Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1omet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1omet 23024
 Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1oxmet.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oxmet.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1omet.m (𝜑𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasf1omet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1omet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1oxmet.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 imasf1oxmet.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasf1oxmet.e . . 3 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
6 imasf1oxmet.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑈)
7 imasf1omet.m . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
8 metxmet 22982 . . . 4 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9imasf1oxmet 23023 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
11 f1ofo 6606 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
123, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
13 eqid 2798 . . . 4 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
141, 2, 12, 4, 13, 6imasdsfn 16799 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
151adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
162adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
173adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
184adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑅𝑍)
199adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
20 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
21 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
2215, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21imasdsf1o 23022 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
23 metcl 22980 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
24233expb 1117 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
257, 24sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ)
2622, 25eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
2726ralrimivva 3156 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
28 f1ofn 6600 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
293, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
30 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
3130eleq1d 2874 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ))
3231ralrn 6841 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ))
3329, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ))
34 forn 6576 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
3512, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
3635raleqdv 3365 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3733, 36bitr3d 284 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3837ralbidv 3162 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3927, 38mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ)
40 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷𝑦))
4140eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4241ralbidv 3162 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4342ralrn 6841 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4429, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4535raleqdv 3365 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4644, 45bitr3d 284 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4739, 46mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
48 ffnov 7268 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4914, 47, 48sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
50 ismet2 22981 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
5110, 49, 50sylanbrc 586 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   × cxp 5521  ran crn 5524   ↾ cres 5525   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  –onto→wfo 6330  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  Basecbs 16495  distcds 16586   “s cimas 16789  ∞Metcxmet 20097  Metcmet 20098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-xrs 16787  df-imas 16793  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-xmet 20105  df-met 20106 This theorem is referenced by:  xpsmet  23030  imasf1oms  23138
 Copyright terms: Public domain W3C validator