Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmgcl 32051
Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 32014, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmgcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
cycpmgcl ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)

Proof of Theorem cycpmgcl
Dummy variables 𝑝 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝)
2 cycpmconjs.m . . . . . . . 8 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
3 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
4 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃})))
54elin1d 4159 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
6 elrabi 3640 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝑀 = 𝑒)
9 dmeq 5860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ dom 𝑀 = dom 𝑒)
10 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6777 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
1211elrab 3646 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
1312simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
15 cycpmconjs.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
162, 3, 7, 14, 15cycpmcl 32014 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1716adantr 482 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
18 cycpmgcl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
1917, 18eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
201, 19eqeltrrd 2835 . . . 4 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
21 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑒𝑀
22 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
232, 15, 18tocycf 32015 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡)
24 ffn 6669 . . . . . . 7 (𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡 β†’ 𝑀 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2625adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑀 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
27 cycpmconjs.c . . . . . . . 8 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
2827eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝐢 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃})))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))))
3029biimpa 478 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃})))
3121, 26, 30fvelimad 6910 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))(π‘€β€˜π‘’) = 𝑝)
3220, 31r19.29a 3156 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
3332ex 414 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡))
3433ssrdv 3951 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  ...cfz 13430  β™―chash 14236  Word cword 14408  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32053  cycpmconjs  32054  cyc3conja  32055
  Copyright terms: Public domain W3C validator