Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0pluscn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrge0pluscn 33218
Description: The addition operation of the extended nonnegative real numbers monoid is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
xrge0pluscn.1 + = ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
xrge0pluscn + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   + (π‘₯)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem xrge0pluscn
Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑣 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0iifhmeo.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ if(π‘₯ = 0, +∞, -(logβ€˜π‘₯)))
2 xrge0iifhmeo.k . . 3 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
31, 2xrge0iifhmeo 33214 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
4 unitsscn 13481 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† β„‚
5 xpss12 5690 . . . . 5 (((0[,]1) βŠ† β„‚ ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
64, 4, 5mp2an 688 . . . 4 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
7 ax-mulf 11192 . . . . 5 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
8 ffn 6716 . . . . 5 ( Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚))
9 fnssresb 6671 . . . . 5 ( Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚) β†’ (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)))
107, 8, 9mp2b 10 . . . 4 (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
116, 10mpbir 230 . . 3 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1))
12 ovres 7575 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) = (𝑒 Β· 𝑣))
13 iimulcl 24680 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ (0[,]1))
1412, 13eqeltrd 2831 . . . 4 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1))
1514rgen2 3195 . . 3 βˆ€π‘’ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘£ ∈ (0[,]1)(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)
16 ffnov 7537 . . 3 (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1) ↔ (( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘£ ∈ (0[,]1)(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣) ∈ (0[,]1)))
1711, 15, 16mpbir2an 707 . 2 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1)
18 iccssxr 13411 . . . . . 6 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
19 xpss12 5690 . . . . . 6 (((0[,]+∞) βŠ† ℝ* ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2018, 18, 19mp2an 688 . . . . 5 ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
21 xaddf 13207 . . . . . 6 +𝑒 :(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„*
22 ffn 6716 . . . . . 6 ( +𝑒 :(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„* β†’ +𝑒 Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
23 fnssresb 6671 . . . . . 6 ( +𝑒 Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ↔ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2520, 24mpbir 230 . . . 4 ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))
26 xrge0pluscn.1 . . . . 5 + = ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))
2726fneq1i 6645 . . . 4 ( + Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ↔ ( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))) Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))
2825, 27mpbir 230 . . 3 + Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))
2926oveqi 7424 . . . . 5 (π‘Ž + 𝑏) = (π‘Ž( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))𝑏)
30 ovres 7575 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))𝑏) = (π‘Ž +𝑒 𝑏))
31 ge0xaddcl 13443 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž +𝑒 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3230, 31eqeltrd 2831 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3329, 32eqeltrid 2835 . . . 4 ((π‘Ž ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ (0[,]+∞))
3433rgen2 3195 . . 3 βˆ€π‘Ž ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘ ∈ (0[,]+∞)(π‘Ž + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)
35 ffnov 7537 . . 3 ( + :((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))⟢(0[,]+∞) ↔ ( + Fn ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘ ∈ (0[,]+∞)(π‘Ž + 𝑏) ∈ (0[,]+∞)))
3628, 34, 35mpbir2an 707 . 2 + :((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞))⟢(0[,]+∞)
37 iitopon 24619 . 2 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
38 letopon 22929 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
39 resttopon 22885 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
4038, 18, 39mp2an 688 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
412, 40eqeltri 2827 . 2 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
4226oveqi 7424 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘’) + (πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’)( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))(πΉβ€˜π‘£))
431xrge0iifcnv 33211 . . . . . . . 8 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (expβ€˜-𝑦))))
4443simpli 482 . . . . . . 7 𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞)
45 f1of 6832 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(0[,]+∞) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . 6 𝐹:(0[,]1)⟢(0[,]+∞)
4746ffvelcdmi 7084 . . . . 5 (𝑒 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞))
4846ffvelcdmi 7084 . . . . 5 (𝑣 ∈ (0[,]1) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ (0[,]+∞))
49 ovres 7575 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))(πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
5047, 48, 49syl2an 594 . . . 4 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)( +𝑒 β†Ύ ((0[,]+∞) Γ— (0[,]+∞)))(πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
5142, 50eqtrid 2782 . . 3 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) + (πΉβ€˜π‘£)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
521, 2xrge0iifhom 33215 . . 3 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑣)) = ((πΉβ€˜π‘’) +𝑒 (πΉβ€˜π‘£)))
5312eqcomd 2736 . . . 4 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣))
5453fveq2d 6894 . . 3 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑒 Β· 𝑣)) = (πΉβ€˜(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣)))
5551, 52, 543eqtr2rd 2777 . 2 ((𝑒 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(𝑒( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))𝑣)) = ((πΉβ€˜π‘’) + (πΉβ€˜π‘£)))
56 eqid 2730 . . . 4 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))
5756iistmd 33180 . . 3 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ TopMnd
58 cnfldex 21147 . . . . . 6 β„‚fld ∈ V
59 ovex 7444 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
60 eqid 2730 . . . . . . 7 (β„‚fld β†Ύs (0[,]1)) = (β„‚fld β†Ύs (0[,]1))
61 eqid 2730 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
6260, 61mgpress 20043 . . . . . 6 ((β„‚fld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = (mulGrpβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1))))
6358, 59, 62mp2an 688 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) = (mulGrpβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1)))
6460dfii4 24624 . . . . 5 II = (TopOpenβ€˜(β„‚fld β†Ύs (0[,]1)))
6563, 64mgptopn 20040 . . . 4 II = (TopOpenβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
66 cnfldbas 21148 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
6761, 66mgpbas 20034 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
68 cnfldmul 21150 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6961, 68mgpplusg 20032 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
707, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚)
7167, 56, 69, 70, 4ressplusf 32394 . . . . 5 (+π‘“β€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1))) = ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
7271eqcomi 2739 . . . 4 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = (+π‘“β€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)))
7365, 72tmdcn 23807 . . 3 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (0[,]1)) ∈ TopMnd β†’ ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
7457, 73ax-mp 5 . 2 ( Β· β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II)
753, 17, 36, 37, 41, 55, 74mndpluscn 33204 1 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  -cneg 11449   +𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  expce 16009   β†Ύs cress 17177   β†Ύt crest 17370  ordTopcordt 17449  +𝑓cplusf 18562  mulGrpcmgp 20028  β„‚fldccnfld 21144  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284  TopMndctmd 23794  IIcii 24615  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-ii 24617  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301
This theorem is referenced by:  xrge0tmdALT  33224
  Copyright terms: Public domain W3C validator