Theorem s1f1 31445

Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s1f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s1f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12341	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s1f1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		f1osng 6802	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
6		f1of1 6760	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
8	3	snssd 4755	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9		f1ss 6721	. . 3 ⊢ (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
11		s1val 14394	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13		s1dm 14404	. . . 4 ⊢ dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
16	12, 14, 15	f1eq123d 6753	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷))
17	10, 16	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3897  {csn 4572  ⟨cop 4578  dom cdm 5614  –1-1→wf1 6470  –1-1-onto→wf1o 6472  0cc0 10964  ℕ₀cn0 12326  ⟨“cs1 14391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-hash 14138  df-word 14310  df-s1 14392

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  31619