Theorem usgrstrrepe 29828

Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a simple graph. Instead of requiring (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅})) and (𝜑 → 𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 13-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrstrrepe.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
usgrstrrepe.i	⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
usgrstrrepe.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
usgrstrrepe.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
usgrstrrepe.w	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
usgrstrrepe.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Assertion

Ref	Expression
usgrstrrepe	⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem usgrstrrepe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrstrrepe.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
2		usgrstrrepe.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (.ef‘ndx)
3		usgrstrrepe.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
4		usgrstrrepe.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
5		usgrstrrepe.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
6	2, 3, 4, 5	setsvtx 29625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
7		usgrstrrepe.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
9	8	pweqd 4576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
10	9	rabeqdv 3430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		f1eq3 6783	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
13	1, 12	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
14	2, 3, 4, 5	setsiedg 29626	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
15	14	dmeqd 5891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
16		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17	14, 15, 16	f1eq123d 6824	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
18	13, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		ovex 7460	. . 3 ⊢ (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
22	20, 21	isusgrs 29749	. . 3 ⊢ ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
23	19, 22	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
24	18, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4559  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105  dom cdm 5654  –1-1→wf1 6543  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  2c2 12407  ♯chash 14484   Struct cstr 17336   sSet csts 17353  ndxcnx 17383  Basecbs 17399  .efcedgf 29578  Vtxcvtx 29586  iEdgciedg 29587  USGraphcusgr 29742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-edgf 29579  df-vtx 29588  df-iedg 29589  df-usgr 29744

This theorem is used by:  structtousgr  30038