MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmet 23739
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsmet.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsmet.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsmet.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsmet.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6 prdsmet.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsmet.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
10 metxmet 23703 . . . 4 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 23738 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 23736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
1413ffnd 6674 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
156adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
167adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
20 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 17374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 17372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 17372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3115 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
25 metcl 23701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
26253expib 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3024, 29biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 698 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)))
3332fmpt 7063 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3431, 33sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3534frnd 6681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βŠ† ℝ)
36 0red 11165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ)
3835, 37unssd 4151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ)
39 xrltso 13067 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ < Or ℝ*)
41 mptfi 9302 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
42 rnfi 9286 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
44 snfi 8995 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 9123 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4138 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
48 c0ex 11156 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4751 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5047, 49mpbir 230 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
51 ne0i 4299 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
53 ressxr 11206 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
5438, 53sstrdi 3961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
55 fisupcl 9412 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ… ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5738, 56sseldd 3950 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3198 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7488 . . 3 (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
62 ismet2 23702 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
6312, 61, 62sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Or wor 5549   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  supcsup 9383  β„cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196  [,]cicc 13274  Basecbs 17090  distcds 17149  Xscprds 17334  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336  df-xmet 20805  df-met 20806
This theorem is referenced by:  xpsmet  23751  prdsmslem1  23899  prdsbnd  36281  prdstotbnd  36282  prdsbnd2  36283  repwsmet  36322
  Copyright terms: Public domain W3C validator