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Theorem fin1a2s 9828
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4549 . . . 4 (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2 fin12 9827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3 fin23 9803 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ FinII𝑥 ∈ FinIII)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5 fin23 9803 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) ∈ FinII → (𝐴𝑥) ∈ FinIII)
64, 5orim12i 904 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII))
76ralimi 3158 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII))
8 fin1a2lem8 9821 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
97, 8sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
109adantr 483 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → [] Or 𝑐)
1312adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → [] Or 𝑐)
14 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝑐𝑐)
15 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16 ssralv 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)))
18 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19 fin1a2lem13 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2019ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
21203expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2221adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐)) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2322adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2423imp 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2524ancom2s 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (𝑥𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2625expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2726con4d 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ((𝐴𝑥) ∈ FinII𝑥 ∈ Fin))
2818, 27jaod 855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
2928ralimdva 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin))
3017, 29syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin))
3130impr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32 dfss3 3954 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin)
3331, 32sylibr 236 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
3534adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36 fin1a2lem12 9825 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
3837expr 459 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
3938impancom 454 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (¬ 𝑐𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
4039an32s 650 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → (¬ 𝑐𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
4110, 40mt4d 117 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝑐𝑐)
4241exp32 423 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
431, 42syl5 34 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4443ralrimiv 3179 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐))
45 isfin2 9708 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4645adantr 483 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4744, 46mpbird 259 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  cdif 3931  wss 3934  c0 4289  𝒫 cpw 4537   cuni 4830   Or wor 5466   [] crpss 7440  Fincfn 8501  FinIIcfin2 9693  FinIIIcfin3 9695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-rpss 7441  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-seqom 8076  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-wdom 9015  df-card 9360  df-fin2 9700  df-fin4 9701  df-fin3 9702
This theorem is referenced by:  fin1a2  9829
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