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Theorem f1ounsn 7291
Description: Extension of a bijection by an ordered pair. (Contributed by AV, 15-Sep-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
f1ounsn.f 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})
Assertion
Ref Expression
f1ounsn ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}))

Proof of Theorem f1ounsn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴𝐵)
2 ssun1 4187 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑌})
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑌}))
41, 3fssd 6753 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝑌}))
543ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝐺:𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝑌}))
6 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → 𝑋𝑉)
7 df-nel 3044 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐴 ↔ ¬ 𝑋𝐴)
87biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐴 → ¬ 𝑋𝐴)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → ¬ 𝑋𝐴)
106, 9anim12i 613 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋𝐴))
11103adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋𝐴))
12 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 𝑌 = 𝑌
1312olci 866 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝐵𝑌 = 𝑌)
14 elunsn 4687 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑊 → (𝑌 ∈ (𝐵 ∪ {𝑌}) ↔ (𝑌𝐵𝑌 = 𝑌)))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑊𝑌 ∈ (𝐵 ∪ {𝑌}))
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ {𝑌}))
17163ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ {𝑌}))
185, 11, 173jca 1127 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝐺:𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ (𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ {𝑌})))
19 fsnunf 7204 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ (𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∪ {𝑌})) → (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})⟶(𝐵 ∪ {𝑌}))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})⟶(𝐵 ∪ {𝑌}))
21 f1of1 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵)
22 dff14a 7289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐺𝑎) ≠ (𝐺𝑏))))
23 neeq1 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑏𝑥𝑏))
24 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑥 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑥))
2524neeq1d 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐺𝑎) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑏)))
2623, 25imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎𝑏 → (𝐺𝑎) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝑥𝑏 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑏))))
27 neeq2 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥𝑏𝑥𝑦))
28 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑦 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑦))
2928neeq2d 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
3027, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥𝑏 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
3126, 30rspc2va 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐺𝑎) ≠ (𝐺𝑏))) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
3231expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐺𝑎) ≠ (𝐺𝑏)) → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐺𝑎) ≠ (𝐺𝑏))) → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
3422, 33sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴1-1𝐵 → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
36353ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
3736impl 455 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
3837imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))
39 nelne2 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝐴) → 𝑥𝑋)
4039necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝐴) → 𝑋𝑥)
4140expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋𝐴 → (𝑥𝐴𝑋𝑥))
427, 41sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋𝐴 → (𝑥𝐴𝑋𝑥))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑥𝐴𝑋𝑥))
44433ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝑥𝐴𝑋𝑥))
4544imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋𝑥)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑋𝑥)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑋𝑥)
48 fvunsn 7198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑥 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) = (𝐺𝑥))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) = (𝐺𝑥))
50 nelne2 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝐴) → 𝑦𝑋)
5150necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝐴) → 𝑋𝑦)
5251expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋𝐴 → (𝑦𝐴𝑋𝑦))
537, 52sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋𝐴 → (𝑦𝐴𝑋𝑦))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑦𝐴𝑋𝑦))
55543ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝑦𝐴𝑋𝑦))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑋𝑦))
5756imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑋𝑦)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑋𝑦)
59 fvunsn 7198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) = (𝐺𝑦))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) = (𝐺𝑦))
6138, 49, 603netr4d 3015 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))
6261ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
6362ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
6413ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝐺:𝐴𝐵)
6564ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐵)
66 df-nel 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌𝐵 ↔ ¬ 𝑌𝐵)
6766biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌𝐵 → ¬ 𝑌𝐵)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → ¬ 𝑌𝐵)
69683ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ¬ 𝑌𝐵)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑌𝐵)
71 nelne2 3037 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌𝐵) → (𝐺𝑥) ≠ 𝑌)
7265, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ≠ 𝑌)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ≠ 𝑌)
74 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
7574necomd 2993 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝑥)
7675, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) = (𝐺𝑥))
7763ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝑋𝑉)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → 𝑌𝑊)
79783ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝑌𝑊)
80 f1odm 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐺 = 𝐴)
8180eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 = dom 𝐺)
8281eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑋𝐴𝑋 ∈ dom 𝐺))
8382notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → (¬ 𝑋𝐴 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
847, 83bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑋𝐴 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
8584biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑋𝐴 → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
8685adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
8786imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺)
88873adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺)
8977, 79, 883jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝑋𝑉𝑌𝑊 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑋𝑉𝑌𝑊 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑋𝑉𝑌𝑊 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
92 fsnunfv 7206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑌𝑊 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
9473, 76, 933netr4d 3015 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
