Theorem cycpmgcl 33108

Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 33071, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cycpmgcl	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl

Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) = 𝑝)
2		cycpmconjs.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃})))
5	4	elin1d 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
6		elrabi 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
9		dmeq 5850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
12	11	elrab 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
13	12	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
15		cycpmconjs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
16	2, 3, 7, 14, 15	cycpmcl 33071	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18		cycpmgcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
19	17, 18	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑢𝑀
22		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23	2, 15, 18	tocycf 33072	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
24		ffn 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵 → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
27		cycpmconjs.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
28	27	eleq2i 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))))
30	29	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
31	21, 26, 30	fvelimad 6894	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))(𝑀‘𝑢) = 𝑝)
32	20, 31	r19.29a 3137	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ 𝐵)
33	32	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 → 𝑝 ∈ 𝐵))
34	33	ssrdv 3943	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623   “ cima 5626   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  ...cfz 13428  ♯chash 14255  Word cword 14438  Basecbs 17138  SymGrpcsymg 19266  toCycctocyc 33061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-csh 14713  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-efmnd 18761  df-symg 19267  df-tocyc 33062

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33110  cycpmconjs  33111  cyc3conja  33112