Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmet 23085
 Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsmet.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsmet.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsmet.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsmet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsmet.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsmet.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
4 prdsmet.e . . 3 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5 prdsmet.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
6 prdsmet.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsmet.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 prdsmet.r . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
9 prdsmet.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10 metxmet 23049 . . . 4 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 23084 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 23082 . . . 4 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
1413ffnd 6504 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
156adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑊)
167adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
178ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
19 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
20 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
211, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5prdsdsval3 16829 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
221, 2, 15, 16, 18, 3, 19prdsbascl 16827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
231, 2, 15, 16, 18, 3, 20prdsbascl 16827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
24 r19.26 3101 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉))
25 metcl 23047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
26253expib 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
279, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2827ralimdva 3108 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
2928adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3024, 29syl5bir 246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ((∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ))
3122, 23, 30mp2and 698 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
32 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
3332fmpt 6871 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3431, 33sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
3534frnd 6510 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ)
36 0red 10695 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3736snssd 4702 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
3835, 37unssd 4093 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39 xrltso 12588 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → < Or ℝ*)
41 mptfi 8869 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
42 rnfi 8853 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
4316, 41, 423syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin)
44 snfi 8627 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
45 unfi 8754 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
4643, 44, 45sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47 ssun2 4080 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
48 c0ex 10686 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4948snss 4679 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5047, 49mpbir 234 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
51 ne0i 4235 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
5250, 51mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53 ressxr 10736 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
5438, 53sstrdi 3906 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55 fisupcl 8979 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5640, 46, 52, 54, 55syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
5738, 56sseldd 3895 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5821, 57eqeltrd 2852 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
5958ralrimivva 3120 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60 ffnov 7279 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
6114, 59, 60sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62 ismet2 23048 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
6312, 61, 62sylanbrc 586 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  {csn 4525   ↦ cmpt 5116   Or wor 5446   × cxp 5526  ran crn 5529   ↾ cres 5530   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  supcsup 8950  ℝcr 10587  0cc0 10588  +∞cpnf 10723  ℝ*cxr 10725   < clt 10726  [,]cicc 12795  Basecbs 16554  distcds 16645  Xscprds 16790  ∞Metcxmet 20164  Metcmet 20165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-icc 12799  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-hom 16660  df-cco 16661  df-prds 16792  df-xmet 20172  df-met 20173 This theorem is referenced by:  xpsmet  23097  prdsmslem1  23242  prdsbnd  35545  prdstotbnd  35546  prdsbnd2  35547  repwsmet  35586
 Copyright terms: Public domain W3C validator