Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopnfi 45598
Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopnfi.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrxtopnfi (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘˜

Proof of Theorem rrxtopnfi
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxtopnfi.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
21rrxtopn 45595 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))))
3 eqid 2727 . . . . 5 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
4 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
51, 3, 4rrxbasefi 25325 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
65adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7 simpl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ πœ‘)
8 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
109, 6eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
118, 10syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
12 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
145adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1513, 14eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1612, 15syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1918ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
20 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 11664 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2423resqcld 14113 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) ∈ ℝ)
25 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))
2624, 25fmptd 7118 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„)
27263adant1 1128 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„)
2813ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
29 0red 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3027, 28, 29fidmfisupp 9388 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) finSupp 0)
31 regsumsupp 21541 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
3227, 30, 28, 31syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
33 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† β„‚
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3517, 34fssd 6734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„‚)
36353ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3920, 38fssd 6734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„‚)
40393ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„‚)
4140ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4237, 41subcld 11593 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4342sqcld 14132 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) ∈ β„‚)
4443, 25fmptd 7118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)):πΌβŸΆβ„‚)
4528, 44fsumsupp0 44889 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) supp 0)((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜))
46 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘˜))
48 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘˜))
4947, 48oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜)))
5049oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5150adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ = π‘˜) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
52 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
53 ovexd 7449 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2) ∈ V)
5446, 51, 52, 53fvmptd 7006 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5554sumeq2dv 15673 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5632, 45, 553eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))
5756fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
587, 11, 16, 57syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
595, 6, 58mpoeq123dva 7488 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
6059fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
612, 60eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (MetOpenβ€˜(𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130   βˆ’ cmin 11466  2c2 12289  β†‘cexp 14050  βˆšcsqrt 15204  Ξ£csu 15656  Basecbs 17171  TopOpenctopn 17394   Ξ£g cgsu 17413  MetOpencmopn 21256  β„fldcrefld 21523  β„^crrx 25298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-refld 21524  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-nm 24478  df-tng 24480  df-tcph 25084  df-rrx 25300
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  45608  ioorrnopnlem  45615
  Copyright terms: Public domain W3C validator