Theorem s1f1 33003

Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s1f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s1f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s1f1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		f1osng 6822	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
6		f1of1 6779	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
8	3	snssd 4730	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9		f1ss 6741	. . 3 ⊢ (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
11		s1val 14561	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13		s1dm 14571	. . . 4 ⊢ dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
16	12, 14, 15	f1eq123d 6772	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷))
17	10, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ⟨cop 4573  dom cdm 5631  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12437  ⟨“cs1 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-s1 14559

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  33185