Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0pluscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0pluscn 31305
 Description: The addition operation of the extended nonnegative real numbers monoid is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0pluscn.1 + = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
xrge0pluscn + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0pluscn
Dummy variables 𝑦 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0iifhmeo.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
2 xrge0iifhmeo.k . . 3 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
31, 2xrge0iifhmeo 31301 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
4 unitsscn 12880 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
5 xpss12 5534 . . . . 5 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ))
64, 4, 5mp2an 691 . . . 4 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ)
7 ax-mulf 10608 . . . . 5 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8 ffn 6487 . . . . 5 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
9 fnssresb 6441 . . . . 5 ( · Fn (ℂ × ℂ) → (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . 4 (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℂ × ℂ))
116, 10mpbir 234 . . 3 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1))
12 ovres 7295 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
13 iimulcl 23549 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (0[,]1))
1412, 13eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1))
1514rgen2 3168 . . 3 𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑣 ∈ (0[,]1)(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)
16 ffnov 7258 . . 3 (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1) ↔ (( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ∧ ∀𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑣 ∈ (0[,]1)(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)))
1711, 15, 16mpbir2an 710 . 2 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1)
18 iccssxr 12810 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
19 xpss12 5534 . . . . . 6 (((0[,]+∞) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2018, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
21 xaddf 12607 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
22 ffn 6487 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*))
23 fnssresb 6441 . . . . . 6 ( +𝑒 Fn (ℝ* × ℝ*) → (( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2520, 24mpbir 234 . . . 4 ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))
26 xrge0pluscn.1 . . . . 5 + = ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2726fneq1i 6420 . . . 4 ( + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ↔ ( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
2825, 27mpbir 234 . . 3 + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))
2926oveqi 7148 . . . . 5 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏)
30 ovres 7295 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏) = (𝑎 +𝑒 𝑏))
31 ge0xaddcl 12842 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3230, 31eqeltrd 2890 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3329, 32eqeltrid 2894 . . . 4 ((𝑎 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3433rgen2 3168 . . 3 𝑎 ∈ (0[,]+∞)∀𝑏 ∈ (0[,]+∞)(𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)
35 ffnov 7258 . . 3 ( + :((0[,]+∞) × (0[,]+∞))⟶(0[,]+∞) ↔ ( + Fn ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)) ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,]+∞)∀𝑏 ∈ (0[,]+∞)(𝑎 + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)))
3628, 34, 35mpbir2an 710 . 2 + :((0[,]+∞) × (0[,]+∞))⟶(0[,]+∞)
37 iitopon 23491 . 2 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
38 letopon 21817 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
39 resttopon 21773 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
4038, 18, 39mp2an 691 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
412, 40eqeltri 2886 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
4226oveqi 7148 . . . 4 ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣))
431xrge0iifcnv 31298 . . . . . . . 8 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
4443simpli 487 . . . . . . 7 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
45 f1of 6590 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
4746ffvelrni 6827 . . . . 5 (𝑢 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑢) ∈ (0[,]+∞))
4846ffvelrni 6827 . . . . 5 (𝑣 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑣) ∈ (0[,]+∞))
49 ovres 7295 . . . . 5 (((𝐹𝑢) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝐹𝑣) ∈ (0[,]+∞)) → ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5047, 48, 49syl2an 598 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑢)( +𝑒 ↾ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5142, 50syl5eq 2845 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
521, 2xrge0iifhom 31302 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑣)) = ((𝐹𝑢) +𝑒 (𝐹𝑣)))
5312eqcomd 2804 . . . 4 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣))
5453fveq2d 6649 . . 3 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢 · 𝑣)) = (𝐹‘(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣)))
5551, 52, 543eqtr2rd 2840 . 2 ((𝑢 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑢( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))𝑣)) = ((𝐹𝑢) + (𝐹𝑣)))
56 eqid 2798 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
5756iistmd 31267 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
58 cnfldex 20097 . . . . . 6 fld ∈ V
59 ovex 7168 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
60 eqid 2798 . . . . . . 7 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
61 eqid 2798 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
6260, 61mgpress 19246 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
6358, 59, 62mp2an 691 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
6460dfii4 23496 . . . . 5 II = (TopOpen‘(ℂflds (0[,]1)))
6563, 64mgptopn 19244 . . . 4 II = (TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
66 cnfldbas 20098 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
6761, 66mgpbas 19241 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
68 cnfldmul 20100 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
6961, 68mgpplusg 19239 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
707, 8ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℂ)
7167, 56, 69, 70, 4ressplusf 30670 . . . . 5 (+𝑓‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))) = ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
7271eqcomi 2807 . . . 4 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (+𝑓‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
7365, 72tmdcn 22695 . . 3 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
7457, 73ax-mp 5 . 2 ( · ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ ((II ×t II) Cn II)
753, 17, 36, 37, 41, 55, 74mndpluscn 31291 1 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  0cc0 10528  1c1 10529   · cmul 10533  +∞cpnf 10663  ℝ*cxr 10665   ≤ cle 10667  -cneg 10862   +𝑒 cxad 12495  [,]cicc 12731  expce 15409   ↾s cress 16478   ↾t crest 16688  ordTopcordt 16766  +𝑓cplusf 17843  mulGrpcmgp 19235  ℂfldccnfld 20094  TopOnctopon 21522   Cn ccn 21836   ×t ctx 22172  TopMndctmd 22682  IIcii 23487  logclog 25153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-ordt 16768  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-ps 17804  df-tsr 17805  df-plusf 17845  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-scaf 19633  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-tmd 22684  df-tgp 22685  df-trg 22772  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nrg 23199  df-nlm 23200  df-ii 23489  df-cncf 23490  df-limc 24476  df-dv 24477  df-log 25155 This theorem is referenced by:  xrge0tmdALT  31311
 Copyright terms: Public domain W3C validator