Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s1f1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1f1 31855
Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
s1f1.1 (𝜑𝐼𝐷)
Assertion
Ref Expression
s1f1 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1𝐷)

Proof of Theorem s1f1
StepHypRef Expression
1 0nn0 12436 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3 s1f1.1 . . . . 5 (𝜑𝐼𝐷)
4 f1osng 6829 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0𝐼𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
52, 3, 4syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
6 f1of1 6787 . . . 4 ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
83snssd 4773 . . 3 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9 f1ss 6748 . . 3 (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1𝐷)
107, 8, 9syl2anc 585 . 2 (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1𝐷)
11 s1val 14495 . . . 4 (𝐼𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13 s1dm 14505 . . . 4 dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15 eqidd 2734 . . 3 (𝜑𝐷 = 𝐷)
1612, 14, 15f1eq123d 6780 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1𝐷))
1710, 16mpbird 257 1 (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  {csn 4590  cop 4596  dom cdm 5637  1-1wf1 6497  1-1-ontowf1o 6499  0cc0 11059  0cn0 12421  ⟨“cs1 14492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-s1 14493
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32029
  Copyright terms: Public domain W3C validator