Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2 9836
 Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4547 . . . 4 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
2 fin1ai 9714 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin))
3 fin12 9834 . . . . . 6 ((𝐴𝑏) ∈ Fin → (𝐴𝑏) ∈ FinII)
43orim2i 907 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ Fin) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
52, 4syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
61, 5sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIa𝑏 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
76ralrimiva 3182 . 2 (𝐴 ∈ FinIa → ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII))
8 fin1a2s 9835 . 2 ((𝐴 ∈ FinIa ∧ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐴(𝑏 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑏) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
97, 8mpdan 685 1 (𝐴 ∈ FinIa𝐴 ∈ FinII)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538  Fincfn 8508  FinIacfin1a 9699  FinIIcfin2 9700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-rpss 7448  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-seqom 8083  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-wdom 9022  df-card 9367  df-fin1a 9706  df-fin2 9707  df-fin4 9708  df-fin3 9709 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator