Theorem cycpm3cl2 31305

Description: Closure of the 3-cycles in the class of 3-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cycpm3cl2	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (◡♯ “ {3})))

Proof of Theorem cycpm3cl2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		cycpm3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3		cycpm3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	2, 3, 4	tocycf 31286	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
7	6	ffnd 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
9		dmeq 5801	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → dom 𝑤 = dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
10		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6692	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷))
12		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
13		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
14		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
15	12, 13, 14	s3cld 14513	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
17		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
18		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
19	12, 13, 14, 16, 17, 18	s3f1 31123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
20	11, 15, 19	elrabd 3619	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
21		s3clhash 31124	. . 3 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (◡♯ “ {3})
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (◡♯ “ {3}))
23	7, 20, 22	fnfvimad 7092	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (◡♯ “ {3})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  {csn 4558  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   “ cima 5583  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  3c3 11959  ♯chash 13972  Word cword 14145  ⟨“cs3 14483  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889  toCycctocyc 31275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-csh 14430  df-s2 14489  df-s3 14490  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-tocyc 31276

This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  31320