Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s1f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1f1 32579
Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
s1f1.1 (𝜑𝐼𝐷)
Assertion
Ref Expression
s1f1 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1𝐷)

Proof of Theorem s1f1
StepHypRef Expression
1 0nn0 12485 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3 s1f1.1 . . . . 5 (𝜑𝐼𝐷)
4 f1osng 6865 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0𝐼𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
52, 3, 4syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
6 f1of1 6823 . . . 4 ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
83snssd 4805 . . 3 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9 f1ss 6784 . . 3 (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1𝐷)
107, 8, 9syl2anc 583 . 2 (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1𝐷)
11 s1val 14546 . . . 4 (𝐼𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13 s1dm 14556 . . . 4 dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15 eqidd 2725 . . 3 (𝜑𝐷 = 𝐷)
1612, 14, 15f1eq123d 6816 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1𝐷))
1710, 16mpbird 257 1 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  {csn 4621  cop 4627  dom cdm 5667  1-1wf1 6531  1-1-ontowf1o 6533  0cc0 11107  0cn0 12470  ⟨“cs1 14543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-hash 14289  df-word 14463  df-s1 14544
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32754
  Copyright terms: Public domain W3C validator