Theorem fin1a2s 10429

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4605	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		fin12 10428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3		fin23 10404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ FinII → 𝑥 ∈ FinIII)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5		fin23 10404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)
6	4, 5	orim12i 907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
7	6	ralimi 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
8		fin1a2lem8 10422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
9	7, 8	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → [⊊] Or 𝑐)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → [⊊] Or 𝑐)
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
15		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16		ssralv 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
18		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19		fin1a2lem13 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
21	20	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
22	21	adantlrl 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐)) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
23	22	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
24	23	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
25	24	ancom2s 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
26	25	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
27	26	con4d 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → 𝑥 ∈ Fin))
28	18, 27	jaod 858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
29	28	ralimdva 3162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
30	17, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
31	30	impr 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32		dfss3 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36		fin1a2lem12 10426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
38	37	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
39	38	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
40	39	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
41	10, 40	mt4d 117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
42	41	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
43	1, 42	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
44	43	ralrimiv 3140	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐))
45		isfin2 10309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
46	45	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
47	44, 46	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903   Or wor 5583   [⊊] crpss 7721  Fincfn 8955  Fin^IIcfin2 10294  Fin^IIIcfin3 10296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7722  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-seqom 8462  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wdom 9580  df-card 9954  df-fin2 10301  df-fin4 10302  df-fin3 10303

This theorem is referenced by:  fin1a2  10430