Theorem prdsmet 24682

Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmet.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmet.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsmet.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmet.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4		prdsmet.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5		prdsmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
6		prdsmet.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsmet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsmet.r	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
9		prdsmet.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10		metxmet 24646	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsxmet 24681	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsdsf 24679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
14	13	ffnd 6708	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
15	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
16	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
17	8	ralrimiva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5	prdsdsval3 17649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
22	1, 2, 15, 16, 18, 3, 19	prdsbascl 17647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 15, 16, 18, 3, 20	prdsbascl 17647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
24		r19.26 3123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉))
25		metcl 24644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	25	3expib 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
27	9, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
28	27	ralimdva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
30	24, 29	biimtrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
31	22, 23, 30	mp2and 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)))
33	32	fmpt 7108	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
34	31, 33	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
35	34	frnd 6716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ⊆ ℝ)
36		0red 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
37	36	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
38	35, 37	unssd 4138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39		xrltso 13263	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → < Or ℝ*)
41		mptfi 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
42		rnfi 9322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
43	16, 41, 42	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
44		snfi 9064	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
45		unfi 9179	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47		ssun2 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
48		c0ex 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
49	48	snss 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
50	47, 49	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
51		ne0i 4287	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
52	50, 51	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53		ressxr 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	38, 53	sstrdi 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55		fisupcl 9455	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
56	40, 46, 52, 54, 55	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
57	38, 56	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58	21, 57	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
59	58	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60		ffnov 7544	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
61	14, 59, 60	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62		ismet2 24645	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
63	12, 61, 62	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   Or wor 5558   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  supcsup 9425  ℝcr 11192  0cc0 11193  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336  [,]cicc 13472  Basecbs 17380  distcds 17430  X_scprds 17609  ∞Metcxmet 21656  Metcmet 21657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-prds 17611  df-xmet 21664  df-met 21665

This theorem is used by:  xpsmet  24694  prdsmslem1  24839  prdsbnd  38707  prdstotbnd  38708  prdsbnd2  38709  repwsmet  38748