MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matecl 21482
Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matecl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
matecl ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matecl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 21469 . . 3 (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
433ad2ant3 1133 . 2 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5 matecl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
61, 5matbas2 21478 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
76eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
87eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁))))
95fvexi 6770 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
11 sqxpexg 7583 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
12 elmapg 8586 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
1310, 11, 12syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
14 ffnov 7379 . . . . . . . 8 (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 ↔ (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
15 oveq1 7262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝑗))
1615eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
17 oveq2 7263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
1817eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
1916, 18rspc2v 3562 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
2314, 22syl5bi 241 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
2413, 23sylbid 239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
258, 24sylbid 239 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
2625com13 88 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
2726ex 412 . . 3 (𝐼𝑁 → (𝐽𝑁 → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))))
28273imp1 1345 . 2 (((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
294, 28mpdan 683 1 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2108  wral 3063  Vcvv 3422   × cxp 5578   Fn wfn 6413  wf 6414  cfv 6418  (class class class)co 7255  m cmap 8573  Fincfn 8691  Basecbs 16840   Mat cmat 21464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465
This theorem is referenced by:  matecld  21483  matinvgcell  21492  matepmcl  21519  matepm2cl  21520  dmatmul  21554  marrepcl  21621  marepvcl  21626  mulmarep1el  21629  mulmarep1gsum1  21630  submabas  21635  m1detdiag  21654  mdetdiag  21656  m2detleib  21688  marep01ma  21717  smadiadetlem4  21726  mat2pmatbas  21783  decpmatmul  21829  pm2mpghm  21873  chpscmat  21899  chpscmatgsumbin  21901  chpscmatgsummon  21902  mdetlap1  31678
  Copyright terms: Public domain W3C validator