MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmulf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmulf1o 25372
Description: If 𝑀 and 𝑁 are two coprime integers, multiplication forms a bijection from the set of pairs 𝑗, 𝑘 where 𝑗𝑀 and 𝑘𝑁, to the set of divisors of 𝑀 · 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
dvdsmulf1o.y 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
dvdsmulf1o (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem dvdsmulf1o
Dummy variables 𝑖 𝑢 𝑗 𝑚 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-mulf 10352 . . . . . . 7 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2 ffn 6291 . . . . . . 7 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℂ)
4 dvdsmulf1o.x . . . . . . . . 9 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
5 ssrab2 3907 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ ℕ
64, 5eqsstri 3853 . . . . . . . 8 𝑋 ⊆ ℕ
7 nnsscn 11379 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3829 . . . . . . 7 𝑋 ⊆ ℂ
9 dvdsmulf1o.y . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
10 ssrab2 3907 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
119, 10eqsstri 3853 . . . . . . . 8 𝑌 ⊆ ℕ
1211, 7sstri 3829 . . . . . . 7 𝑌 ⊆ ℂ
13 xpss12 5370 . . . . . . 7 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
148, 12, 13mp2an 682 . . . . . 6 (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
15 fnssres 6250 . . . . . 6 (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) Fn (𝑋 × 𝑌))
163, 14, 15mp2an 682 . . . . 5 ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) Fn (𝑋 × 𝑌)
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) Fn (𝑋 × 𝑌))
18 ovres 7077 . . . . . . 7 ((𝑖𝑋𝑗𝑌) → (𝑖( · ↾ (𝑋 × 𝑌))𝑗) = (𝑖 · 𝑗))
1918adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖( · ↾ (𝑋 × 𝑌))𝑗) = (𝑖 · 𝑗))
20 breq1 4889 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → (𝑥𝑀𝑖𝑀))
2120, 4elrab2 3575 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝑋 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑀))
2221simplbi 493 . . . . . . . . 9 (𝑖𝑋𝑖 ∈ ℕ)
2322ad2antrl 718 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑖 ∈ ℕ)
24 breq1 4889 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥𝑁𝑗𝑁))
2524, 9elrab2 3575 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑌 ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑗𝑁))
2625simplbi 493 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑌𝑗 ∈ ℕ)
2726ad2antll 719 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2823, 27nnmulcld 11428 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
2925simprbi 492 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑌𝑗𝑁)
3029ad2antll 719 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑗𝑁)
3121simprbi 492 . . . . . . . . 9 (𝑖𝑋𝑖𝑀)
3231ad2antrl 718 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑖𝑀)
3327nnzd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑗 ∈ ℤ)
34 dvdsmulf1o.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3534adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3635nnzd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3723nnzd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑖 ∈ ℤ)
38 dvdscmul 15415 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑗𝑁 → (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑖 · 𝑁)))
3933, 36, 37, 38syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑗𝑁 → (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑖 · 𝑁)))
40 dvdsmulf1o.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4140adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑀 ∈ ℕ)
4241nnzd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43 dvdsmulc 15416 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖𝑀 → (𝑖 · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4437, 42, 36, 43syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖𝑀 → (𝑖 · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4528nnzd 11833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
4637, 36zmulcld 11840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖 · 𝑁) ∈ ℤ)
4742, 36zmulcld 11840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
48 dvdstr 15425 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑖 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑖 · 𝑁) ∧ (𝑖 · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (((𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑖 · 𝑁) ∧ (𝑖 · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5039, 44, 49syl2and 601 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → ((𝑗𝑁𝑖𝑀) → (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5130, 32, 50mp2and 689 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑀 · 𝑁))
52 breq1 4889 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑖 · 𝑗) → (𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
53 dvdsmulf1o.z . . . . . . . 8 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
5452, 53elrab2 3575 . . . . . . 7 ((𝑖 · 𝑗) ∈ 𝑍 ↔ ((𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝑖 · 𝑗) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5528, 51, 54sylanbrc 578 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ 𝑍)
5619, 55eqeltrd 2858 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → (𝑖( · ↾ (𝑋 × 𝑌))𝑗) ∈ 𝑍)
5756ralrimivva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝑋𝑗𝑌 (𝑖( · ↾ (𝑋 × 𝑌))𝑗) ∈ 𝑍)
58 ffnov 7041 . . . 4 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ↔ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) Fn (𝑋 × 𝑌) ∧ ∀𝑖𝑋𝑗𝑌 (𝑖( · ↾ (𝑋 × 𝑌))𝑗) ∈ 𝑍))
5917, 57, 58sylanbrc 578 . . 3 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍)
