MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2s 10454
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4607 . . . 4 (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2 fin12 10453 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3 fin23 10429 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ FinII𝑥 ∈ FinIII)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5 fin23 10429 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) ∈ FinII → (𝐴𝑥) ∈ FinIII)
64, 5orim12i 909 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII))
76ralimi 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII))
8 fin1a2lem8 10447 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
97, 8sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
109adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11 simplrl 777 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12 simprrr 782 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → [] Or 𝑐)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → [] Or 𝑐)
14 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝑐𝑐)
15 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16 ssralv 4052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)))
18 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19 fin1a2lem13 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2019ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
21203expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2221adantlrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐)) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2322adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2423imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2524ancom2s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (𝑥𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2625expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2726con4d 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ((𝐴𝑥) ∈ FinII𝑥 ∈ Fin))
2818, 27jaod 860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
2928ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin))
3017, 29syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin))
3130impr 454 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32 dfss3 3972 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin)
3331, 32sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34 simprrl 781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
3534adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36 fin1a2lem12 10451 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1380 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
3837expr 456 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
3938impancom 451 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (¬ 𝑐𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
4039an32s 652 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → (¬ 𝑐𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
4110, 40mt4d 117 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝑐𝑐)
4241exp32 420 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
431, 42syl5 34 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4443ralrimiv 3145 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐))
45 isfin2 10334 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4645adantr 480 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4744, 46mpbird 257 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   Or wor 5591   [] crpss 7742  Fincfn 8985  FinIIcfin2 10319  FinIIIcfin3 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-wdom 9605  df-card 9979  df-fin2 10326  df-fin4 10327  df-fin3 10328
This theorem is referenced by:  fin1a2  10455
  Copyright terms: Public domain W3C validator