Theorem usgrstrrepe 27602

Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a simple graph. Instead of requiring (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅})) and (𝜑 → 𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 13-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrstrrepe.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
usgrstrrepe.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
usgrstrrepe.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
usgrstrrepe.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
usgrstrrepe.w	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
usgrstrrepe.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Assertion

Ref	Expression
usgrstrrepe	⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem usgrstrrepe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrstrrepe.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
2		usgrstrrepe.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
3		usgrstrrepe.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
4		usgrstrrepe.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
5		usgrstrrepe.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
6	2, 3, 4, 5	setsvtx 27405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
7		usgrstrrepe.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
9	8	pweqd 4552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
10	9	rabeqdv 3419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		f1eq3 6667	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
13	1, 12	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
14	2, 3, 4, 5	setsiedg 27406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
15	14	dmeqd 5814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
16		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17	14, 15, 16	f1eq123d 6708	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
18	13, 17	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		ovex 7308	. . 3 ⊢ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
22	20, 21	isusgrs 27526	. . 3 ⊢ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
23	19, 22	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
24	18, 23	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  2c2 12028  ♯chash 14044   Struct cstr 16847   sSet csts 16864  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  .efcedgf 27356  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  USGraphcusgr 27519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-edgf 27357  df-vtx 27368  df-iedg 27369  df-usgr 27521

This theorem is referenced by:  structtousgr  27812