Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopnfi 42922
Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopnfi.1 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrxtopnfi (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘

Proof of Theorem rrxtopnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxtopnfi.1 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
21rrxtopn 42919 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
3 eqid 2801 . . . . 5 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
4 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
51, 3, 4rrxbasefi 24018 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
65adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7 simpl 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝜑)
8 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
109, 6eleqtrd 2895 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
118, 10syldan 594 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
12 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
13 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
145adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1513, 14eleqtrd 2895 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1612, 15syldan 594 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1817adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1918ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
20 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2120adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11061 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
2423resqcld 13611 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) ∈ ℝ)
25 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
2624, 25fmptd 6859 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
27263adant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
2813ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
29 0red 10637 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 0 ∈ ℝ)
3027, 28, 29fidmfisupp 41821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) finSupp 0)
31 regsumsupp 20315 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
3227, 30, 28, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
33 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
3517, 34fssd 6506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
36353ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
3736ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
3920, 38fssd 6506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
40393ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
4140ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
4237, 41subcld 10990 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℂ)
4342sqcld 13508 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) ∈ ℂ)
4443, 25fmptd 6859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℂ)
4528, 44fsumsupp0 42213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
46 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
47 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑘))
48 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑘))
4947, 48oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)))
5049oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5150adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
52 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
53 ovexd 7174 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ V)
5446, 51, 52, 53fvmptd 6756 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5554sumeq2dv 15056 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → Σ𝑘𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5632, 45, 553eqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5756fveq2d 6653 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
587, 11, 16, 57syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
595, 6, 58mpoeq123dva 7211 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
6059fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
612, 60eqtrd 2836 1 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  wss 3884   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141   supp csupp 7817  m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  cmin 10863  2c2 11684  cexp 13429  csqrt 14588  Σcsu 15038  Basecbs 16479  TopOpenctopn 16691   Σg cgsu 16710  MetOpencmopn 20085  fldcrefld 20297  ℝ^crrx 23991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-field 19502  df-subrg 19530  df-staf 19613  df-srng 19614  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-refld 20298  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-nm 23193  df-tng 23195  df-tcph 23778  df-rrx 23993
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  42932  ioorrnopnlem  42939
  Copyright terms: Public domain W3C validator