Theorem ffnov 7556

Description: An operation maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ffnov	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ffnov

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 7130	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 × 𝐵)(𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶))
2		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
3		df-ov 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝐹𝑦) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
4	2, 3	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹‘𝑤) = (𝑥𝐹𝑦))
5	4	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
6	5	ralxp 5823	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ (𝐴 × 𝐵)(𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
7	6	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 × 𝐵)(𝐹‘𝑤) ∈ 𝐶) ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
8	1, 7	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ⟨cop 4838   × cxp 5653   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433

This theorem is used by:  fovcld  7557  cantnfvalf  9679  axaddf  11243  axmulf  11244  mulnzcnf  11975  frmdplusg  19065  gass  19530  sylow2blem2  19850  matecl  22755  txdis1cn  23969  isxmet2d  24661  prdsmet  24704  imasdsf1olem  24707  imasf1oxmet  24709  imasf1omet  24710  xmetresbl  24771  comet  24847  tgqioo  25134  xrtgioo  25141  opnmblALT  25939  mpodvdsmulf1o  27536  dvdsmulf1o  27538  hhssabloilem  31878  pstmxmet  34585  xrge0pluscn  34628  mpomulnzcnf  37218  isbndx  38859  isbnd3  38861  isbnd3b  38862  prdsbnd  38870  isdrngo2  39035  aks6d1c6lem3  43365  clintopcllaw  49450