Theorem matecl 22653

Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matecl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matecl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matecl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22640	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		matecl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	matbas2 22649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
7	6	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8	7	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁))))
9	5	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
11		sqxpexg 7758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
12		elmapg 8842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
13	10, 11, 12	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
14		ffnov 7543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 ↔ (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
15		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝑗))
16	15	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
17		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝐼𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
18	17	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
19	16, 18	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
20	19	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
23	14, 22	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
24	13, 23	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
25	8, 24	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
26	25	com13 89	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
27	26	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝐽 ∈ 𝑁 → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))))
28	27	3imp1 1366	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
29	4, 28	mpdan 700	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   × cxp 5657   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  Basecbs 17307   Mat cmat 22635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mat 22636

This theorem is used by:  matecld  22654  matinvgcell  22663  matepmcl  22690  matepm2cl  22691  dmatmul  22725  marrepcl  22792  marepvcl  22797  mulmarep1el  22800  mulmarep1gsum1  22801  submabas  22806  m1detdiag  22825  mdetdiag  22827  m2detleib  22859  marep01ma  22888  smadiadetlem4  22897  mat2pmatbas  22957  decpmatmul  23003  pm2mpghm  23047  chpscmat  23073  chpscmatgsumbin  23075  chpscmatgsummon  23076  mdetlap1  34344