Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0pluscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0pluscn 30824
Description: The addition operation of the extended nonnegative real numbers monoid is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0pluscn.1 + = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
xrge0pluscn + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0pluscn
Dummy variables 𝑦 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0iifhmeo.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
2 xrge0iifhmeo.k . . 3 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
31, 2xrge0iifhmeo 30820 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
4 unitsscn 30780 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
5 xpss12 5422 . . . . 5 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ))
64, 4, 5mp2an 679 . . . 4 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ)
7 ax-mulf 10415 . . . . 5 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8 ffn 6344 . . . . 5 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
9 fnssresb 6302 . . . . 5 ( · Fn (ℂ × ℂ) → (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . 4 (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ))
116, 10mpbir 223 . . 3 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1))
12 ovres 7130 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
13 iimulcl 23244 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (0[,]1))
1412, 13eqeltrd 2867 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1))
1514rgen2a 3177 . . 3 𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑣 ∈ (0[,]1)(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)
16 ffnov 7094 . . 3 (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1) ↔ (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑣 ∈ (0[,]1)(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)))
1711, 15, 16mpbir2an 698 . 2 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1)
18 iccssxr 12635 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
19 xpss12 5422 . . . . . 6 (((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2018, 18, 19mp2an 679 . . . . 5 ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
21 xaddf 12434 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
22 ffn 6344 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
23 fnssresb 6302 . . . . . 6 ( +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*) → (( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2520, 24mpbir 223 . . . 4 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))
26 xrge0pluscn.1 . . . . 5 + = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2726fneq1i 6283 . . . 4 ( + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2825, 27mpbir 223 . . 3 + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))
2926oveqi 6989 . . . . 5 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏)
30 ovres 7130 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏) = (𝑎 +𝑒 𝑏))
31 ge0xaddcl 12666 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3230, 31eqeltrd 2867 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3329, 32syl5eqel 2871 . . . 4 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3433rgen2a 3177 . . 3 𝑎 ∈ (0[,]+∞)∀𝑏 ∈ (0[,]+∞)(𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)
35 ffnov 7094 . . 3 ( + :((0[,]+∞) × (0[,]+∞))⟶(0[,]+∞) ↔ ( + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,]+∞)∀𝑏 ∈ (0[,]+∞)(𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)))
3628, 34, 35mpbir2an 698 . 2 + :((0[,]+∞) × (0[,]+∞))⟶(0[,]+∞)
37 iitopon 23190 . 2 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
38 letopon 21517 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
39 resttopon 21473 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
4038, 18, 39mp2an 679 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
412, 40eqeltri 2863 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
4226oveqi 6989 . . . 4 ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣))
431xrge0iifcnv 30817 . . . . . . . 8 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
4443simpli 476 . . . . . . 7 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
45 f1of 6444 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
4746ffvelrni 6675 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑢) ∈ (0[,]+∞))
4846ffvelrni 6675 . . . . 5 (𝑣 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑣) ∈ (0[,]+∞))
49 ovres 7130 . . . . 5 (((𝐹𝑢) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5047, 48, 49syl2an 586 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5142, 50syl5eq 2827 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
521, 2xrge0iifhom 30821 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5312eqcomd 2785 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣))
5453fveq2d 6503 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑣)) = (𝐹‘(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣)))
5551, 52, 543eqtr2rd 2822 . 2 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣)) = ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)))
56 eqid 2779 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
5756iistmd 30786 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
58 cnfldex 20250 . . . . . 6 fld ∈ V
59 ovex 7008 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
60 eqid 2779 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
61 eqid 2779 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
6260, 61mgpress 18973 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
6358, 59, 62mp2an 679 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
6460dfii4 23195 . . . . 5 II = (TopOpen‘(ℂflds (0[,]1)))
6563, 64mgptopn 18971 . . . 4 II = (TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
66 cnfldbas 20251 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
6761, 66mgpbas 18968 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
68 cnfldmul 20253 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
6961, 68mgpplusg 18966 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
707, 8ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℂ)
7167, 56, 69, 70, 4ressplusf 30366 . . . . 5 (+𝑓‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))) = ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
7271eqcomi 2788 . . . 4 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (+𝑓‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
7365, 72tmdcn 22395 . . 3 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
7457, 73ax-mp 5 . 2 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ ((II ×t II) Cn II)
753, 17, 36, 37, 41, 55, 74mndpluscn 30810 1 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3089  Vcvv 3416  wss 3830  ifcif 4350  cmpt 5008   × cxp 5405  ccnv 5406  cres 5409   Fn wfn 6183  wf 6184  1-1-ontowf1o 6187  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340  +∞cpnf 10471  *cxr 10473  cle 10475  -cneg 10671   +𝑒 cxad 12322  [,]cicc 12557  expce 15275  s cress 16340  t crest 16550  ordTopcordt 16628  +𝑓cplusf 17707  mulGrpcmgp 18962  fldccnfld 20247  TopOnctopon 21222   Cn ccn 21536   ×t ctx 21872  TopMndctmd 22382  IIcii 23186  logclog 24839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-ordt 16630  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-ps 17668  df-tsr 17669  df-plusf 17709  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-subrg 19256  df-abv 19310  df-lmod 19358  df-scaf 19359  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-tmd 22384  df-tgp 22385  df-trg 22471  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-nm 22895  df-ngp 22896  df-nrg 22898  df-nlm 22899  df-ii 23188  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841
This theorem is referenced by:  xrge0tmdOLD  30829
  Copyright terms: Public domain W3C validator