MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmet 22898
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsmet.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsmet.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsmet.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
6 prdsmet.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsmet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10 metxmet 22862 . . . 4 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 22897 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 22895 . . . 4 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
1413ffnd 6511 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
156adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑊)
167adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3186 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
19 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
20 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 16751 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 16749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 16749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3174 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉))
25 metcl 22860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
26253expib 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3181 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3024, 29syl5bir 244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ((∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
32 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
3332fmpt 6869 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3431, 33sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3534frnd 6517 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ)
36 0red 10636 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4740 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
3835, 37unssd 4165 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39 xrltso 12527 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → < Or ℝ*)
41 mptfi 8815 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
42 rnfi 8799 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
44 snfi 8586 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 8777 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4152 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
48 c0ex 10627 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4716 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5047, 49mpbir 232 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
51 ne0i 4303 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53 ressxr 10677 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
5438, 53syl6ss 3982 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55 fisupcl 8925 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5738, 56sseldd 3971 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2917 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3195 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7271 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62 ismet2 22861 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
6312, 61, 62sylanbrc 583 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  cun 3937  wss 3939  c0 4294  {csn 4563  cmpt 5142   Or wor 5471   × cxp 5551  ran crn 5554  cres 5555   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  supcsup 8896  cr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  [,]cicc 12734  Basecbs 16476  distcds 16567  Xscprds 16712  ∞Metcxmet 20449  Metcmet 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-fz 12886  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-hom 16582  df-cco 16583  df-prds 16714  df-xmet 20457  df-met 20458
This theorem is referenced by:  xpsmet  22910  prdsmslem1  23055  prdsbnd  34942  prdstotbnd  34943  prdsbnd2  34944  repwsmet  34983
  Copyright terms: Public domain W3C validator