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Theorem iscmet3lem2 24006
 Description: Lemma for iscmet3 24007. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscmet3.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscmet3.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
iscmet3.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
iscmet3.9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
iscmet3.10 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
iscmet3.7 (𝜑𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
iscmet3.8 (𝜑𝑆:ℤ⟶𝐺)
iscmet3.5 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑣,𝐷   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑋,𝑛   𝑘,𝐽,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛,𝑢,𝑣   𝑘,𝑍,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝑀(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables 𝑗 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2 eldmg 5744 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
32ibi 270 . . 3 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
5 iscmet3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6 metxmet 23050 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 iscmet3.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
98mopntopon 23155 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11 lmcl 22011 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
1210, 11sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑋)
137adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
148mopni2 23209 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽𝑥𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
15143expia 1118 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
1613, 15sylan 583 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦))
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 rphalfcl 12470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2221adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
2423iscmet3lem3 24004 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
2520, 22, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2))
2613adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2712adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥𝑋)
28 blcntr 23129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
2926, 27, 22, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
30 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
3122rpxrd 12486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
328blopn 23216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
3326, 27, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ∈ 𝐽)
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 21976 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
3523rexanuz2 14770 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
3623r19.2uz 14772 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ∃𝑘𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
3717ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆:ℤ⟶𝐺)
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑆:ℤ⟶𝐺)
40 eluzelz 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140, 23eleq2s 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → 𝑘 ∈ ℤ)
43 ffvelrn 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆:ℤ⟶𝐺𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
4439, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
45 rpxr 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
4645adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
47 blssm 23134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4826, 27, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋)
5041adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
51 1rp 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
52 rphalfcl 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ+
54 rpexpcl 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 2) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5553, 54mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5756rpred 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
5822adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
5958rpred 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
60 ltle 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
6157, 59, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)))
62 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
6362eleq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛) ↔ (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘)))
64 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
6564r19.21bi 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑛))
66 eluzfz2 12977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6766, 23eleq2s 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6867adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑘))
6963, 65, 68rspcdva 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
7069adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
71 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦 ∈ (𝑆𝑘))
72 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
7441ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
75 rsp 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑘 ∈ ℤ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘))
77 oveq1 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = (𝐹𝑘) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑣))
7877breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = (𝐹𝑘) → ((𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)))
79 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = 𝑦 → ((𝐹𝑘)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑦))
8079breq1d 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = 𝑦 → (((𝐹𝑘)𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
8178, 80rspc2va 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑆𝑘)∀𝑣 ∈ (𝑆𝑘)(𝑢𝐷𝑣) < ((1 / 2)↑𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
8270, 71, 76, 81syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘))
837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8441, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ+)
8584rpxrd 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘𝑍 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
8685ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
87 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
8887ffvelrnda 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
8988adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
9017adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
9138, 41, 43syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ∈ 𝐺)
92 filelss 22566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑆𝑘) ∈ 𝐺) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑋)
9390, 91, 92syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑋)
9493sselda 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦𝑋)
95 elbl2 23106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9683, 86, 89, 94, 95syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < ((1 / 2)↑𝑘)))
9782, 96mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑘)) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
9897ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑦 ∈ (𝑆𝑘) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘))))
9998ssrdv 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10099ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)))
10126adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10287ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍𝑋)
103102ffvelrnda 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
10456rpxrd 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ*)
10531adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)
106 ssbl 23139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
1071063expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*)) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
108101, 103, 104, 105, 107syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
109 sstr 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ∧ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)((1 / 2)↑𝑘)) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
110100, 108, 109syl6an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) ≤ (𝑟 / 2) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
11161, 110syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
112111adantrd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
113112impr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ⊆ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))
11427adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑥𝑋)
115 blcom 23110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
116101, 105, 114, 103, 115syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))
117 rpre 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
119 blhalf 23121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
120119expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
121101, 103, 118, 120syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
122116, 121sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
123122adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → ((((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
124123impr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → ((𝐹𝑘)(ball‘𝐷)(𝑟 / 2)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
125113, 124sstrd 3904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑆𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
126 filss 22567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑆𝑘) ∈ 𝐺 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑆𝑘) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
12737, 44, 49, 125, 126syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
128127rexlimdvaa 3209 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑘𝑍 (((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
12936, 128syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13035, 129syl5bir 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((1 / 2)↑𝑘) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺))
13125, 34, 130mp2and 698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
132131ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺)
13310adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
134 toponss 21641 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
135133, 134sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝑋)
136135adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝑋)
137 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)
138 filss 22567 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐺𝑦𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐺)
13918, 132, 136, 137, 138syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦)) → 𝑦𝐺)
140139rexlimdvaa 3209 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑦𝑦𝐺))
14116, 140syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑥𝑦𝑦𝐺))
142141ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))
143 flimopn 22689 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
14410, 17, 143syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
145144adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∀𝑦𝐽 (𝑥𝑦𝑦𝐺))))
14612, 142, 145mpbir2and 712 . . 3 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝐺))
147146ne0d 4236 . 2 ((𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
1484, 147exlimddv 1936 1 (𝜑 → (𝐽 fLim 𝐺) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  dom cdm 5528  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  1c1 10589  ℝ*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727   / cdiv 11348  2c2 11742  ℤcz 12033  ℤ≥cuz 12295  ℝ+crp 12443  ...cfz 12952  ↑cexp 13492  ∞Metcxmet 20165  Metcmet 20166  ballcbl 20167  MetOpencmopn 20170  TopOnctopon 21624  ⇝𝑡clm 21940  Filcfil 22559   fLim cflim 22648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-topgen 16789  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-top 21608  df-topon 21625  df-bases 21660  df-ntr 21734  df-nei 21812  df-lm 21943  df-fil 22560  df-flim 22653 This theorem is referenced by:  iscmet3  24007
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