MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrstrrepe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrstrrepe 26944
Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a simple graph. Instead of requiring (𝜑𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅})) and (𝜑𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 13-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrstrrepe.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
usgrstrrepe.i 𝐼 = (.ef‘ndx)
usgrstrrepe.s (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
usgrstrrepe.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
usgrstrrepe.w (𝜑𝐸𝑊)
usgrstrrepe.e (𝜑𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
Assertion
Ref Expression
usgrstrrepe (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem usgrstrrepe
StepHypRef Expression
1 usgrstrrepe.e . . . 4 (𝜑𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
2 usgrstrrepe.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (.ef‘ndx)
3 usgrstrrepe.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
4 usgrstrrepe.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
5 usgrstrrepe.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝑊)
62, 3, 4, 5setsvtx 26747 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
7 usgrstrrepe.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝐺)
86, 7syl6eqr 2871 . . . . . . 7 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
98pweqd 4540 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
109rabeqdv 3482 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11 f1eq3 6565 . . . . 5 ({𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
131, 12mpbird 258 . . 3 (𝜑𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
142, 3, 4, 5setsiedg 26748 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
1514dmeqd 5767 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
16 eqidd 2819 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
1714, 15, 16f1eq123d 6601 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1813, 17mpbird 258 . 2 (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19 ovex 7178 . . 3 (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
20 eqid 2818 . . . 4 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
21 eqid 2818 . . . 4 (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
2220, 21isusgrs 26868 . . 3 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
2319, 22mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
2418, 23mpbird 258 1 (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  𝒫 cpw 4535  cop 4563   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  1-1wf1 6345  cfv 6348  (class class class)co 7145  2c2 11680  chash 13678   Struct cstr 16467  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Basecbs 16471  .efcedgf 26701  Vtxcvtx 26708  iEdgciedg 26709  USGraphcusgr 26861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-edgf 26702  df-vtx 26710  df-iedg 26711  df-usgr 26863
This theorem is referenced by:  structtousgr  27154
  Copyright terms: Public domain W3C validator