MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2 9523
Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4357 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
2 fin1ai 9401 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin))
3 fin12 9521 . . . . . 6 ((𝐴𝑏) ∈ Fin → (𝐴𝑏) ∈ FinII)
43orim2i 935 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
52, 4syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
61, 5sylan2 587 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
76ralrimiva 3145 . 2 (𝐴 ∈ FinIa → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
8 fin1a2s 9522 . 2 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
97, 8mpdan 679 1 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874  wcel 2157  wral 3087  cdif 3764  wss 3767  𝒫 cpw 4347  Fincfn 8193  FinIacfin1a 9386  FinIIcfin2 9387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-rpss 7169  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-seqom 7780  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-omul 7802  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-wdom 8704  df-card 9049  df-fin1a 9393  df-fin2 9394  df-fin4 9395  df-fin3 9396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator