MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prdsmet 23876
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsmet.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsmet.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsmet.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsmet.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6 prdsmet.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsmet.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
10 metxmet 23840 . . . 4 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 23875 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 23873 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
1413ffnd 6719 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
156adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
167adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
20 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 17431 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 17429 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 17429 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3112 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
25 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
26253expib 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3024, 29biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 698 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)))
3332fmpt 7110 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3431, 33sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3534frnd 6726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βŠ† ℝ)
36 0red 11217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4813 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ)
3835, 37unssd 4187 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ)
39 xrltso 13120 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ < Or ℝ*)
41 mptfi 9351 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
42 rnfi 9335 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
44 snfi 9044 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 9172 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4174 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
48 c0ex 11208 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4790 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5047, 49mpbir 230 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
51 ne0i 4335 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
53 ressxr 11258 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
5438, 53sstrdi 3995 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
55 fisupcl 9464 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ… ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5738, 56sseldd 3984 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3201 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7535 . . 3 (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
62 ismet2 23839 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
6312, 61, 62sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248  [,]cicc 13327  Basecbs 17144  distcds 17206  Xscprds 17391  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-prds 17393  df-xmet 20937  df-met 20938
This theorem is referenced by:  xpsmet  23888  prdsmslem1  24036  prdsbnd  36661  prdstotbnd  36662  prdsbnd2  36663  repwsmet  36702
  Copyright terms: Public domain W3C validator