Theorem rrxtopnfi 42028

Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxtopnfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rrxtopnfi	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘

Proof of Theorem rrxtopnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxtopnfi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	rrxtopn 42025	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))))
3		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
4		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
5	1, 3, 4	rrxbasefi 23728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
6	5	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
7		simpl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝜑)
8		simprl 758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
10	9, 6	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
11	8, 10	syldan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
12		simprr 760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
13		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14	5	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
15	13, 14	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
16	12, 15	syldan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
17		elmapi 8226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
18	17	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
19	18	ffvelrnda 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
20		elmapi 8226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
21	20	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
22	21	ffvelrnda 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℝ)
23	19, 22	resubcld 10867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	23	resqcld 13424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
25		eqid 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))
26	24, 25	fmptd 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
27	26	3adant1 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
28	1	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
29		0red 10441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 0 ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	fidmfisupp 40913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) finSupp 0)
31		regsumsupp 20480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))‘𝑘))
32	27, 30, 28, 31	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))‘𝑘))
33		ax-resscn 10390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
35	17, 34	fssd 6355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
36	35	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
37	36	ffvelrnda 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
39	20, 38	fssd 6355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
40	39	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
41	40	ffvelrnda 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) ∈ ℂ)
42	37, 41	subcld 10796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	42	sqcld 13321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
44	43, 25	fmptd 6699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)):𝐼⟶ℂ)
45	28, 44	fsumsupp0 41315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))‘𝑘))
46		eqidd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))
47		fveq2 6496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑘))
48		fveq2 6496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑘))
49	47, 48	oveq12d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘)))
50	49	oveq1d 6989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2) = (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
51	50	adantl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2) = (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
52		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
53		ovexd 7008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2) ∈ V)
54	46, 51, 52, 53	fvmptd 6599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
55	54	sumeq2dv 14918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
56	32, 45, 55	3eqtrd 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))
57	56	fveq2d 6500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))
58	7, 11, 16, 57	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))
59	5, 6, 58	mpoeq123dva 7044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
60	59	fveq2d 6500	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑓‘𝑥) − (𝑔‘𝑥))↑2)))))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))
61	2, 60	eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3409   ⊆ wss 3823   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ∈ cmpo 6976   supp csupp 7631   ↑_𝑚 cmap 8204  Fincfn 8304   finSupp cfsupp 8626  ℂcc 10331  ℝcr 10332  0cc0 10333   − cmin 10668  2c2 11493  ↑cexp 13242  √csqrt 14451  Σcsu 14901  Basecbs 16337  TopOpenctopn 16549   Σ_g cgsu 16568  MetOpencmopn 20249  ℝ_fldcrefld 20462  ℝ^crrx 23701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-sum 14902  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-prds 16575  df-pws 16577  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-rnghom 19202  df-drng 19239  df-field 19240  df-subrg 19268  df-staf 19350  df-srng 19351  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-psmet 20251  df-xmet 20252  df-bl 20254  df-mopn 20255  df-cnfld 20260  df-refld 20463  df-dsmm 20590  df-frlm 20605  df-top 21218  df-topon 21235  df-bases 21270  df-nm 22907  df-tng 22909  df-tcph 23488  df-rrx 23703

This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  42038  ioorrnopnlem  42045