| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | iscmet3.5 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom
(⇝𝑡‘𝐽)) |
| 2 | | eldmg 5909 |
. . . 4
⊢ (𝐹 ∈ dom
(⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹 ∈ dom
(⇝𝑡‘𝐽) ↔ ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)) |
| 3 | 2 | ibi 267 |
. . 3
⊢ (𝐹 ∈ dom
(⇝𝑡‘𝐽) → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) |
| 4 | 1, 3 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) |
| 5 | | iscmet3.4 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) |
| 6 | | metxmet 24344 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 8 | | iscmet3.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷) |
| 9 | 8 | mopntopon 24449 |
. . . . . 6
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
| 10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
| 11 | | lmcl 23305 |
. . . . 5
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
| 12 | 10, 11 | sylan 580 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
| 13 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 14 | 8 | mopni2 24506 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦) |
| 15 | 14 | 3expia 1122 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) |
| 16 | 13, 15 | sylan 580 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) |
| 17 | | iscmet3.7 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) |
| 18 | 17 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) |
| 19 | | iscmet3.3 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 20 | 19 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈
ℤ) |
| 21 | | rphalfcl 13062 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) |
| 22 | 21 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) |
| 23 | | iscmet3.1 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) |
| 24 | 23 | iscmet3lem3 25324 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2)) |
| 25 | 20, 22, 24 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2)) |
| 26 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 27 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
| 28 | | blcntr 24423 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) →
𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) |
| 29 | 26, 27, 22, 28 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) |
| 30 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) |
| 31 | 22 | rpxrd 13078 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈
ℝ*) |
| 32 | 8 | blopn 24513 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) →
(𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽) |
| 33 | 26, 27, 31, 32 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽) |
| 34 | 23, 29, 20, 30, 33 | lmcvg 23270 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) |
| 35 | 23 | rexanuz2 15388 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑗 ∈
𝑍 ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 36 | 23 | r19.2uz 15390 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∃𝑗 ∈
𝑍 ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 37 | 17 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) |
| 38 | | iscmet3.8 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑆:ℤ⟶𝐺) |
| 39 | 38 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑆:ℤ⟶𝐺) |
| 40 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 41 | 40, 23 | eleq2s 2859 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 42 | 41 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 43 | | ffvelcdm 7101 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑆:ℤ⟶𝐺 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺) |
| 44 | 39, 42, 43 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺) |
| 45 | | rpxr 13044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ*) |
| 46 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈
ℝ*) |
| 47 | | blssm 24428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋) |
| 48 | 26, 27, 46, 47 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋) |
| 49 | 48 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋) |
| 50 | 41 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 51 | | 1rp 13038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
| 52 | | rphalfcl 13062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (1 ∈
ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+) |
| 53 | 51, 52 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (1 / 2)
∈ ℝ+ |
| 54 | | rpexpcl 14121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((1 / 2)
∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈
ℝ+) |
| 55 | 53, 54 | mpan 690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 /
2)↑𝑘) ∈
ℝ+) |
| 56 | 50, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈
ℝ+) |
| 57 | 56 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) |
| 58 | 22 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈
ℝ+) |
| 59 | 58 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ) |
| 60 | | ltle 11349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((1 /
2)↑𝑘) ∈ ℝ
∧ (𝑟 / 2) ∈
ℝ) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2))) |
| 61 | 57, 59, 60 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2))) |
| 62 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘)) |
| 63 | 62 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))) |
| 64 | | iscmet3.10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛)) |
| 65 | 64 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛)) |
| 66 | | eluzfz2 13572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘)) |
| 67 | 66, 23 | eleq2s 2859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘)) |
| 68 | 67 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘)) |
| 69 | 63, 65, 68 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)) |
| 70 | 69 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)) |
| 71 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) |
| 72 | | iscmet3.9 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) |
| 73 | 72 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) |
| 74 | 41 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 75 | | rsp 3247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(∀𝑘 ∈
ℤ ∀𝑢 ∈
(𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))) |
| 76 | 73, 74, 75 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) |
| 77 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣)) |
| 78 | 77 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))) |
| 79 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦)) |
| 80 | 79 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑣 = 𝑦 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))) |
| 81 | 78, 80 | rspc2va 3634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)) |
| 82 | 70, 71, 76, 81 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)) |
| 83 | 7 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 84 | 41, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈
ℝ+) |
| 85 | 84 | rpxrd 13078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈
ℝ*) |
| 86 | 85 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈
ℝ*) |
| 87 | | iscmet3.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋) |
| 88 | 87 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) |
| 89 | 88 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) |
| 90 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) |
| 91 | 38, 41, 43 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺) |
| 92 | | filelss 23860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑋) |
| 93 | 90, 91, 92 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑋) |
| 94 | 93 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
| 95 | | elbl2 24400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))) |
| 96 | 83, 86, 89, 94, 95 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))) |
| 97 | 82, 96 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))) |
| 98 | 97 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))) |
| 99 | 98 | ssrdv 3989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))) |
| 100 | 99 | ad4ant14 752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))) |
| 101 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
| 102 | 87 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋) |
| 103 | 102 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) |
| 104 | 56 | rpxrd 13078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈
ℝ*) |
| 105 | 31 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈
ℝ*) |
| 106 | | ssbl 24433 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈
ℝ*) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) |
| 107 | 106 | 3expia 1122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈
ℝ*)) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 108 | 101, 103,
104, 105, 107 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 109 | | sstr 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) |
| 110 | 100, 108,
109 | syl6an 684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 111 | 61, 110 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 112 | 111 | adantrd 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 113 | 112 | impr 454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) |
| 114 | 27 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
| 115 | | blcom 24404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧
(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 116 | 101, 105,
114, 103, 115 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) |
| 117 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ) |
| 118 | 117 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ) |
| 119 | | blhalf 24415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) |
| 120 | 119 | expr 456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) |
| 121 | 101, 103,
118, 120 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) |
| 122 | 116, 121 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) |
| 123 | 122 | adantld 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) |
| 124 | 123 | impr 454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) |
| 125 | 113, 124 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) |
| 126 | | filss 23861 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺) |
| 127 | 37, 44, 49, 125, 126 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺) |
| 128 | 127 | rexlimdvaa 3156 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∃𝑘 ∈ 𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)) |
| 129 | 36, 128 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)) |
| 130 | 35, 129 | biimtrrid 243 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
((∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)) |
| 131 | 25, 34, 130 | mp2and 699 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺) |
| 132 | 131 | ad2ant2r 747 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺) |
| 133 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
| 134 | | toponss 22933 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝑋) |
| 135 | 133, 134 | sylan 580 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝑋) |
| 136 | 135 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋) |
| 137 | | simprr 773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦) |
| 138 | | filss 23861 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐺) |
| 139 | 18, 132, 136, 137, 138 | syl13anc 1374 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐺) |
| 140 | 139 | rexlimdvaa 3156 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺)) |
| 141 | 16, 140 | syld 47 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺)) |
| 142 | 141 | ralrimiva 3146 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺)) |
| 143 | | flimopn 23983 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺)))) |
| 144 | 10, 17, 143 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺)))) |
| 145 | 144 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺)))) |
| 146 | 12, 142, 145 | mpbir2and 713 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺)) |
| 147 | 146 | ne0d 4342 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅) |
| 148 | 4, 147 | exlimddv 1935 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅) |