Theorem finngch 10549

Description: The exclusion of finite sets from consideration in df-gch 10515 is necessary, because otherwise finite sets larger than a singleton would violate the GCH property. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finngch	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem finngch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin12 10307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
2		fin23 10283	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinII → 𝐴 ∈ FinIII)
3		fin34 10284	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → 𝐴 ∈ FinIV)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIV)
5		isfin4p1 10209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
7		canthp1 10548	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
8	6, 7	anim12i 613	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092  1_oc1o 8381   ≺ csdm 8871  Fincfn 8872   ⊔ cdju 9794  Fin^IIcfin2 10173  Fin^IVcfin4 10174  Fin^IIIcfin3 10175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-seqom 8370  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-oi 9402  df-wdom 9457  df-dju 9797  df-card 9835  df-fin2 10180  df-fin4 10181  df-fin3 10182

This theorem is referenced by: (None)