MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2 10350
Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4567 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
2 fin1ai 10228 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin))
3 fin12 10348 . . . . . 6 ((𝐴𝑏) ∈ Fin → (𝐴𝑏) ∈ FinII)
43orim2i 909 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
52, 4syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
61, 5sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
76ralrimiva 3143 . 2 (𝐴 ∈ FinIa → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
8 fin1a2s 10349 . 2 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
97, 8mpdan 685 1 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  wcel 2106  wral 3064  cdif 3907  wss 3910  𝒫 cpw 4560  Fincfn 8882  FinIacfin1a 10213  FinIIcfin2 10214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-rpss 7659  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-seqom 8393  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-wdom 9500  df-card 9874  df-fin1a 10220  df-fin2 10221  df-fin4 10222  df-fin3 10223
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator