Theorem cycpm3cl2 33212

Description: Closure of the 3-cycles in the class of 3-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cycpm3cl2	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (◡♯ “ {3})))

Proof of Theorem cycpm3cl2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		cycpm3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3		cycpm3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	2, 3, 4	tocycf 33193	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶(Base‘𝑆))
7	6	ffnd 6663	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
9		dmeq 5852	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → dom 𝑤 = dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)
10		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → 𝐷 = 𝐷)
11	8, 9, 10	f1eq123d 6766	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷))
12		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
13		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
14		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
15	12, 13, 14	s3cld 14825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
16		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
17		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
18		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
19	12, 13, 14, 16, 17, 18	s3f1 33022	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
20	11, 15, 19	elrabd 3637	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
21		s3clhash 33023	. . 3 ⊢ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (◡♯ “ {3})
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ (◡♯ “ {3}))
23	7, 20, 22	fnfvimad 7182	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) ∈ (𝐶 “ (◡♯ “ {3})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  {csn 4568  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  3c3 12228  ♯chash 14283  Word cword 14466  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335  toCycctocyc 33182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742  df-s2 14801  df-s3 14802  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828  df-symg 19336  df-tocyc 33183

This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  33227