Theorem usgrstrrepe 29873

Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a simple graph. Instead of requiring (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅})) and (𝜑 → 𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 13-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrstrrepe.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
usgrstrrepe.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
usgrstrrepe.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
usgrstrrepe.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
usgrstrrepe.w	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
usgrstrrepe.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Assertion

Ref	Expression
usgrstrrepe	⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem usgrstrrepe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrstrrepe.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
2		usgrstrrepe.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
3		usgrstrrepe.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
4		usgrstrrepe.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
5		usgrstrrepe.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
6	2, 3, 4, 5	setsvtx 29670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
7		usgrstrrepe.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
9	8	pweqd 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
10	9	rabeqdv 3431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		f1eq3 6805	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
13	1, 12	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
14	2, 3, 4, 5	setsiedg 29671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
15	14	dmeqd 5899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
16		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17	14, 15, 16	f1eq123d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
18	13, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		ovex 7484	. . 3 ⊢ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
22	20, 21	isusgrs 29794	. . 3 ⊢ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
23	19, 22	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
24	18, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ⟶1-1wf1 6563  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  2c2 12437  ♯chash 14515   Struct cstr 17368   sSet csts 17385  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  .efcedgf 29623  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  USGraphcusgr 29787

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-edgf 29624  df-vtx 29633  df-iedg 29634  df-usgr 29789

This theorem is used by:  structtousgr  30083