6023adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ∈ ℕ)
6160nnnn0d 11702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
62 simprll 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚𝑋)
63 breq1 4889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥𝑀𝑚𝑀))
6463, 4elrab2 3575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑋 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑀))
6564simplbi 493 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑋𝑚 ∈ ℕ)
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6766nnnn0d 11702 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
6860nnzd 11833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ∈ ℤ)
6927adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑗 ∈ ℕ)
7069nnzd 11833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑗 ∈ ℤ)
71 dvdsmul1 15410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑖 ∥ (𝑖 · 𝑗))
7268, 70, 71syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ∥ (𝑖 · 𝑗))
73 simprr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))
748, 62sseldi 3818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℂ)
75 simprlr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑛𝑌)
76 breq1 4889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝑁𝑛𝑁))
7776, 9elrab2 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑌 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑁))
7877simplbi 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑌𝑛 ∈ ℕ)
7975, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8079nncnd 11392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
8174, 80mulcomd 10398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑛 · 𝑚))
8273, 81eqtrd 2813 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑛 · 𝑚))
8372, 82breqtrd 4912 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ∥ (𝑛 · 𝑚))
8479nnzd 11833 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℤ)
8536adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 gcdcom 15641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑖))
8768, 85, 86syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑖))
8842adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8934nnzd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9040nnzd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
91 gcdcom 15641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
9289, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = (𝑀 gcd 𝑁))
93 dvdsmulf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
9492, 93eqtrd 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
9594ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
9632adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖𝑀)
97 rpdvds 15779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ∧ 𝑖𝑀)) → (𝑁 gcd 𝑖) = 1)
9885, 68, 88, 95, 96, 97syl32anc 1446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑁 gcd 𝑖) = 1)
9987, 98eqtrd 2813 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 gcd 𝑁) = 1)
10077simprbi 492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑌𝑛𝑁)
10175, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑛𝑁)
102 rpdvds 15779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑖 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑛𝑁)) → (𝑖 gcd 𝑛) = 1)
10368, 84, 85, 99, 101, 102syl32anc 1446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 gcd 𝑛) = 1)
10466nnzd 11833 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℤ)
105 coprmdvds 15772 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑖 ∥ (𝑛 · 𝑚) ∧ (𝑖 gcd 𝑛) = 1) → 𝑖𝑚))
10668, 84, 104, 105syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → ((𝑖 ∥ (𝑛 · 𝑚) ∧ (𝑖 gcd 𝑛) = 1) → 𝑖𝑚))
10783, 103, 106mp2and 689 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖𝑚)
108 dvdsmul1 15410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∥ (𝑚 · 𝑛))
109104, 84, 108syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚 ∥ (𝑚 · 𝑛))
11060nncnd 11392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ∈ ℂ)
11169nncnd 11392 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑗 ∈ ℂ)
112110, 111mulcomd 10398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑖))
11373, 112eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑗 · 𝑖))
114109, 113breqtrd 4912 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚 ∥ (𝑗 · 𝑖))
115 gcdcom 15641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑚 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑚))
116104, 85, 115syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑚 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑚))
11764simprbi 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚𝑋𝑚𝑀)
11862, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚𝑀)
119 rpdvds 15779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd 𝑀) = 1 ∧ 𝑚𝑀)) → (𝑁 gcd 𝑚) = 1)
12085, 104, 88, 95, 118, 119syl32anc 1446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑁 gcd 𝑚) = 1)
121116, 120eqtrd 2813 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑚 gcd 𝑁) = 1)
12230adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑗𝑁)
123 rpdvds 15779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑗𝑁)) → (𝑚 gcd 𝑗) = 1)
124104, 70, 85, 121, 122, 123syl32anc 1446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑚 gcd 𝑗) = 1)
125 coprmdvds 15772 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑚 ∥ (𝑗 · 𝑖) ∧ (𝑚 gcd 𝑗) = 1) → 𝑚𝑖))
126104, 70, 68, 125syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → ((𝑚 ∥ (𝑗 · 𝑖) ∧ (𝑚 gcd 𝑗) = 1) → 𝑚𝑖))
127114, 124, 126mp2and 689 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑚𝑖)
128 dvdseq 15443 . . . . . . . . 9 (((𝑖 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑚𝑚𝑖)) → 𝑖 = 𝑚)
