Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmgcl 30939
 Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 30902, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
cycpmgcl ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl
Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 489 . . . . 5 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → (𝑀𝑢) = 𝑝)
2 cycpmconjs.m . . . . . . . 8 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3 simplll 775 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝐷𝑉)
4 simpr 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃})))
54elin1d 4104 . . . . . . . . 9 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
6 elrabi 3597 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
9 dmeq 5744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10 eqidd 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6595 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1211elrab 3603 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1312simprbi 501 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
15 cycpmconjs.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
162, 3, 7, 14, 15cycpmcl 30902 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) → (𝑀𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
1716adantr 485 . . . . . 6 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → (𝑀𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18 cycpmgcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
1917, 18eleqtrrdi 2864 . . . . 5 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → (𝑀𝑢) ∈ 𝐵)
201, 19eqeltrrd 2854 . . . 4 (((((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀𝑢) = 𝑝) → 𝑝𝐵)
21 nfcv 2920 . . . . 5 𝑢𝑀
22 simpl 487 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷𝑉)
232, 15, 18tocycf 30903 . . . . . . 7 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
24 ffn 6499 . . . . . . 7 (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
2625adantr 485 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
27 cycpmconjs.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))
2827eleq2i 2844 . . . . . . 7 (𝑝𝐶𝑝 ∈ (𝑀 “ (♯ “ {𝑃})))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝𝐶𝑝 ∈ (𝑀 “ (♯ “ {𝑃}))))
3029biimpa 481 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (♯ “ {𝑃})))
3121, 26, 30fvelimad 6721 . . . 4 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {𝑃}))(𝑀𝑢) = 𝑝)
3220, 31r19.29a 3214 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐵)
3332ex 417 . 2 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝𝐶𝑝𝐵))
3433ssrdv 3899 1 ((𝐷𝑉𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {crab 3075   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  {csn 4523  ◡ccnv 5524  dom cdm 5525   “ cima 5528   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10568  ...cfz 12932  ♯chash 13733  Word cword 13906  Basecbs 16534  SymGrpcsymg 18555  toCycctocyc 30892 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-hash 13734  df-word 13907  df-concat 13963  df-substr 14043  df-pfx 14073  df-csh 14191  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-tset 16635  df-efmnd 18093  df-symg 18556  df-tocyc 30893 This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  30941  cycpmconjs  30942  cyc3conja  30943
 Copyright terms: Public domain W3C validator