Theorem prdsmet 24360

Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmet.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmet.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsmet.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmet.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4		prdsmet.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5		prdsmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
6		prdsmet.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsmet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsmet.r	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
9		prdsmet.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10		metxmet 24324	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsxmet 24359	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsdsf 24357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
14	13	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
15	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
16	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
17	8	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20		simprr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5	prdsdsval3 17446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
22	1, 2, 15, 16, 18, 3, 19	prdsbascl 17444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 15, 16, 18, 3, 20	prdsbascl 17444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
24		r19.26 3100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉))
25		metcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	25	3expib 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
27	9, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
28	27	ralimdva 3152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
30	24, 29	biimtrrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
31	22, 23, 30	mp2and 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)))
33	32	fmpt 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
34	31, 33	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
35	34	frnd 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ⊆ ℝ)
36		0red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
37	36	snssd 4725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
38	35, 37	unssd 4128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39		xrltso 13090	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → < Or ℝ*)
41		mptfi 9258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
42		rnfi 9247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
43	16, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
44		snfi 8987	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
45		unfi 9102	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47		ssun2 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
48		c0ex 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
49	48	snss 4723	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
50	47, 49	mpbir 232	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
51		ne0i 4276	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
52	50, 51	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53		ressxr 11187	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	38, 53	sstrdi 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55		fisupcl 9380	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
56	40, 46, 52, 54, 55	syl13anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
57	38, 56	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58	21, 57	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
59	58	ralrimivva 3183	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60		ffnov 7489	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
61	14, 59, 60	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62		ismet2 24323	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
63	12, 61, 62	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562   ↦ cmpt 5160   Or wor 5532   × cxp 5623  ran crn 5626   ↾ cres 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  supcsup 9350  ℝcr 11035  0cc0 11036  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177  [,]cicc 13299  Basecbs 17177  distcds 17227  X_scprds 17406  ∞Metcxmet 21339  Metcmet 21340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-icc 13303  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prds 17408  df-xmet 21347  df-met 21348

This theorem is referenced by:  xpsmet  24372  prdsmslem1  24517  prdsbnd  38167  prdstotbnd  38168  prdsbnd2  38169  repwsmet  38208