Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmgcl 32750
Description: Cyclic permutations are permutations, similar to cycpmcl 32713, but where the set of cyclic permutations of length 𝑃 is expressed in terms of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjs.c 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
cycpmconjs.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpmconjs.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cycpmconjs.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cycpmgcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
cycpmgcl ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)

Proof of Theorem cycpmgcl
Dummy variables 𝑝 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝)
2 cycpmconjs.m . . . . . . . 8 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
3 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
4 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃})))
54elin1d 4198 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
6 elrabi 3677 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝑀 = 𝑒)
9 dmeq 5903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ dom 𝑀 = dom 𝑒)
10 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6825 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
1211elrab 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
1312simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
15 cycpmconjs.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
162, 3, 7, 14, 15cycpmcl 32713 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1716adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
18 cycpmgcl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
1917, 18eleqtrrdi 2843 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ (π‘€β€˜π‘’) ∈ 𝐡)
201, 19eqeltrrd 2833 . . . 4 (((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))) ∧ (π‘€β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
21 nfcv 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑒𝑀
22 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
232, 15, 18tocycf 32714 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡)
24 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝑀:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢𝐡 β†’ 𝑀 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
2625adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑀 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
27 cycpmconjs.c . . . . . . . 8 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))
2827eleq2i 2824 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝐢 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃})))
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 ↔ 𝑝 ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))))
3029biimpa 476 . . . . 5 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {𝑃})))
3121, 26, 30fvelimad 6959 . . . 4 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {𝑃}))(π‘€β€˜π‘’) = 𝑝)
3220, 31r19.29a 3161 . . 3 (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
3332ex 412 . 2 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡))
3433ssrdv 3988 1 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  ...cfz 13491  β™―chash 14297  Word cword 14471  Basecbs 17151  SymGrpcsymg 19282  toCycctocyc 32703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-csh 14746  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-tset 17223  df-efmnd 18792  df-symg 19283  df-tocyc 32704
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32752  cycpmconjs  32753  cyc3conja  32754
  Copyright terms: Public domain W3C validator