Theorem matecl 22746

Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matecl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matecl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matecl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem matecl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matecl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22733	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		matecl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	matbas2 22742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
7	6	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
8	7	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁))))
9	5	fvexi 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐾 ∈ V)
11		sqxpexg 7770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
12		elmapg 8863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
13	10, 11, 12	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
14		ffnov 7547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 ↔ (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
15		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝑗))
16	15	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾))
17		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝐼𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
18	17	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼𝑀𝑗) ∈ 𝐾 ↔ (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
19	16, 18	rspc2v 3586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
20	19	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾 → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ 𝐾) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
23	14, 22	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾 → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
24	13, 23	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
25	8, 24	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
26	25	com13 89	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)))
27	26	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → (𝐽 ∈ 𝑁 → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾))))
28	27	3imp1 1366	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)
29	4, 28	mpdan 700	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   × cxp 5648   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8977  Basecbs 17393   Mat cmat 22728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-prds 17624  df-pws 17626  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059  df-mat 22729

This theorem is used by:  matecld  22747  matinvgcell  22756  matepmcl  22783  matepm2cl  22784  dmatmul  22818  marrepcl  22885  marepvcl  22890  mulmarep1el  22893  mulmarep1gsum1  22894  submabas  22899  m1detdiag  22918  mdetdiag  22920  m2detleib  22952  marep01ma  22981  smadiadetlem4  22990  mat2pmatbas  23050  decpmatmul  23096  pm2mpghm  23140  chpscmat  23166  chpscmatgsumbin  23168  chpscmatgsummon  23169  mdetlap1  34505