Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopnfi 45302
Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopnfi.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrxtopnfi (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘˜

Proof of Theorem rrxtopnfi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxtopnfi.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
21rrxtopn 45299 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))))
3 eqid 2731 . . . . 5 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
4 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
51, 3, 4rrxbasefi 25159 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
65adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ πœ‘)
8 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
109, 6eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
118, 10syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
12 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
145adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1513, 14eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1612, 15syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17 elmapi 8847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1918ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
20 elmapi 8847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11647 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14095 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) ∈ ℝ)
25 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))
2624, 25fmptd 7115 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„)
27263adant1 1129 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„)
2813ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
29 0red 11222 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3027, 28, 29fidmfisupp 9375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) finSupp 0)
31 regsumsupp 21395 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
3227, 30, 28, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
33 ax-resscn 11171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† β„‚
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3517, 34fssd 6735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„‚)
36353ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3920, 38fssd 6735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„‚)
40393ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„‚)
4140ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4237, 41subcld 11576 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4342sqcld 14114 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) ∈ β„‚)
4443, 25fmptd 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„‚)
4528, 44fsumsupp0 44593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
46 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘˜))
48 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘˜))
4947, 48oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)))
5049oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5150adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ = π‘˜) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
52 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
53 ovexd 7447 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) ∈ V)
5446, 51, 52, 53fvmptd 7005 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5554sumeq2dv 15654 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5632, 45, 553eqtrd 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5756fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
587, 11, 16, 57syl3anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
595, 6, 58mpoeq123dva 7486 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
6059fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
612, 60eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   supp csupp 8150   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   βˆ’ cmin 11449  2c2 12272  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15185  Ξ£csu 15637  Basecbs 17149  TopOpenctopn 17372   Ξ£g cgsu 17391  MetOpencmopn 21135  β„fldcrefld 21377  β„^crrx 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-nm 24312  df-tng 24314  df-tcph 24918  df-rrx 25134
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  45312  ioorrnopnlem  45319
  Copyright terms: Public domain W3C validator