Theorem cycpmgcl 33131

Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 33094, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cycpmgcl	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl

Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) = 𝑝)
2		cycpmconjs.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃})))
5	4	elin1d 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
6		elrabi 3639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
9		dmeq 5849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
12	11	elrab 3643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
13	12	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
14	5, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
15		cycpmconjs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
16	2, 3, 7, 14, 15	cycpmcl 33094	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18		cycpmgcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
19	17, 18	eleqtrrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑢𝑀
22		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23	2, 15, 18	tocycf 33095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
24		ffn 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵 → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
27		cycpmconjs.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
28	27	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))))
30	29	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
31	21, 26, 30	fvelimad 6897	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))(𝑀‘𝑢) = 𝑝)
32	20, 31	r19.29a 3141	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ 𝐵)
33	32	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 → 𝑝 ∈ 𝐵))
34	33	ssrdv 3936	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  –1-1→wf1 6485  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  ...cfz 13411  ♯chash 14241  Word cword 14424  Basecbs 17124  SymGrpcsymg 19285  toCycctocyc 33084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-mod 13778  df-hash 14242  df-word 14425  df-concat 14482  df-substr 14553  df-pfx 14583  df-csh 14700  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-tset 17184  df-efmnd 18781  df-symg 19286  df-tocyc 33085

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33133  cycpmconjs  33134  cyc3conja  33135