Theorem usgrexmpl 29354

Description: 𝐺 is a simple graph of five vertices 0, 1, 2, 3, 4, with edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 0}, {0, 3}. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl.v	⊢ 𝑉 = (0...4)
usgrexmpl.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
usgrexmpl.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl	⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Proof of Theorem usgrexmpl

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...4)
2		usgrexmpl.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
3	1, 2	usgrexmplef 29350	. 2 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
4		usgrexmpl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
5	4	eleq1i 2832	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
6	1	ovexi 7394	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		s4cli 14839	. . . . 5 ⊢ ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ ∈ Word V
8	2, 7	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		isusgrop 29253	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
10	6, 8, 9	mp2an 699	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
11	5, 10	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
12	3, 11	mpbir 233	1 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433  𝒫 cpw 4532  {cpr 4560  ⟨cop 4564  dom cdm 5621  –1-1→wf1 6486  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  ...cfz 13456  ♯chash 14287  Word cword 14470  ⟨“cs4 14800  USGraphcusgr 29240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807  df-vtx 29089  df-iedg 29090  df-usgr 29242

This theorem is referenced by: (None)