Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0pluscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0pluscn 32252
Description: The addition operation of the extended nonnegative real numbers monoid is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0pluscn.1 + = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
xrge0pluscn + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0pluscn
Dummy variables 𝑦 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0iifhmeo.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
2 xrge0iifhmeo.k . . 3 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
31, 2xrge0iifhmeo 32248 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
4 unitsscn 13342 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
5 xpss12 5642 . . . . 5 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ))
64, 4, 5mp2an 690 . . . 4 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ)
7 ax-mulf 11061 . . . . 5 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8 ffn 6660 . . . . 5 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
9 fnssresb 6615 . . . . 5 ( · Fn (ℂ × ℂ) → (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . 4 (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ))
116, 10mpbir 230 . . 3 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1))
12 ovres 7509 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
13 iimulcl 24210 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (0[,]1))
1412, 13eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1))
1514rgen2 3192 . . 3 𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑣 ∈ (0[,]1)(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)
16 ffnov 7472 . . 3 (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1) ↔ (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑣 ∈ (0[,]1)(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)))
1711, 15, 16mpbir2an 709 . 2 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1)
18 iccssxr 13272 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
19 xpss12 5642 . . . . . 6 (((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2018, 18, 19mp2an 690 . . . . 5 ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
21 xaddf 13068 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
22 ffn 6660 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
23 fnssresb 6615 . . . . . 6 ( +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*) → (( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2520, 24mpbir 230 . . . 4 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))
26 xrge0pluscn.1 . . . . 5 + = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2726fneq1i 6591 . . . 4 ( + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2825, 27mpbir 230 . . 3 + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))
2926oveqi 7359 . . . . 5 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏)
30 ovres 7509 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏) = (𝑎 +𝑒 𝑏))
31 ge0xaddcl 13304 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3230, 31eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3329, 32eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3433rgen2 3192 . . 3 𝑎 ∈ (0[,]+∞)∀𝑏 ∈ (0[,]+∞)(𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)
35 ffnov 7472 . . 3 ( + :((0[,]+∞) × (0[,]+∞))⟶(0[,]+∞) ↔ ( + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,]+∞)∀𝑏 ∈ (0[,]+∞)(𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)))
3628, 34, 35mpbir2an 709 . 2 + :((0[,]+∞) × (0[,]+∞))⟶(0[,]+∞)
37 iitopon 24152 . 2 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
38 letopon 22466 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
39 resttopon 22422 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
4038, 18, 39mp2an 690 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
412, 40eqeltri 2834 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
4226oveqi 7359 . . . 4 ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣))
431xrge0iifcnv 32245 . . . . . . . 8 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
4443simpli 485 . . . . . . 7 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
45 f1of 6776 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
4746ffvelcdmi 7025 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑢) ∈ (0[,]+∞))
4846ffvelcdmi 7025 . . . . 5 (𝑣 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑣) ∈ (0[,]+∞))
49 ovres 7509 . . . . 5 (((𝐹𝑢) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5047, 48, 49syl2an 597 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5142, 50eqtrid 2789 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
521, 2xrge0iifhom 32249 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5312eqcomd 2743 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣))
5453fveq2d 6838 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑣)) = (𝐹‘(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣)))
5551, 52, 543eqtr2rd 2784 . 2 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣)) = ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)))
56 eqid 2737 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
5756iistmd 32214 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
58 cnfldex 20710 . . . . . 6 fld ∈ V
59 ovex 7379 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
60 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
61 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
6260, 61mgpress 19834 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
6358, 59, 62mp2an 690 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
6460dfii4 24157 . . . . 5 II = (TopOpen‘(ℂflds (0[,]1)))
6563, 64mgptopn 19831 . . . 4 II = (TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
66 cnfldbas 20711 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
6761, 66mgpbas 19825 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
68 cnfldmul 20713 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
6961, 68mgpplusg 19823 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
707, 8ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℂ)
7167, 56, 69, 70, 4ressplusf 31586 . . . . 5 (+𝑓‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))) = ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
7271eqcomi 2746 . . . 4 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (+𝑓‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
7365, 72tmdcn 23344 . . 3 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
7457, 73ax-mp 5 . 2 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ ((II ×t II) Cn II)
753, 17, 36, 37, 41, 55, 74mndpluscn 32238 1 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3443  wss 3905  ifcif 4481  cmpt 5183   × cxp 5625  ccnv 5626  cres 5629   Fn wfn 6483  wf 6484  1-1-ontowf1o 6487  cfv 6488  (class class class)co 7346  cc 10979  0cc0 10981  1c1 10982   · cmul 10986  +∞cpnf 11116  *cxr 11118  cle 11120  -cneg 11316   +𝑒 cxad 12956  [,]cicc 13192  expce 15875  s cress 17043  t crest 17233  ordTopcordt 17312  +𝑓cplusf 18425  mulGrpcmgp 19819  fldccnfld 20707  TopOnctopon 22169   Cn ccn 22485   ×t ctx 22821  TopMndctmd 23331  IIcii 24148  logclog 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059  ax-addf 11060  ax-mulf 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7604  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-supp 8057  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-2o 8377  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-ixp 8766  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-fsupp 9236  df-fi 9277  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-q 12799  df-rp 12841  df-xneg 12958  df-xadd 12959  df-xmul 12960  df-ioo 13193  df-ioc 13194  df-ico 13195  df-icc 13196  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-fac 14098  df-bc 14127  df-hash 14155  df-shft 14882  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-limsup 15284  df-clim 15301  df-rlim 15302  df-sum 15502  df-ef 15881  df-sin 15883  df-cos 15884  df-pi 15886  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-starv 17079  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-ip 17082  df-tset 17083  df-ple 17084  df-ds 17086  df-unif 17087  df-hom 17088  df-cco 17089  df-rest 17235  df-topn 17236  df-0g 17254  df-gsum 17255  df-topgen 17256  df-pt 17257  df-prds 17260  df-ordt 17314  df-xrs 17315  df-qtop 17320  df-imas 17321  df-xps 17323  df-mre 17397  df-mrc 17398  df-acs 17400  df-ps 18386  df-tsr 18387  df-plusf 18427  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-mulg 18802  df-subg 18853  df-cntz 19024  df-cmn 19488  df-abl 19489  df-mgp 19820  df-ur 19837  df-ring 19884  df-cring 19885  df-subrg 20131  df-abv 20187  df-lmod 20235  df-scaf 20236  df-sra 20544  df-rgmod 20545  df-psmet 20699  df-xmet 20700  df-met 20701  df-bl 20702  df-mopn 20703  df-fbas 20704  df-fg 20705  df-cnfld 20708  df-top 22153  df-topon 22170  df-topsp 22192  df-bases 22206  df-cld 22280  df-ntr 22281  df-cls 22282  df-nei 22359  df-lp 22397  df-perf 22398  df-cn 22488  df-cnp 22489  df-haus 22576  df-tx 22823  df-hmeo 23016  df-fil 23107  df-fm 23199  df-flim 23200  df-flf 23201  df-tmd 23333  df-tgp 23334  df-trg 23421  df-xms 23583  df-ms 23584  df-tms 23585  df-nm 23848  df-ngp 23849  df-nrg 23851  df-nlm 23852  df-ii 24150  df-cncf 24151  df-limc 25140  df-dv 25141  df-log 25822
This theorem is referenced by:  xrge0tmdALT  32258
  Copyright terms: Public domain W3C validator