Theorem finngch 10667

Description: The exclusion of finite sets from consideration in df-gch 10633 is necessary, because otherwise finite sets larger than a singleton would violate the GCH property. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finngch	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem finngch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin12 10418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
2		fin23 10394	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinII → 𝐴 ∈ FinIII)
3		fin34 10395	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → 𝐴 ∈ FinIV)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIV)
5		isfin4p1 10320	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
7		canthp1 10666	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
8	6, 7	anim12i 625	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107  1_oc1o 8451   ≺ csdm 8954  Fincfn 8955   ⊔ cdju 9906  Fin^IIcfin2 10284  Fin^IVcfin4 10285  Fin^IIIcfin3 10286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7727  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-seqom 8440  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9485  df-wdom 9540  df-dju 9909  df-card 9947  df-fin2 10291  df-fin4 10292  df-fin3 10293

This theorem is used by: (None)