MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prdsmet 24096
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsmet.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsmet.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsmet.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsmet.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6 prdsmet.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsmet.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
10 metxmet 24060 . . . 4 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 24095 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 24093 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
1413ffnd 6717 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
156adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
167adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
1817adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19 simprl 767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
20 simprr 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 17435 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 17433 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 17433 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3109 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
25 metcl 24058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
26253expib 1120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2928adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3024, 29biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 695 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
32 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)))
3332fmpt 7110 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3431, 33sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3534frnd 6724 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βŠ† ℝ)
36 0red 11221 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4811 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ)
3835, 37unssd 4185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ)
39 xrltso 13124 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ < Or ℝ*)
41 mptfi 9353 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
42 rnfi 9337 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
44 snfi 9046 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 9174 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4172 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
48 c0ex 11212 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4788 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5047, 49mpbir 230 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
51 ne0i 4333 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
53 ressxr 11262 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
5438, 53sstrdi 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
55 fisupcl 9466 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ… ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5738, 56sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3198 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7537 . . 3 (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
62 ismet2 24059 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
6312, 61, 62sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252  [,]cicc 13331  Basecbs 17148  distcds 17210  Xscprds 17395  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-prds 17397  df-xmet 21137  df-met 21138
This theorem is referenced by:  xpsmet  24108  prdsmslem1  24256  prdsbnd  36964  prdstotbnd  36965  prdsbnd2  36966  repwsmet  37005
  Copyright terms: Public domain W3C validator