Theorem prdsmet 24695

Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmet.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmet.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsmet.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmet.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4		prdsmet.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5		prdsmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
6		prdsmet.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsmet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsmet.r	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
9		prdsmet.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10		metxmet 24659	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsxmet 24694	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsdsf 24692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
14	13	ffnd 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
15	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
16	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
17	8	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5	prdsdsval3 17662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
22	1, 2, 15, 16, 18, 3, 19	prdsbascl 17660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 15, 16, 18, 3, 20	prdsbascl 17660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
24		r19.26 3122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉))
25		metcl 24657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	25	3expib 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
27	9, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
28	27	ralimdva 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
30	24, 29	biimtrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
31	22, 23, 30	mp2and 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)))
33	32	fmpt 7111	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
34	31, 33	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
35	34	frnd 6719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ⊆ ℝ)
36		0red 11315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
37	36	snssd 4743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
38	35, 37	unssd 4190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39		xrltso 13274	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → < Or ℝ*)
41		mptfi 9344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
42		rnfi 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
43	16, 41, 42	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
44		snfi 9075	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
45		unfi 9190	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47		ssun2 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
48		c0ex 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
49	48	snss 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
50	47, 49	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
51		ne0i 4286	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
52	50, 51	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53		ressxr 11357	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	38, 53	sstrdi 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55		fisupcl 9466	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
56	40, 46, 52, 54, 55	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
57	38, 56	sseldd 3909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58	21, 57	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
59	58	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60		ffnov 7547	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
61	14, 59, 60	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62		ismet2 24658	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
63	12, 61, 62	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   Or wor 5557   × cxp 5648  ran crn 5651   ↾ cres 5652   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  supcsup 9436  ℝcr 11203  0cc0 11204  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347  [,]cicc 13483  Basecbs 17393  distcds 17443  X_scprds 17622  ∞Metcxmet 21669  Metcmet 21670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-icc 13487  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-prds 17624  df-xmet 21677  df-met 21678

This theorem is used by:  xpsmet  24707  prdsmslem1  24852  prdsbnd  38821  prdstotbnd  38822  prdsbnd2  38823  repwsmet  38862