MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmet 23723
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsmet.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsmet.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsmet.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
6 prdsmet.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsmet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10 metxmet 23687 . . . 4 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 23722 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 23720 . . . 4 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
1413ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
156adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑊)
167adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
19 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
20 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 17367 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 17365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 17365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3114 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉))
25 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
26253expib 1122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3024, 29biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ((∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
3332fmpt 7058 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3431, 33sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3534frnd 6676 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ)
36 0red 11158 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
3835, 37unssd 4146 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39 xrltso 13060 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → < Or ℝ*)
41 mptfi 9295 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
42 rnfi 9279 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
44 snfi 8988 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 9116 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4133 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
48 c0ex 11149 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4746 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5047, 49mpbir 230 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
51 ne0i 4294 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53 ressxr 11199 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
5438, 53sstrdi 3956 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55 fisupcl 9405 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5738, 56sseldd 3945 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3197 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7483 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62 ismet2 23686 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
6312, 61, 62sylanbrc 583 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cun 3908  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  cmpt 5188   Or wor 5544   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  [,]cicc 13267  Basecbs 17083  distcds 17142  Xscprds 17327  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-prds 17329  df-xmet 20789  df-met 20790
This theorem is referenced by:  xpsmet  23735  prdsmslem1  23883  prdsbnd  36252  prdstotbnd  36253  prdsbnd2  36254  repwsmet  36293
  Copyright terms: Public domain W3C validator