Theorem cycpm3cl2 32801

Description: Closure of the 3-cycles in the class of 3-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cycpm3cl2	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (◡♯ “ {3})))

Proof of Theorem cycpm3cl2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		cycpm3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3		cycpm3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	2, 3, 4	tocycf 32782	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
7	6	ffnd 6712	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
9		dmeq 5897	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → dom 𝑤 = dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
10		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6819	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷))
12		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
13		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
14		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
15	12, 13, 14	s3cld 14829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
17		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
18		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
19	12, 13, 14, 16, 17, 18	s3f1 32618	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
20	11, 15, 19	elrabd 3680	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
21		s3clhash 32619	. . 3 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (◡♯ “ {3})
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (◡♯ “ {3}))
23	7, 20, 22	fnfvimad 7231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (◡♯ “ {3})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {crab 3426  {csn 4623  ^◡ccnv 5668  dom cdm 5669   “ cima 5672  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  3c3 12272  ♯chash 14295  Word cword 14470  ⟨“cs3 14799  Basecbs 17153  SymGrpcsymg 19286  toCycctocyc 32771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745  df-s2 14805  df-s3 14806  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794  df-symg 19287  df-tocyc 32772

This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  32816