Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm3cl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm3cl2 32282
Description: Closure of the 3-cycles in the class of 3-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpm3.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm3.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
cycpm3.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
Assertion
Ref Expression
cycpm3cl2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (𝐢 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))

Proof of Theorem cycpm3cl2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpm3.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 cycpm3.c . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
3 cycpm3.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
52, 3, 4tocycf 32263 . . . 4 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
61, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
76ffnd 6715 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
8 id 22 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ 𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
9 dmeq 5901 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ dom 𝑀 = dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
10 eqidd 2733 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ 𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6822 . . 3 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷))
12 cycpm3.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
13 cycpm3.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
14 cycpm3.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
1512, 13, 14s3cld 14819 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
16 cycpm3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
17 cycpm3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
18 cycpm3.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
1912, 13, 14, 16, 17, 18s3f1 32100 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
2011, 15, 19elrabd 3684 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
21 s3clhash 32101 . . 3 βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ (β—‘β™― β€œ {3})
2221a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ (β—‘β™― β€œ {3}))
237, 20, 22fnfvimad 7232 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (𝐢 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  {csn 4627  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  3c3 12264  β™―chash 14286  Word cword 14460  βŸ¨β€œcs3 14789  Basecbs 17140  SymGrpcsymg 19228  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-s2 14795  df-s3 14796  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18746  df-symg 19229  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  32297
  Copyright terms: Public domain W3C validator