MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1omet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1omet 24204
Description: The image of a metric is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasf1oxmet.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasf1oxmet.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
imasf1oxmet.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
imasf1omet.m (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
imasf1omet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))

Proof of Theorem imasf1omet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasf1oxmet.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
4 imasf1oxmet.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasf1oxmet.e . . 3 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
6 imasf1oxmet.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
7 imasf1omet.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
8 metxmet 24162 . . . 4 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9imasf1oxmet 24203 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
11 f1ofo 6830 . . . . 5 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
123, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
13 eqid 2724 . . . 4 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
141, 2, 12, 4, 13, 6imasdsfn 17459 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
151adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
162adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
173adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
184adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
199adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
20 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
21 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
2215, 16, 17, 18, 5, 6, 19, 20, 21imasdsf1o 24202 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = (π‘ŽπΈπ‘))
23 metcl 24160 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ∈ ℝ)
24233expb 1117 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ∈ ℝ)
257, 24sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ∈ ℝ)
2622, 25eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
2726ralrimivva 3192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
28 f1ofn 6824 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
293, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
30 oveq2 7409 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)))
3130eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ))
3231ralrn 7079 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ))
3329, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ))
34 forn 6798 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
3512, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
3635raleqdv 3317 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3733, 36bitr3d 281 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3837ralbidv 3169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3927, 38mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ)
40 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦))
4140eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4241ralbidv 3169 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4342ralrn 7079 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4429, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4535raleqdv 3317 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4644, 45bitr3d 281 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4739, 46mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
48 ffnov 7527 . . 3 (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
4914, 47, 48sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
50 ismet2 24161 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
5110, 49, 50sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   Γ— cxp 5664  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“ontoβ†’wfo 6531  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11105  Basecbs 17143  distcds 17205   β€œs cimas 17449  βˆžMetcxmet 21213  Metcmet 21214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-xrs 17447  df-imas 17453  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-xmet 21221  df-met 21222
This theorem is referenced by:  xpsmet  24210  imasf1oms  24321
  Copyright terms: Public domain W3C validator