Theorem finngch 10546

Description: The exclusion of finite sets from consideration in df-gch 10512 is necessary, because otherwise finite sets larger than a singleton would violate the GCH property. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finngch	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem finngch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin12 10304	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinII)
2		fin23 10280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinII → 𝐴 ∈ FinIII)
3		fin34 10281	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIII → 𝐴 ∈ FinIV)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinIV)
5		isfin4p1 10206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
7		canthp1 10545	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
8	6, 7	anim12i 613	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 1o ≺ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089  1_oc1o 8378   ≺ csdm 8868  Fincfn 8869   ⊔ cdju 9791  Fin^IIcfin2 10170  Fin^IVcfin4 10171  Fin^IIIcfin3 10172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-seqom 8367  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-wdom 9451  df-dju 9794  df-card 9832  df-fin2 10177  df-fin4 10178  df-fin3 10179

This theorem is referenced by: (None)