Theorem prdsmet 24265

Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmet.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsmet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsmet.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsmet.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsmet.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsmet.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsmet.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
prdsmet.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsmet.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsmet

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmet.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsmet.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsmet.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4		prdsmet.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5		prdsmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
6		prdsmet.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
7		prdsmet.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		prdsmet.r	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
9		prdsmet.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
10		metxmet 24229	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsxmet 24264	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	prdsdsf 24262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
14	13	ffnd 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
15	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝑊)
16	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
17	8	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑍)
19		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 15, 16, 18, 19, 20, 3, 4, 5	prdsdsval3 17455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
22	1, 2, 15, 16, 18, 3, 19	prdsbascl 17453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 15, 16, 18, 3, 20	prdsbascl 17453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉)
24		r19.26 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉))
25		metcl 24227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	25	3expib 1122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
27	9, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
28	27	ralimdva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
30	24, 29	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ))
31	22, 23, 30	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)))
33	32	fmpt 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
34	31, 33	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))):𝐼⟶ℝ)
35	34	frnd 6699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ⊆ ℝ)
36		0red 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
37	36	snssd 4776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
38	35, 37	unssd 4158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
39		xrltso 13108	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → < Or ℝ*)
41		mptfi 9309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
42		rnfi 9298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
43	16, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin)
44		snfi 9017	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
45		unfi 9141	. . . . . . . 8 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
47		ssun2 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
48		c0ex 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
49	48	snss 4752	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
50	47, 49	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0})
51		ne0i 4307	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
52	50, 51	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
53		ressxr 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	38, 53	sstrdi 3962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
55		fisupcl 9428	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
56	40, 46, 52, 54, 55	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}))
57	38, 56	sseldd 3950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)𝐸(𝑔‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
58	21, 57	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
59	58	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
60		ffnov 7518	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ 𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ))
61	14, 59, 60	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62		ismet2 24228	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ))
63	12, 61, 62	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592   ↦ cmpt 5191   Or wor 5548   × cxp 5639  ran crn 5642   ↾ cres 5643   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  supcsup 9398  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  [,]cicc 13316  Basecbs 17186  distcds 17236  X_scprds 17415  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-prds 17417  df-xmet 21264  df-met 21265

This theorem is referenced by:  xpsmet  24277  prdsmslem1  24422  prdsbnd  37794  prdstotbnd  37795  prdsbnd2  37796  repwsmet  37835