Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0pluscn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrge0pluscn 32909
Description: The addition operation of the extended nonnegative real numbers monoid is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
xrge0pluscn.1 + = ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
xrge0pluscn + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   + (π‘₯)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem xrge0pluscn
Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑣 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0iifhmeo.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
2 xrge0iifhmeo.k . . 3 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
31, 2xrge0iifhmeo 32905 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
4 unitsscn 13474 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† β„‚
5 xpss12 5691 . . . . 5 (((0[,]1) βŠ† β„‚ ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
64, 4, 5mp2an 691 . . . 4 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
7 ax-mulf 11187 . . . . 5 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
8 ffn 6715 . . . . 5 ( Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚))
9 fnssresb 6670 . . . . 5 ( Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚) β†’ (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . 4 (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
116, 10mpbir 230 . . 3 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1))
12 ovres 7570 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) = (𝑒 Β· 𝑣))
13 iimulcl 24445 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ (0[,]1))
1412, 13eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1))
1514rgen2 3198 . . 3 βˆ€π‘’ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘£ ∈ (0[,]1)(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)
16 ffnov 7532 . . 3 (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1) ↔ (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘£ ∈ (0[,]1)(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)))
1711, 15, 16mpbir2an 710 . 2 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1)
18 iccssxr 13404 . . . . . 6 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
19 xpss12 5691 . . . . . 6 (((0[,]+∞) βŠ† ℝ* ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2018, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
21 xaddf 13200 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„*
22 ffn 6715 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„* β†’ +𝑒 Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
23 fnssresb 6670 . . . . . 6 ( +𝑒 Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2520, 24mpbir 230 . . . 4 ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))
26 xrge0pluscn.1 . . . . 5 + = ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))
2726fneq1i 6644 . . . 4 ( + Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ↔ ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))
2825, 27mpbir 230 . . 3 + Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))
2926oveqi 7419 . . . . 5 (π‘Ž + 𝑏) = (π‘Ž( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))𝑏)
30 ovres 7570 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))𝑏) = (π‘Ž +𝑒 𝑏))
31 ge0xaddcl 13436 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3230, 31eqeltrd 2834 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3329, 32eqeltrid 2838 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3433rgen2 3198 . . 3 βˆ€π‘Ž ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘ ∈ (0[,]+∞)(π‘Ž + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)
35 ffnov 7532 . . 3 ( + :((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))⟢(0[,]+∞) ↔ ( + Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘ ∈ (0[,]+∞)(π‘Ž + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)))
3628, 34, 35mpbir2an 710 . 2 + :((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))⟢(0[,]+∞)
37 iitopon 24387 . 2 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
38 letopon 22701 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
39 resttopon 22657 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
4038, 18, 39mp2an 691 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
412, 40eqeltri 2830 . 2 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
4226oveqi 7419 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘’) + (πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’)( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))(πΉβ€˜π‘£))
431xrge0iifcnv 32902 . . . . . . . 8 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (expβ€˜-𝑦))))
4443simpli 485 . . . . . . 7 𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞)
45 f1of 6831 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞)
4746ffvelcdmi 7083 . . . . 5 (𝑒 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞))
4846ffvelcdmi 7083 . . . . 5 (𝑣 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ (0[,]+∞))
49 ovres 7570 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))(πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
5047, 48, 49syl2an 597 . . . 4 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))(πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
5142, 50eqtrid 2785 . . 3 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) + (πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
521, 2xrge0iifhom 32906 . . 3 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑣)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
5312eqcomd 2739 . . . 4 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣))
5453fveq2d 6893 . . 3 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑣)) = (πΉβ€˜(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣)))
5551, 52, 543eqtr2rd 2780 . 2 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣)) = ((πΉβ€˜π‘’) + (πΉβ€˜π‘£)))
56 eqid 2733 . . . 4 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))
5756iistmd 32871 . . 3 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ TopMnd
58 cnfldex 20940 . . . . . 6 β„‚fld ∈ V
59 ovex 7439 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
60 eqid 2733 . . . . . . 7 (β„‚fld β†Ύs (0[,]1)) = (β„‚fld β†Ύs (0[,]1))
61 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
6260, 61mgpress 19997 . . . . . 6 ((β„‚fld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = (mulGrpβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1))))
6358, 59, 62mp2an 691 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = (mulGrpβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1)))
6460dfii4 24392 . . . . 5 II = (TopOpenβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1)))
6563, 64mgptopn 19994 . . . 4 II = (TopOpenβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
66 cnfldbas 20941 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
6761, 66mgpbas 19988 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
68 cnfldmul 20943 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6961, 68mgpplusg 19986 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
707, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚)
7167, 56, 69, 70, 4ressplusf 32115 . . . . 5 (+π‘“β€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))) = ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
7271eqcomi 2742 . . . 4 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = (+π‘“β€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
7365, 72tmdcn 23579 . . 3 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ TopMnd β†’ ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
7457, 73ax-mp 5 . 2 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II)
753, 17, 36, 37, 41, 55, 74mndpluscn 32895 1 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112  +∞cpnf 11242  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246  -cneg 11442   +𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  expce 16002   β†Ύs cress 17170   β†Ύt crest 17363  ordTopcordt 17442  +𝑓cplusf 18555  mulGrpcmgp 19982  β„‚fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720   Γ—t ctx 23056  TopMndctmd 23566  IIcii 24383  logclog 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-ordt 17444  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-ps 18516  df-tsr 18517  df-plusf 18557  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-subrg 20354  df-abv 20418  df-lmod 20466  df-scaf 20467  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-tmd 23568  df-tgp 23569  df-trg 23656  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-nm 24083  df-ngp 24084  df-nrg 24086  df-nlm 24087  df-ii 24385  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057
This theorem is referenced by:  xrge0tmdALT  32915
  Copyright terms: Public domain W3C validator