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Theorem iscmet3lem2 25040
Description: Lemma for iscmet3 25041. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscmet3.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
iscmet3.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
iscmet3.9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
iscmet3.10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
iscmet3.7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
iscmet3.8 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„€βŸΆπΊ)
iscmet3.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim 𝐺) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣,𝐷   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐹,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑆,π‘˜,𝑛,𝑒,𝑣   π‘˜,𝑍,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝐺(𝑣,𝑒,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑒)   𝑀(𝑣,𝑒)   𝑋(𝑣,𝑒)   𝑍(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables 𝑗 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
2 eldmg 5897 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ βˆƒπ‘₯ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯))
32ibi 266 . . 3 (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)
5 iscmet3.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6 metxmet 24060 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 iscmet3.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
98mopntopon 24165 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
107, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
11 lmcl 23021 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
1210, 11sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
137adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
148mopni2 24222 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)
15143expia 1119 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦))
1613, 15sylan 578 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦))
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
1817ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2019ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 rphalfcl 13005 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2221adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2423iscmet3lem3 25038 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2))
2520, 22, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2))
2613adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2712adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
28 blcntr 24139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
2926, 27, 22, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
30 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯)
3122rpxrd 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
328blopn 24229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐽)
3326, 27, 31, 32syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ∈ 𝐽)
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 22986 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
3523rexanuz2 15300 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
3623r19.2uz 15302 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
3717ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„€βŸΆπΊ)
3938ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ 𝑆:β„€βŸΆπΊ)
40 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140, 23eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4241ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
43 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆:β„€βŸΆπΊ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺)
4439, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺)
45 rpxr 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
47 blssm 24144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
4826, 27, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋)
5041adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
51 1rp 12982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
52 rphalfcl 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ+
54 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5553, 54mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
5756rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
5822adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
5958rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ)
60 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
6157, 59, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2)))
62 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (π‘†β€˜π‘˜))
6362eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜)))
64 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
6564r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...π‘˜)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘›))
66 eluzfz2 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
6766, 23eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘˜))
6963, 65, 68rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
71 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
72 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
7372ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
7441ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
75 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (βˆ€π‘˜ ∈ β„€ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
77 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑒𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣))
7877breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
79 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦))
8079breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑦 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
8178, 80rspc2va 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)βˆ€π‘£ ∈ (π‘†β€˜π‘˜)(𝑒𝐷𝑣) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
8270, 71, 76, 81syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜))
837ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8441, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
8584rpxrd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*)
8685ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*)
87 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
8887ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
9017adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
9138, 41, 43syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺)
92 filelss 23576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑋)
9390, 91, 92syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑋)
9493sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
95 elbl2 24116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9683, 86, 89, 94, 95syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < ((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9782, 96mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ 𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)))
9897ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ∈ (π‘†β€˜π‘˜) β†’ 𝑦 ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜))))
9998ssrdv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)))
10099ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)))
10126adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
10287ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
103102ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
10456rpxrd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ*)
10531adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)
106 ssbl 24149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
1071063expia 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*)) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
108101, 103, 104, 105, 107syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
109 sstr 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)((1 / 2)β†‘π‘˜)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
110100, 108, 109syl6an 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) ≀ (π‘Ÿ / 2) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
11161, 110syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
112111adantrd 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
113112impr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))
11427adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
115 blcom 24120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
116101, 105, 114, 103, 115syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))
117 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
118117ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
119 blhalf 24131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
120119expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
121101, 103, 118, 120syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
122116, 121sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
123122adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
124123impr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
125113, 124sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
126 filss 23577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘†β€˜π‘˜) ∈ 𝐺 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑋 ∧ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
12737, 44, 49, 125, 126syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
128127rexlimdvaa 3154 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 (((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺))
12936, 128syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺))
13035, 129biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((1 / 2)β†‘π‘˜) < (π‘Ÿ / 2) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 2))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺))
13125, 34, 130mp2and 695 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
132131ad2ant2r 743 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺)
13310adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
134 toponss 22649 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
135133, 134sylan 578 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
136135adantr 479 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
137 simprr 769 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)
138 filss 23577 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐺)
13918, 132, 136, 137, 138syl13anc 1370 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐺)
140139rexlimdvaa 3154 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))
14116, 140syld 47 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))
142141ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))
143 flimopn 23699 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))))
14410, 17, 143syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))))
145144adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ 𝐺))))
14612, 142, 145mpbir2and 709 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
147146ne0d 4334 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯) β†’ (𝐽 fLim 𝐺) β‰  βˆ…)
1484, 147exlimddv 1936 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim 𝐺) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131  MetOpencmopn 21134  TopOnctopon 22632  β‡π‘‘clm 22950  Filcfil 23569   fLim cflim 23658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-lm 22953  df-fil 23570  df-flim 23663
This theorem is referenced by:  iscmet3  25041
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