Theorem iscmet3lem2 25277

Description: Lemma for iscmet3 25278. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscmet3.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
iscmet3.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
iscmet3.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
iscmet3.8	⊢ (𝜑 → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
iscmet3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem2	⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem2

Dummy variables 𝑗 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
2		eldmg 5840	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
3	2	ibi 268	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
5		iscmet3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6		metxmet 24317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		iscmet3.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9	8	mopntopon 24422	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11		lmcl 23280	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
12	10, 11	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	8	mopni2 24476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
15	14	3expia 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
16	13, 15	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
17		iscmet3.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
18	17	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
19		iscmet3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		rphalfcl 12962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
23		iscmet3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
24	23	iscmet3lem3 25275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
25	20, 22, 24	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
26	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
27	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝑋)
28		blcntr 24396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
29	26, 27, 22, 28	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
30		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
31	22	rpxrd 12978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
32	8	blopn 24483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
33	26, 27, 31, 32	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
34	23, 29, 20, 30, 33	lmcvg 23245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
35	23	rexanuz2 15303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
36	23	r19.2uz 15305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
37	17	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
38		iscmet3.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
39	38	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
40		eluzelz 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40, 23	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
42	41	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆:ℤ⟶𝐺 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺)
44	39, 42, 43	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺)
45		rpxr 12943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
47		blssm 24401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
48	26, 27, 46, 47	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
50	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
51		1rp 12937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ+
52		rphalfcl 12962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
54		rpexpcl 14033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
55	53, 54	mpan 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
57	56	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
58	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
59	58	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
60		ltle 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
61	57, 59, 60	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
62		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑘))
63	62	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘)))
64		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
65	64	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑛))
66		eluzfz2 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
67	66, 23	eleq2s 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
69	63, 65, 68	rspcdva 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
71		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘))
72		iscmet3.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
73	72	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
74	41	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
75		rsp 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
76	73, 74, 75	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
77		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣))
78	77	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑢 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
79		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦))
80	79	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (((𝐹‘𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
81	78, 80	rspc2va 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆‘𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆‘𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
82	70, 71, 76, 81	syl21anc 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
83	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
84	41, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
85	84	rpxrd 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
86	85	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
87		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
88	87	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
90	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
91	38, 41, 43	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺)
92		filelss 23835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑋)
93	90, 91, 92	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑋)
94	93	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
95		elbl2 24373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
96	83, 86, 89, 94, 95	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
97	82, 96	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘)) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
98	97	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑆‘𝑘) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))))
99	98	ssrdv 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
100	99	ad4ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
101	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
102	87	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
103	102	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
104	56	rpxrd 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
105	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
106		ssbl 24406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
107	106	3expia 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
108	101, 103, 104, 105, 107	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
109		sstr 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ∧ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
110	100, 108, 109	syl6an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
111	61, 110	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
112	111	adantrd 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
113	112	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
114	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝑋)
115		blcom 24377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
116	101, 105, 114, 103, 115	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
117		rpre 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
118	117	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
119		blhalf 24388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
120	119	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
121	101, 103, 118, 120	syl21anc 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
122	116, 121	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
123	122	adantld 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
124	123	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → ((𝐹‘𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
125	113, 124	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
126		filss 23836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑆‘𝑘) ∈ 𝐺 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑆‘𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
127	37, 44, 49, 125, 126	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
128	127	rexlimdvaa 3141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
129	36, 128	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
130	35, 129	biimtrrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
131	25, 34, 130	mp2and 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
132	131	ad2ant2r 753	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
133	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
134		toponss 22910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
135	133, 134	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
136	135	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
137		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
138		filss 23836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐺)
139	18, 132, 136, 137, 138	syl13anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐺)
140	139	rexlimdvaa 3141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))
141	16, 140	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))
142	141	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))
143		flimopn 23958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))))
144	10, 17, 143	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))))
145	144	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐺))))
146	12, 142, 145	mpbir2and 719	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
147	146	ne0d 4270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
148	4, 147	exlimddv 1942	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  ∞Metcxmet 21332  Metcmet 21333  ballcbl 21334  MetOpencmopn 21337  TopOnctopon 22893  ⇝_𝑡clm 23209  Filcfil 23828   fLim cflim 23917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-fz 13453  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-ntr 23003  df-nei 23081  df-lm 23212  df-fil 23829  df-flim 23922

This theorem is referenced by:  iscmet3  25278