Theorem s1f1 14784

Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s1f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩⟶1-1𝐷)

Proof of Theorem s1f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12648	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s1f1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		f1osng 6890	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1onto{𝐼})
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1onto{𝐼})
6		f1of1 6845	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1onto{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1{𝐼})
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1{𝐼})
8	3	snssd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9		f1ss 6807	. . 3 ⊢ (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1𝐷)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1𝐷)
11		s1val 14772	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13		s1dm 14782	. . . 4 ⊢ dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
16	12, 14, 15	f1eq123d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩⟶1-1𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}⟶1-1𝐷))
17	10, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩⟶1-1𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ⟨cop 4838  dom cdm 5655  ⟶1-1wf1 6555  ⟶1-1ontowf1o 6557  0cc0 11227  ℕ₀cn0 12633  ⟨“cs1 14769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-s1 14770

This theorem is used by:  cycpmco2f1  33755