Theorem fin1a2s 10419

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4567	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		fin12 10418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3		fin23 10394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ FinII → 𝑥 ∈ FinIII)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5		fin23 10394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)
6	4, 5	orim12i 922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
7	6	ralimi 3101	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
8		fin1a2lem8 10412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
9	7, 8	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12		simprrr 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → [⊊] Or 𝑐)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → [⊊] Or 𝑐)
14		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
15		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16		ssralv 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
18		idd 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19		fin1a2lem13 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
20	19	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
21	20	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
22	21	adantlrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐)) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
23	22	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
24	23	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
25	24	ancom2s 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
26	25	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
27	26	con4d 116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → 𝑥 ∈ Fin))
28	18, 27	jaod 873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
29	28	ralimdva 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
30	17, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
31	30	impr 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32		dfss3 3923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
33	31, 32	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34		simprrl 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36		fin1a2lem12 10416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
38	37	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
39	38	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
40	39	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
41	10, 40	mt4d 118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
42	41	exp32 426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
43	1, 42	syl5 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
44	43	ralrimiv 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐))
45		isfin2 10299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
46	45	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
47	44, 46	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   Or wor 5566   [⊊] crpss 7726  Fincfn 8955  Fin^IIcfin2 10284  Fin^IIIcfin3 10286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rpss 7727  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-seqom 8440  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wdom 9540  df-card 9947  df-fin2 10291  df-fin4 10292  df-fin3 10293

This theorem is used by:  fin1a2  10420