Theorem matecl 22369

Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matecl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matecl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matecl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22356	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		matecl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	matbas2 22365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
7	6	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8	7	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁))))
9	5	fvexi 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
11		sqxpexg 7700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
12		elmapg 8776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
13	10, 11, 12	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
14		ffnov 7484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 ↔ (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
15		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝑗))
16	15	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
17		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝐼𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
18	17	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
19	16, 18	rspc2v 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
20	19	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
23	14, 22	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
24	13, 23	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
25	8, 24	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
26	25	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝐽 ∈ 𝑁 → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))))
28	27	3imp1 1348	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
29	4, 28	mpdan 687	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   × cxp 5622   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17136   Mat cmat 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mat 22352

This theorem is referenced by:  matecld  22370  matinvgcell  22379  matepmcl  22406  matepm2cl  22407  dmatmul  22441  marrepcl  22508  marepvcl  22513  mulmarep1el  22516  mulmarep1gsum1  22517  submabas  22522  m1detdiag  22541  mdetdiag  22543  m2detleib  22575  marep01ma  22604  smadiadetlem4  22613  mat2pmatbas  22670  decpmatmul  22716  pm2mpghm  22760  chpscmat  22786  chpscmatgsumbin  22788  chpscmatgsummon  22789  mdetlap1  33983