Theorem finngch 10411

Description: The exclusion of finite sets from consideration in df-gch 10377 is necessary, because otherwise finite sets larger than a singleton would violate the GCH property. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finngch	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem finngch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin12 10169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
2		fin23 10145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinII → 𝐴 ∈ FinIII)
3		fin34 10146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → 𝐴 ∈ FinIV)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIV)
5		isfin4p1 10071	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
7		canthp1 10410	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
8	6, 7	anim12i 613	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  1_oc1o 8290   ≺ csdm 8732  Fincfn 8733   ⊔ cdju 9656  Fin^IIcfin2 10035  Fin^IVcfin4 10036  Fin^IIIcfin3 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rpss 7576  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-seqom 8279  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-wdom 9324  df-dju 9659  df-card 9697  df-fin2 10042  df-fin4 10043  df-fin3 10044

This theorem is referenced by: (None)