9594ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋)))
9677adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋𝑉)
97 neeq2 3001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (𝑥𝑦𝑥𝑋))
98 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) = ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
9998neeq2d 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) ↔ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋)))
10097, 99imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))))
101100ralsng 4679 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))))
10296, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑥𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))))
10395, 102mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
104 ralun 4207 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
10563, 103, 104syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
106105ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
10764ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
10869adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ 𝑌𝐵)
109107, 108jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐺𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌𝐵))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑋𝑦) → ((𝐺𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌𝐵))
111 nelne2 3037 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌𝐵) → (𝐺𝑦) ≠ 𝑌)
112111necomd 2993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌𝐵) → 𝑌 ≠ (𝐺𝑦))
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑋𝑦) → 𝑌 ≠ (𝐺𝑦))
11489adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑋𝑉𝑌𝑊 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑋𝑦) → (𝑋𝑉𝑌𝑊 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐺))
116115, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑋𝑦) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
11759adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑋𝑦) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) = (𝐺𝑦))
118113, 116, 1173netr4d 3015 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑋𝑦) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))
119118ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
120119ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ∀𝑦𝐴 (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
121 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝑋
122 eqneqall 2948 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑋 → (𝑋𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
124 neeq2 3001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (𝑋𝑦𝑋𝑋))
12598neeq2d 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) ↔ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋)))
126124, 125imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑋𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))))
127126ralsng 4679 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑋𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))))
12877, 127syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑋𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))))
129123, 128mpbiri 258 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
130 ralun 4207 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝐴 (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑋} (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
131120, 129, 130syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
132 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑦𝑋𝑦))
133 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) = ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
134133neeq1d 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦) ↔ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
135132, 134imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ (𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))))
136135ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))))
137136ralsng 4679 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))))
13877, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑋𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))))
139131, 138mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
140 ralun 4207 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑋}∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
141106, 139, 140syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦)))
14220, 141jca 511 . . . 4 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})⟶(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))))
143 rnun 6167 . . . . 5 ran (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (ran 𝐺 ∪ ran {⟨𝑋, 𝑌⟩})
144 f1ofo 6855 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴onto𝐵)
145 forn 6823 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴onto𝐵 → ran 𝐺 = 𝐵)
146144, 145syl 17 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐺 = 𝐵)
1471463ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ran 𝐺 = 𝐵)
148 rnsnopg 6242 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → ran {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑌})
149148adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → ran {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑌})
1501493ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ran {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑌})
151147, 150uneq12d 4178 . . . . 5 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (ran 𝐺 ∪ ran {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (𝐵 ∪ {𝑌}))
152143, 151eqtrid 2786 . . . 4 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → ran (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (𝐵 ∪ {𝑌}))
153142, 152jca 511 . . 3 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})⟶(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))) ∧ ran (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (𝐵 ∪ {𝑌})))
154 dff1o5 6857 . . . 4 ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}) ↔ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1→(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ ran (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (𝐵 ∪ {𝑌})))
155 dff14a 7289 . . . 4 ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1→(𝐵 ∪ {𝑌}) ↔ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})⟶(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))))
156154, 155bianbi 627 . . 3 ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}) ↔ (((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})⟶(𝐵 ∪ {𝑌}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋})(𝑥𝑦 → ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑥) ≠ ((𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑦))) ∧ ran (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (𝐵 ∪ {𝑌})))
157153, 156sylibr 234 . 2 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}))
158 f1ounsn.f . . 3 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})
159 f1oeq1 6836 . . 3 (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) → (𝐹:(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌})))
160158, 159ax-mp 5 . 2 (𝐹:(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}):(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}))
161157, 160sylibr 234 1 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐵)) → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝑋})–1-1-onto→(𝐵 ∪ {𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wnel 3043  wral 3058  cun 3960  wss 3962  {csn 4630  cop 4636  dom cdm 5688  ran crn 5689  wf 6558  1-1wf1 6559  ontowfo 6560  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570
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