Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopnfi 45301
Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopnfi.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrxtopnfi (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘˜

Proof of Theorem rrxtopnfi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxtopnfi.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
21rrxtopn 45298 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))))
3 eqid 2730 . . . . 5 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
4 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
51, 3, 4rrxbasefi 25158 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
65adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7 simpl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ πœ‘)
8 simprl 767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
9 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
109, 6eleqtrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
118, 10syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
12 simprr 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
145adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1513, 14eleqtrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1612, 15syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1918ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
20 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14094 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) ∈ ℝ)
25 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))
2624, 25fmptd 7114 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„)
27263adant1 1128 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„)
2813ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
29 0red 11221 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3027, 28, 29fidmfisupp 9373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) finSupp 0)
31 regsumsupp 21394 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
3227, 30, 28, 31syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
33 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† β„‚
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3517, 34fssd 6734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„‚)
36353ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3920, 38fssd 6734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„‚)
40393ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„‚)
4140ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4237, 41subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4342sqcld 14113 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) ∈ β„‚)
4443, 25fmptd 7114 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„‚)
4528, 44fsumsupp0 44592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
46 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))
47 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘˜))
48 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘˜))
4947, 48oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)))
5049oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5150adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ = π‘˜) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
52 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
53 ovexd 7446 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) ∈ V)
5446, 51, 52, 53fvmptd 7004 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5554sumeq2dv 15653 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5632, 45, 553eqtrd 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5756fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
587, 11, 16, 57syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
595, 6, 58mpoeq123dva 7485 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
6059fveq2d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
612, 60eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β†‘cexp 14031  βˆšcsqrt 15184  Ξ£csu 15636  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17371   Ξ£g cgsu 17390  MetOpencmopn 21134  β„fldcrefld 21376  β„^crrx 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-nm 24311  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  45311  ioorrnopnlem  45318
  Copyright terms: Public domain W3C validator