12961, 67, 107, 127, 128syl22anc 829 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 = 𝑚)
13060nnne0d 11425 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑖 ≠ 0)
131129oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 · 𝑛) = (𝑚 · 𝑛))
13273, 131eqtr4d 2816 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑖 · 𝑛))
133111, 80, 110, 130, 132mulcanad 11010 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → 𝑗 = 𝑛)
134129, 133opeq12d 4644 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ ((𝑚𝑋𝑛𝑌) ∧ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛))) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩)
135134expr 450 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) ∧ (𝑚𝑋𝑛𝑌)) → ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
136135ralrimivva 3152 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑋𝑗𝑌)) → ∀𝑚𝑋𝑛𝑌 ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
137136ralrimivva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝑋𝑗𝑌𝑚𝑋𝑛𝑌 ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
138 fvres 6465 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = ( · ‘𝑢))
139 fvres 6465 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) = ( · ‘𝑣))
140138, 139eqeqan12d 2793 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → ((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) ↔ ( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣)))
141140imbi1d 333 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ (( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
142141ralbidva 3166 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)(( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
143142ralbiia 3160 . . . . 5 (∀𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)(( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
144 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = ⟨𝑚, 𝑛⟩ → ( · ‘𝑣) = ( · ‘⟨𝑚, 𝑛⟩))
145 df-ov 6925 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 · 𝑛) = ( · ‘⟨𝑚, 𝑛⟩)
146144, 145syl6eqr 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = ⟨𝑚, 𝑛⟩ → ( · ‘𝑣) = (𝑚 · 𝑛))
147146eqeq2d 2787 . . . . . . . . 9 (𝑣 = ⟨𝑚, 𝑛⟩ → (( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) ↔ ( · ‘𝑢) = (𝑚 · 𝑛)))
148 eqeq2 2788 . . . . . . . . 9 (𝑣 = ⟨𝑚, 𝑛⟩ → (𝑢 = 𝑣𝑢 = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
149147, 148imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑣 = ⟨𝑚, 𝑛⟩ → ((( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ (( · ‘𝑢) = (𝑚 · 𝑛) → 𝑢 = ⟨𝑚, 𝑛⟩)))
150149ralxp 5509 . . . . . . 7 (∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)(( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑚𝑋𝑛𝑌 (( · ‘𝑢) = (𝑚 · 𝑛) → 𝑢 = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
151 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ( · ‘𝑢) = ( · ‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
152 df-ov 6925 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 · 𝑗) = ( · ‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
153151, 152syl6eqr 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ( · ‘𝑢) = (𝑖 · 𝑗))
154153eqeq1d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (( · ‘𝑢) = (𝑚 · 𝑛) ↔ (𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛)))
155 eqeq1 2781 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑢 = ⟨𝑚, 𝑛⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
156154, 155imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ((( · ‘𝑢) = (𝑚 · 𝑛) → 𝑢 = ⟨𝑚, 𝑛⟩) ↔ ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩)))
1571562ralbidv 3170 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (∀𝑚𝑋𝑛𝑌 (( · ‘𝑢) = (𝑚 · 𝑛) → 𝑢 = ⟨𝑚, 𝑛⟩) ↔ ∀𝑚𝑋𝑛𝑌 ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩)))
158150, 157syl5bb 275 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)(( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑚𝑋𝑛𝑌 ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩)))
159158ralxp 5509 . . . . 5 (∀𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)(( · ‘𝑢) = ( · ‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑖𝑋𝑗𝑌𝑚𝑋𝑛𝑌 ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
160143, 159bitri 267 . . . 4 (∀𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑖𝑋𝑗𝑌𝑚𝑋𝑛𝑌 ((𝑖 · 𝑗) = (𝑚 · 𝑛) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ = ⟨𝑚, 𝑛⟩))
161137, 160sylibr 226 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
162 dff13 6784 . . 3 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1𝑍 ↔ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑋 × 𝑌)((( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
16359, 161, 162sylanbrc 578 . 2 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1𝑍)
164 breq1 4889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑤 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
165164, 53elrab2 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑍 ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
166165simplbi 493 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑍𝑤 ∈ ℕ)
167166adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 ∈ ℕ)
168167nnzd 11833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 ∈ ℤ)
16940adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑀 ∈ ℕ)
170169nnzd 11833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
171169nnne0d 11425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑀 ≠ 0)
172 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
173172necon3ai 2993 . . . . . . . . 9 (𝑀 ≠ 0 → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
174171, 173syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
