Theorem imasf1omet 24291

Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1oxmet.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1oxmet.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1oxmet.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1oxmet.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1omet.m	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
imasf1omet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1omet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1oxmet.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasf1oxmet.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasf1oxmet.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasf1oxmet.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasf1oxmet.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
6		imasf1oxmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
7		imasf1omet.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
8		metxmet 24249	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	imasf1oxmet 24290	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
11		f1ofo 6770	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12	3, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
14	1, 2, 12, 4, 13, 6	imasdsfn 17418	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
16	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
17	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
18	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝑍)
19	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
20		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
21		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
22	15, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21	imasdsf1o 24289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
23		metcl 24247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
24	23	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
25	7, 24	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
26	22, 25	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ)
27	26	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ)
28		f1ofn 6764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
30		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)))
31	30	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ))
32	31	ralrn 7021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ))
33	29, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ))
34		forn 6738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
35	12, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
36	35	raleqdv 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
37	33, 36	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
38	37	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ((𝐹‘𝑎)𝐷(𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
39	27, 38	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ)
40		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦))
41	40	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
42	41	ralbidv 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
43	42	ralrn 7021	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
44	29, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
45	35	raleqdv 3292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
46	44, 45	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
47	39, 46	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
48		ffnov 7472	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
49	14, 47, 48	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
50		ismet2 24248	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
51	10, 49, 50	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   × cxp 5612  ran crn 5615   ↾ cres 5616   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  Basecbs 17120  distcds 17170   “_s cimas 17408  ∞Metcxmet 21276  Metcmet 21277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-xrs 17406  df-imas 17412  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-xmet 21284  df-met 21285

This theorem is referenced by:  xpsmet  24297  imasf1oms  24405