Theorem s1f1 14668

Description: Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s1f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s1f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12537	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s1f1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		f1osng 6870	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼})
6		f1of1 6826	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1-onto→{𝐼} → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼})
8	3	snssd 4757	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝐷)
9		f1ss 6788	. . 3 ⊢ (({⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→{𝐼} ∧ {𝐼} ⊆ 𝐷) → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷)
11		s1val 14657	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
12	3, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩})
13		s1dm 14667	. . . 4 ⊢ dom ⟨“𝐼”⟩ = {0}
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼”⟩ = {0})
15		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
16	12, 14, 15	f1eq123d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷 ↔ {⟨0, 𝐼⟩}:{0}–1-1→𝐷))
17	10, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼”⟩:dom ⟨“𝐼”⟩–1-1→𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ⟨cop 4600  dom cdm 5666  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  0cc0 11118  ℕ₀cn0 12522  ⟨“cs1 14654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-s1 14655

This theorem is used by:  cycpmco2f1  33475