MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prdsmet 23867
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsmet.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsmet.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsmet.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsmet.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
6 prdsmet.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
7 prdsmet.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰))
10 metxmet 23831 . . . 4 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
119, 10syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 23866 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 23864 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)⟢(0[,]+∞))
1413ffnd 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
156adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
167adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
20 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 17427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 17425 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 17425 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3111 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
25 metcl 23829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
26253expib 1122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Metβ€˜π‘‰) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3024, 29biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 697 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)))
3332fmpt 7106 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3431, 33sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))):πΌβŸΆβ„)
3534frnd 6722 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βŠ† ℝ)
36 0red 11213 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4811 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ {0} βŠ† ℝ)
3835, 37unssd 4185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ)
39 xrltso 13116 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ < Or ℝ*)
41 mptfi 9347 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
42 rnfi 9331 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin)
44 snfi 9040 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 9168 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4172 . . . . . . . . 9 {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
48 c0ex 11204 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4788 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ↔ {0} βŠ† (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5047, 49mpbir 230 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0})
51 ne0i 4333 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ…)
53 ressxr 11254 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
5438, 53sstrdi 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
55 fisupcl 9460 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) β‰  βˆ… ∧ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
5738, 56sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)𝐸(π‘”β€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3200 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7531 . . 3 (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ (𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 βˆ€π‘” ∈ 𝐡 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
62 ismet2 23830 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
6312, 61, 62sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  supcsup 9431  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244  [,]cicc 13323  Basecbs 17140  distcds 17202  Xscprds 17387  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-prds 17389  df-xmet 20929  df-met 20930
This theorem is referenced by:  xpsmet  23879  prdsmslem1  24027  prdsbnd  36649  prdstotbnd  36650  prdsbnd2  36651  repwsmet  36690
  Copyright terms: Public domain W3C validator