Theorem iscmet3lem2 25248

Description: Lemma for iscmet3 25249. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscmet3.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
iscmet3.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
iscmet3.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
iscmet3.8	⊢ (𝜑 → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
iscmet3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem2	⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem2

Dummy variables 𝑗 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
2		eldmg 5847	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
3	2	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
5		iscmet3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6		metxmet 24278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		iscmet3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9	8	mopntopon 24383	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11		lmcl 23241	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
12	10, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	8	mopni2 24437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
15	14	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
16	13, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
17		iscmet3.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
18	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
19		iscmet3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		rphalfcl 12934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
23		iscmet3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
24	23	iscmet3lem3 25246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
25	20, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
26	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋)
28		blcntr 24357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
29	26, 27, 22, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
30		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
31	22	rpxrd 12950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
32	8	blopn 24444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
33	26, 27, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
34	23, 29, 20, 30, 33	lmcvg 23206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
35	23	rexanuz2 15273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
36	23	r19.2uz 15275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
37	17	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
38		iscmet3.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
39	38	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
40		eluzelz 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40, 23	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
42	41	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆:ℤ⟶𝐺 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺)
44	39, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺)
45		rpxr 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
47		blssm 24362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
48	26, 27, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
50	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
51		1rp 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ+
52		rphalfcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
54		rpexpcl 14003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
55	53, 54	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
58	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
60		ltle 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
61	57, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
62		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
63	62	eleq2d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)))
64		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
65	64	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
66		eluzfz2 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
67	66, 23	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
69	63, 65, 68	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
71		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘))
72		iscmet3.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
73	72	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
74	41	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
75		rsp 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
76	73, 74, 75	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
77		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣))
78	77	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
79		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦))
80	79	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
81	78, 80	rspc2va 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
82	70, 71, 76, 81	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
83	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
84	41, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
85	84	rpxrd 12950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
86	85	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
87		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
88	87	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
90	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
91	38, 41, 43	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺)
92		filelss 23796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑋)
93	90, 91, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑋)
94	93	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
95		elbl2 24334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
96	83, 86, 89, 94, 95	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
97	82, 96	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
98	97	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))))
99	98	ssrdv 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
100	99	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
101	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
102	87	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
103	102	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
104	56	rpxrd 12950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
105	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
106		ssbl 24367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
107	106	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
108	101, 103, 104, 105, 107	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
109		sstr 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
110	100, 108, 109	syl6an 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
111	61, 110	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
112	111	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
113	112	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
114	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑋)
115		blcom 24338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
116	101, 105, 114, 103, 115	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
117		rpre 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
118	117	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
119		blhalf 24349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
120	119	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
121	101, 103, 118, 120	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
122	116, 121	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
123	122	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
124	123	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
125	113, 124	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
126		filss 23797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
127	37, 44, 49, 125, 126	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
128	127	rexlimdvaa 3138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
129	36, 128	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
130	35, 129	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
131	25, 34, 130	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
132	131	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
133	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
134		toponss 22871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
135	133, 134	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
136	135	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
137		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
138		filss 23797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐺)
139	18, 132, 136, 137, 138	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐺)
140	139	rexlimdvaa 3138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))
141	16, 140	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))
142	141	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))
143		flimopn 23919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))))
144	10, 17, 143	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))))
145	144	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))))
146	12, 142, 145	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
147	146	ne0d 4294	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
148	4, 147	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295  ballcbl 21296  MetOpencmopn 21299  TopOnctopon 22854  ⇝_𝑡clm 23170  Filcfil 23789   fLim cflim 23878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-fz 13424  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-ntr 22964  df-nei 23042  df-lm 23173  df-fil 23790  df-flim 23883

This theorem is referenced by:  iscmet3  25249