Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopnfi 45462
Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopnfi.1 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrxtopnfi (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘

Proof of Theorem rrxtopnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxtopnfi.1 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
21rrxtopn 45459 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
3 eqid 2731 . . . . 5 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
4 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
51, 3, 4rrxbasefi 25258 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝜑)
8 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
109, 6eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
118, 10syldan 590 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
12 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
145adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1513, 14eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1612, 15syldan 590 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17 elmapi 8849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1918ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
20 elmapi 8849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11649 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14097 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) ∈ ℝ)
25 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
2624, 25fmptd 7115 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
27263adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
2813ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
29 0red 11224 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 0 ∈ ℝ)
3027, 28, 29fidmfisupp 9377 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) finSupp 0)
31 regsumsupp 21485 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
3227, 30, 28, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
33 ax-resscn 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
3517, 34fssd 6735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
36353ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
3736ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
3920, 38fssd 6735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
40393ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
4140ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
4237, 41subcld 11578 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℂ)
4342sqcld 14116 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) ∈ ℂ)
4443, 25fmptd 7115 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℂ)
4528, 44fsumsupp0 44753 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
46 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑘))
48 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑘))
4947, 48oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)))
5049oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5150adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
52 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
53 ovexd 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ V)
5446, 51, 52, 53fvmptd 7005 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5554sumeq2dv 15656 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → Σ𝑘𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5632, 45, 553eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5756fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
587, 11, 16, 57syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
595, 6, 58mpoeq123dva 7486 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
6059fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
612, 60eqtrd 2771 1 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414   supp csupp 8151  m cmap 8826  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  cmin 11451  2c2 12274  cexp 14034  csqrt 15187  Σcsu 15639  Basecbs 17151  TopOpenctopn 17374   Σg cgsu 17393  MetOpencmopn 21223  fldcrefld 21467  ℝ^crrx 25231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-refld 21468  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-nm 24411  df-tng 24413  df-tcph 25017  df-rrx 25233
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  45472  ioorrnopnlem  45479
  Copyright terms: Public domain W3C validator