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Theorem iscmet3lem2 25339
Description: Lemma for iscmet3 25340. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
iscmet3.9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
iscmet3.7 (𝜑𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
iscmet3.8 (𝜑𝑆:ℤ⟶𝐺)
iscmet3.5 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables 𝑗 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2 eldmg 5911 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
32ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
5 iscmet3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6 metxmet 24359 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 iscmet3.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
98mopntopon 24464 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11 lmcl 23320 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
1210, 11sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
137adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
148mopni2 24521 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑥𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
15143expia 1120 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
1613, 15sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
1817ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 rphalfcl 13059 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
2423iscmet3lem3 25337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
2520, 22, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
2613adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2712adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑋)
28 blcntr 24438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
2926, 27, 22, 28syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
30 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
3122rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
328blopn 24528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
3326, 27, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 23285 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
3523rexanuz2 15384 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
3623r19.2uz 15386 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ∃𝑘𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
3717ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆:ℤ⟶𝐺)
3938ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
40 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140, 23eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
4241ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆:ℤ⟶𝐺𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
4439, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
45 rpxr 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
47 blssm 24443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4826, 27, 46, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
5041adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
51 1rp 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
52 rphalfcl 13059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ+
54 rpexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5553, 54mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
5822adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5958rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
60 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
62 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
6362eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
64 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
6564r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
66 eluzfz2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6766, 23eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6963, 65, 68rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦 ∈ (𝑆𝑘))
72 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
7372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
7441ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
75 rsp 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
77 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = (𝐹𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑣))
7877breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = (𝐹𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
79 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑦 → ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑦))
8079breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑦 → (((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
8178, 80rspc2va 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
8270, 71, 76, 81syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
837ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8441, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
8584rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
8685ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
87 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
8887ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
9017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
9138, 41, 43syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
92 filelss 23875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝐺) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑋)
9390, 91, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑋)
9493sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦𝑋)
95 elbl2 24415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9683, 86, 89, 94, 95syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9782, 96mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
9897ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑆𝑘) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))))
9998ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10099ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10126adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10287ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍𝑋)
103102ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
10456rpxrd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
10531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
106 ssbl 24448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
1071063expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
108101, 103, 104, 105, 107syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
109 sstr 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ∧ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
110100, 108, 109syl6an 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
11161, 110syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
112111adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
113112impr 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
11427adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥𝑋)
115 blcom 24419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
116101, 105, 114, 103, 115syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
117 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
118117ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
119 blhalf 24430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
120119expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
121101, 103, 118, 120syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
122116, 121sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
123122adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
124123impr 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
125113, 124sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
126 filss 23876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑆𝑘) ∈ 𝐺 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
12737, 44, 49, 125, 126syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
128127rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
12936, 128syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13035, 129biimtrrid 243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13125, 34, 130mp2and 699 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
132131ad2ant2r 747 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
13310adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
134 toponss 22948 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
135133, 134sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
136135adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝑋)
137 simprr 773 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
138 filss 23876 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺𝑦𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐺)
13918, 132, 136, 137, 138syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐺)
140139rexlimdvaa 3153 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦𝑦𝐺))
14116, 140syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐺))
142141ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))
143 flimopn 23998 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
14410, 17, 143syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
145144adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
14612, 142, 145mpbir2and 713 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
147146ne0d 4347 . 2 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
1484, 147exlimddv 1932 1 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  cexp 14098  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  ballcbl 21368  MetOpencmopn 21371  TopOnctopon 22931  𝑡clm 23249  Filcfil 23868   fLim cflim 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-fz 13544  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-ntr 23043  df-nei 23121  df-lm 23252  df-fil 23869  df-flim 23962
This theorem is referenced by:  iscmet3  25340
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