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Theorem iscmet3lem2 24809
Description: Lemma for iscmet3 24810. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
iscmet3.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
iscmet3.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
iscmet3.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
iscmet3.7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
iscmet3.8 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„€βŸΆπΊ)
iscmet3.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim 𝐺) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣,𝐷   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐹,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑍,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝐺(𝑣,𝑒,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝑀(𝑣,𝑒)   𝑋(𝑣,𝑒)   𝑍(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables 𝑗 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
2 eldmg 5899 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ βˆƒπ‘₯ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯))
32ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)
5 iscmet3.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 metxmet 23840 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 iscmet3.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
98mopntopon 23945 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
107, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
11 lmcl 22801 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
1210, 11sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
137adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
148mopni2 24002 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)
15143expia 1122 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦))
1613, 15sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦))
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2423iscmet3lem3 24807 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2))
2520, 22, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2))
2613adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2712adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
28 blcntr 23919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
2926, 27, 22, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
30 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)
3122rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
328blopn 24009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐽)
3326, 27, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐽)
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 22766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
3523rexanuz2 15296 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
3623r19.2uz 15298 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
3717ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„€βŸΆπΊ)
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ 𝑆:β„€βŸΆπΊ)
40 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140, 23eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
43 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆:β„€βŸΆπΊ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺)
4439, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺)
45 rpxr 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
47 blssm 23924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
4826, 27, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
5041adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
51 1rp 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
52 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ+
54 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5553, 54mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5756rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
5822adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
5958rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
60 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
6157, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
62 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
6362eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)))
64 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
6564r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
66 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
6766, 23eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
6963, 65, 68rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
71 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
72 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
7441ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
75 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
77 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣))
7877breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
79 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦))
8079breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑦 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
8178, 80rspc2va 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
8270, 71, 76, 81syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8441, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
8584rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*)
8685ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*)
87 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
8887ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
9017adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
9138, 41, 43syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺)
92 filelss 23356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑋)
9390, 91, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑋)
9493sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
95 elbl2 23896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9683, 86, 89, 94, 95syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9782, 96mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9897ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜) β†’ 𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜))))
9998ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)))
10099ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)))
10126adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
10287ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
103102ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
10456rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*)
10531adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
106 ssbl 23929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
1071063expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
108101, 103, 104, 105, 107syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
109 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
110100, 108, 109syl6an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
11161, 110syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
112111adantrd 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
113112impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
11427adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
115 blcom 23900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
116101, 105, 114, 103, 115syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
117 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
119 blhalf 23911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
120119expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
121101, 103, 118, 120syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
122116, 121sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
123122adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
124123impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
125113, 124sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
126 filss 23357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 ∧ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
12737, 44, 49, 125, 126syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
128127rexlimdvaa 3157 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺))
12936, 128syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺))
13035, 129biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺))
13125, 34, 130mp2and 698 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
132131ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
13310adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
134 toponss 22429 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
135133, 134sylan 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
136135adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
137 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)
138 filss 23357 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐺)
13918, 132, 136, 137, 138syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐺)
140139rexlimdvaa 3157 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))
14116, 140syld 47 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))
142141ralrimiva 3147 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))
143 flimopn 23479 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))))
14410, 17, 143syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))))
145144adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))))
14612, 142, 145mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
147146ne0d 4336 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐽 fLim 𝐺) β‰  βˆ…)
1484, 147exlimddv 1939 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim 𝐺) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730  Filcfil 23349   fLim cflim 23438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-lm 22733  df-fil 23350  df-flim 23443
This theorem is referenced by:  iscmet3  24810
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