Theorem cycpmgcl 33760

Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 33723, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjs.c	⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
cycpmconjs.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjs.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐷)
cycpmconjs.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cycpmgcl	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem cycpmgcl

Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) = 𝑝)
2		cycpmconjs.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
3		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
4		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃})))
5	4	elin1d 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
6		elrabi 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝑤 = 𝑢)
9		dmeq 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
12	11	elrab 3644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
13	12	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
14	5, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷)
15		cycpmconjs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
16	2, 3, 7, 14, 15	cycpmcl 33723	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ (Base‘𝑆))
18		cycpmgcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
19	17, 18	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → (𝑀‘𝑢) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))) ∧ (𝑀‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑢𝑀
22		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
23	2, 15, 18	tocycf 33724	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
24		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵 → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
25	22, 23, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑀 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
27		cycpmconjs.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃}))
28	27	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐶 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
29	28	bilani 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ (𝑀 “ (◡♯ “ {𝑃})))
30	21, 26, 29	fvelimad 6952	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ∩ (◡♯ “ {𝑃}))(𝑀‘𝑢) = 𝑝)
31	20, 30	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐶) → 𝑝 ∈ 𝐵)
32	31	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → (𝑝 ∈ 𝐶 → 𝑝 ∈ 𝐵))
33	32	ssrdv 3914	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4584  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  ...cfz 13642  ♯chash 14477  Word cword 14661  Basecbs 17392  SymGrpcsymg 19588  toCycctocyc 33713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-csh 14944  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-tset 17452  df-efmnd 19070  df-symg 19589  df-tocyc 33714

This theorem is used by:  cycpmconjslem2  33762  cycpmconjs  33763  cyc3conja  33764