175 gcdn0cl 15630 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → (𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℕ)
176168, 170, 174, 175syl21anc 828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℕ)
177 gcddvds 15631 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
178168, 170, 177syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
179178simprd 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
180 breq1 4889 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑤 gcd 𝑀) → (𝑥𝑀 ↔ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
181180, 4elrab2 3575 . . . . . . 7 ((𝑤 gcd 𝑀) ∈ 𝑋 ↔ ((𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
182176, 179, 181sylanbrc 578 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd 𝑀) ∈ 𝑋)
18334adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑁 ∈ ℕ)
184183nnzd 11833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
185183nnne0d 11425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑁 ≠ 0)
186 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
187186necon3ai 2993 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
188185, 187syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
189 gcdn0cl 15630 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
190168, 184, 188, 189syl21anc 828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
191 gcddvds 15631 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
192168, 184, 191syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → ((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
193192simprd 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
194 breq1 4889 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑤 gcd 𝑁) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
195194, 9elrab2 3575 . . . . . . 7 ((𝑤 gcd 𝑁) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
196190, 193, 195sylanbrc 578 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd 𝑁) ∈ 𝑌)
197 opelxpi 5392 . . . . . 6 (((𝑤 gcd 𝑀) ∈ 𝑋 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∈ 𝑌) → ⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
198182, 196, 197syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑍) → ⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
199 fvres 6465 . . . . . . 7 (⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩) = ( · ‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩))
200198, 199syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑍) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩) = ( · ‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩))
20193adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
202 rpmulgcd2 15775 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑤 gcd 𝑀) · (𝑤 gcd 𝑁)))
203168, 170, 184, 201, 202syl31anc 1441 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑤 gcd 𝑀) · (𝑤 gcd 𝑁)))
204 df-ov 6925 . . . . . . 7 ((𝑤 gcd 𝑀) · (𝑤 gcd 𝑁)) = ( · ‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩)
205203, 204syl6eq 2829 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ( · ‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩))
206165simprbi 492 . . . . . . . 8 (𝑤𝑍𝑤 ∥ (𝑀 · 𝑁))
207206adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 ∥ (𝑀 · 𝑁))
20840, 34nnmulcld 11428 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
209 gcdeq 15678 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑤𝑤 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
210166, 208, 209syl2anr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑍) → ((𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑤𝑤 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
211207, 210mpbird 249 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑍) → (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑤)
212200, 205, 2113eqtr2rd 2820 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩))
213 fveq2 6446 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩ → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢) = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩))
214213rspceeqv 3528 . . . . 5 ((⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ∧ 𝑤 = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘⟨(𝑤 gcd 𝑀), (𝑤 gcd 𝑁)⟩)) → ∃𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝑤 = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢))
215198, 212, 214syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑍) → ∃𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝑤 = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢))
216215ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝑍𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝑤 = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢))
217 dffo3 6638 . . 3 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍 ↔ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑤𝑍𝑢 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝑤 = (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑢)))
21859, 216, 217sylanbrc 578 . 2 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍)
219 df-f1o 6142 . 2 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍 ↔ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1𝑍 ∧ ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍))
220163, 218, 219sylanbrc 578 1 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  wss 3791  cop 4403   class class class wbr 4886   × cxp 5353  cres 5357   Fn wfn 6130  wf 6131  1-1wf1 6132  ontowfo 6133  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  cn 11374  0cn0 11642  cz 11728  cdvds 15387   gcd cgcd 15622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623
This theorem is referenced by:  fsumdvdsmul  25373
  Copyright terms: Public domain W3C validator