Theorem ffnov 7536

Description: An operation maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ffnov	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ffnov

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 7114	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 × 𝐵)(𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶))
2		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
3		df-ov 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝐹𝑦) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4	2, 3	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹‘𝑤) = (𝑥𝐹𝑦))
5	4	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
6	5	ralxp 5827	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝐴 × 𝐵)(𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
7	6	anbi2i 634	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 × 𝐵)(𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶) ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
8	1, 7	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟨cop 4595   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413

This theorem is referenced by:  fovcld  7537  cantnfvalf  9630  axaddf  11125  axmulf  11126  mulnzcnf  11855  frmdplusg  18908  gass  19366  sylow2blem2  19686  matecl  22582  txdis1cn  23792  isxmet2d  24484  prdsmet  24527  imasdsf1olem  24530  imasf1oxmet  24532  imasf1omet  24533  xmetresbl  24594  comet  24670  tgqioo  24957  xrtgioo  24964  opnmblALT  25762  mpodvdsmulf1o  27358  dvdsmulf1o  27360  hhssabloilem  31613  pstmxmet  34287  xrge0pluscn  34330  mpomulnzcnf  36831  isbndx  38453  isbnd3  38455  isbnd3b  38456  prdsbnd  38464  isdrngo2  38629  aks6d1c6lem3  42959  clintopcllaw  48996