Theorem cycpmgcl 31420

Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 31383, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cycpmgcl	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl

Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) = 𝑝)
2		cycpmconjs.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3		simplll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃})))
5	4	elin1d 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
6		elrabi 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
9		dmeq 5812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
12	11	elrab 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
13	12	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
15		cycpmconjs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
16	2, 3, 7, 14, 15	cycpmcl 31383	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
17	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18		cycpmgcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
19	17, 18	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑢𝑀
22		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23	2, 15, 18	tocycf 31384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
24		ffn 6600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵 → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
27		cycpmconjs.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
28	27	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))))
30	29	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
31	21, 26, 30	fvelimad 6836	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))(𝑀‘𝑢) = 𝑝)
32	20, 31	r19.29a 3218	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ 𝐵)
33	32	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 → 𝑝 ∈ 𝐵))
34	33	ssrdv 3927	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ...cfz 13239  ♯chash 14044  Word cword 14217  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974  toCycctocyc 31373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-csh 14502  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975  df-tocyc 31374

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  31422  cycpmconjs  31423  cyc3conja  31424