MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmet 22396
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsmet.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsmet.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsmet.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
6 prdsmet.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsmet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10 metxmet 22360 . . . 4 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 22395 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 22393 . . . 4 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
1413ffnd 6264 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
156adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑊)
167adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3165 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
1817adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
19 simprl 778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
20 simprr 780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 16357 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 16355 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 16355 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3263 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉))
25 metcl 22358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
26253expib 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2928adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3024, 29syl5bir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ((∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 682 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
32 eqid 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
3332fmpt 6609 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3431, 33sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3534frnd 6270 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ)
36 0red 10335 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4541 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
3835, 37unssd 3999 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39 xrltso 12197 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → < Or ℝ*)
41 mptfi 8511 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
42 rnfi 8495 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
44 snfi 8284 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 8473 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 576 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 3987 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
48 c0ex 10326 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4517 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5047, 49mpbir 222 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
51 ne0i 4133 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53 ressxr 10375 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
5438, 53syl6ss 3821 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55 fisupcl 8621 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5738, 56sseldd 3810 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2896 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3170 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7001 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 574 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62 ismet2 22359 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
6312, 61, 62sylanbrc 574 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  cun 3778  wss 3780  c0 4127  {csn 4381  cmpt 4934   Or wor 5242   × cxp 5320  ran crn 5323  cres 5324   Fn wfn 6103  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  Fincfn 8199  supcsup 8592  cr 10227  0cc0 10228  +∞cpnf 10363  *cxr 10365   < clt 10366  [,]cicc 12403  Basecbs 16075  distcds 16169  Xscprds 16318  ∞Metcxmt 19946  Metcme 19947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-sup 8594  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-rp 12054  df-xneg 12169  df-xadd 12170  df-xmul 12171  df-icc 12407  df-fz 12557  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-hom 16184  df-cco 16185  df-prds 16320  df-xmet 19954  df-met 19955
This theorem is referenced by:  xpsmet  22408  prdsmslem1  22553  prdsbnd  33909  prdstotbnd  33910  prdsbnd2  33911  repwsmet  33950
  Copyright terms: Public domain W3C validator