Theorem s1f1 33233

Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s1f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s1f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s1f1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		f1osng 6867	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
6		f1of1 6823	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
8	3	snssd 4757	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9		f1ss 6785	. . 3 ⊢ (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
11		s1val 14639	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13		s1dm 14649	. . . 4 ⊢ dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15		eqidd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
16	12, 14, 15	f1eq123d 6816	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷))
17	10, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ⟨cop 4600  dom cdm 5665  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  0cc0 11103  ℕ₀cn0 12507  ⟨“cs1 14636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-s1 14637

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33414