈ 𝐵)
201, 19eqeltrrd 2840 . . . 4 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → 𝑝𝐵)
21 nfcv 2903 . . . . 5 𝑢𝑀
22 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷𝑉)
232, 15, 18tocycf 33120 . . . . . . 7 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
24 ffn 6737 . . . . . . 7 (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2625adantr 480 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
27 cycpmconjs.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))
2827eleq2i 2831 . . . . . . 7 (𝑝𝐶𝑝 ∈ (𝑀 “ (♯ “ {𝑃})))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝𝐶𝑝 ∈ (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))))
3029biimpa 476 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (♯ “ {𝑃})))
3121, 26, 30fvelimad 6976 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))(𝑀𝑢) = 𝑝)
3220, 31r19.29a 3160 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐵)
3332ex 412 . 2 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝𝐶𝑝𝐵))
3433ssrdv 4001 1 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ...cfz 13544  chash 14366  Word cword 14549  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33158  cycpmconjs  33159  cyc3conja  33160
  Copyright terms: Public domain W3C validator