Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm3cl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm3cl2 31985
Description: Closure of the 3-cycles in the class of 3-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm3.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm3.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm3.k (𝜑𝐾𝐷)
cycpm3.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm3.2 (𝜑𝐽𝐾)
cycpm3.3 (𝜑𝐾𝐼)
Assertion
Ref Expression
cycpm3cl2 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (♯ “ {3})))

Proof of Theorem cycpm3cl2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpm3.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
2 cycpm3.c . . . . 5 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3 cycpm3.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
52, 3, 4tocycf 31966 . . . 4 (𝐷𝑉𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘𝑆))
76ffnd 6669 . 2 (𝜑𝐶 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
8 id 22 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
9 dmeq 5859 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → dom 𝑤 = dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
10 eqidd 2737 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6776 . . 3 (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1𝐷))
12 cycpm3.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐷)
13 cycpm3.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐷)
14 cycpm3.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
1512, 13, 14s3cld 14761 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
16 cycpm3.1 . . . 4 (𝜑𝐼𝐽)
17 cycpm3.2 . . . 4 (𝜑𝐽𝐾)
18 cycpm3.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
1912, 13, 14, 16, 17, 18s3f1 31803 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1𝐷)
2011, 15, 19elrabd 3647 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
21 s3clhash 31804 . . 3 ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (♯ “ {3})
2221a1i 11 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (♯ “ {3}))
237, 20, 22fnfvimad 7184 1 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (♯ “ {3})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  {csn 4586  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  3c3 12209  chash 14230  Word cword 14402  ⟨“cs3 14731  Basecbs 17083  SymGrpcsymg 19148  toCycctocyc 31955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677  df-s2 14737  df-s3 14738  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-efmnd 18679  df-symg 19149  df-tocyc 31956
This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  32000
  Copyright terms: Public domain W3C validator