Theorem usgrexmpl 29153

Description: 𝐺 is a simple graph of five vertices 0, 1, 2, 3, 4, with edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 0}, {0, 3}. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl.v	⊢ 𝑉 = (0...4)
usgrexmpl.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
usgrexmpl.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl	⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Proof of Theorem usgrexmpl

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...4)
2		usgrexmpl.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3	1, 2	usgrexmplef 29149	. 2 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
4		usgrexmpl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
5		opex 5466	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2821	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
7		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	isusgrs 29046	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
10	1, 2, 4	usgrexmpllem 29150	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸)
11		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸) → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)
12	11	dmeqd 5908	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸) → dom (iEdg‘𝐺) = dom 𝐸)
13		pweq 4618	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
14	13	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸) → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
15	14	rabeqdv 3434	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸) → {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
16	11, 12, 15	f1eq123d 6830	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
17	10, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
18	9, 17	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
19	6, 18	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
20	3, 19	mpbir 230	1 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632  ⟨cop 4636  dom cdm 5678  –1-1→wf1 6546  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11145  1c1 11146  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  ...cfz 13524  ♯chash 14330  ⟨“cs4 14835  Vtxcvtx 28886  iEdgciedg 28887  USGraphcusgr 29039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14331  df-word 14506  df-concat 14562  df-s1 14587  df-s2 14840  df-s3 14841  df-s4 14842  df-vtx 28888  df-iedg 28889  df-usgr 29041

This theorem is referenced by: (None)