Theorem mulnzcnopr 11551

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mulnzcnopr	⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem mulnzcnopr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 10882	. . . . 5 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffnov 7379	. . . . 5 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ↔ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ))
3	1, 2	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	simpli 483	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
5		difss 4062	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
6		xpss12 5595	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ))
7	5, 5, 6	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)
8		fnssres 6539	. . 3 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))
9	4, 7, 8	mp2an 688	. 2 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
10		ovres 7416	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
11		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
12		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
13		mulcl 10886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	ad2ant2r 743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
15		mulne0 11547	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
16	14, 15	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
17	11, 12, 16	syl2anb 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
18		eldifsn 4717	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20	10, 19	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21	20	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})
22		ffnov 7379	. 2 ⊢ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ (( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑥( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})))𝑦) ∈ (ℂ ∖ {0})))
23	9, 21, 22	mpbir2an 707	1 ⊢ ( · ↾ ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   × cxp 5578   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by: (None)