Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm3cl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm3cl2 32902
Description: Closure of the 3-cycles in the class of 3-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cycpm3.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm3.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
cycpm3.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
Assertion
Ref Expression
cycpm3cl2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (𝐢 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))

Proof of Theorem cycpm3cl2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpm3.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 cycpm3.c . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
3 cycpm3.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
4 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
52, 3, 4tocycf 32883 . . . 4 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
61, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢:{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜π‘†))
76ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
8 id 22 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ 𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
9 dmeq 5900 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ dom 𝑀 = dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©)
10 eqidd 2726 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ 𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6826 . . 3 (𝑀 = βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷))
12 cycpm3.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
13 cycpm3.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
14 cycpm3.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
1512, 13, 14s3cld 14855 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ Word 𝐷)
16 cycpm3.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
17 cycpm3.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
18 cycpm3.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
1912, 13, 14, 16, 17, 18s3f1 32715 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©β€“1-1→𝐷)
2011, 15, 19elrabd 3676 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
21 s3clhash 32716 . . 3 βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ (β—‘β™― β€œ {3})
2221a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ© ∈ (β—‘β™― β€œ {3}))
237, 20, 22fnfvimad 7242 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (𝐢 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419  {csn 4624  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  3c3 12298  β™―chash 14321  Word cword 14496  βŸ¨β€œcs3 14825  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19325  toCycctocyc 32872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-csh 14771  df-s2 14831  df-s3 14832  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-efmnd 18825  df-symg 19326  df-tocyc 32873
This theorem is referenced by:  cyc3genpmlem  32917
  Copyright terms: Public domain W3C validator