Theorem finngch 10646

Description: The exclusion of finite sets from consideration in df-gch 10612 is necessary, because otherwise finite sets larger than a singleton would violate the GCH property. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finngch	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem finngch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin12 10403	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
2		fin23 10379	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinII → 𝐴 ∈ FinIII)
3		fin34 10380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → 𝐴 ∈ FinIV)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIV)
5		isfin4p1 10305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
7		canthp1 10645	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
8	6, 7	anim12i 624	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108  1_oc1o 8444   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941   ⊔ cdju 9891  Fin^IIcfin2 10269  Fin^IVcfin4 10270  Fin^IIIcfin3 10271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-seqom 8433  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9470  df-wdom 9525  df-dju 9894  df-card 9932  df-fin2 10276  df-fin4 10277  df-fin3 10278

This theorem is used by: (None)