Theorem cycpmgcl 33293

Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 33256, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cycpmgcl	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl

Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) = 𝑝)
2		cycpmconjs.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3		simplll 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃})))
5	4	elin1d 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
6		elrabi 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
9		dmeq 5875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
12	11	elrab 3649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
13	12	simprbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
15		cycpmconjs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
16	2, 3, 7, 14, 15	cycpmcl 33256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
17	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18		cycpmgcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
19	17, 18	eleqtrrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑢𝑀
22		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23	2, 15, 18	tocycf 33257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
24		ffn 6685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵 → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
26	25	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
27		cycpmconjs.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
28	27	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
29	28	bilani 508	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
30	21, 26, 29	fvelimad 6928	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))(𝑀‘𝑢) = 𝑝)
31	20, 30	r19.29a 3169	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ 𝐵)
32	31	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 → 𝑝 ∈ 𝐵))
33	32	ssrdv 3940	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4579  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643   “ cima 5646   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  –1-1→wf1 6512  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  ...cfz 13505  ♯chash 14336  Word cword 14519  Basecbs 17235  SymGrpcsymg 19399  toCycctocyc 33246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-substr 14648  df-pfx 14678  df-csh 14795  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-efmnd 18893  df-symg 19400  df-tocyc 33247

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33295  cycpmconjs  33296  cyc3conja  33297