MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2s 9441
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4308 . . . 4 (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2 fin12 9440 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3 fin23 9416 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ FinII𝑥 ∈ FinIII)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5 fin23 9416 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑥) ∈ FinII → (𝐴𝑥) ∈ FinIII)
64, 5orim12i 894 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII))
76ralimi 3101 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII))
8 fin1a2lem8 9434 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
97, 8sylan2 580 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
109adantr 466 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11 simplrl 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12 simprrr 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → [] Or 𝑐)
1312adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → [] Or 𝑐)
14 simprl 754 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝑐𝑐)
15 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16 ssralv 3815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)))
18 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19 fin1a2lem13 9439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2019ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
21203expa 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2221adantlrl 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐)) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2322adantll 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2423imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑐)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2524ancom2s 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (𝑥𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII)
2625expr 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝑥) ∈ FinII))
2726con4d 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ((𝐴𝑥) ∈ FinII𝑥 ∈ Fin))
2818, 27jaod 848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ 𝑥𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
2928ralimdva 3111 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin))
3017, 29syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin))
3130impr 442 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32 dfss3 3741 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝑐 𝑥 ∈ Fin)
3331, 32sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34 simprrl 766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
3534adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36 fin1a2lem12 9438 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [] Or 𝑐 ∧ ¬ 𝑐𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1484 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ (¬ 𝑐𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
3837expr 444 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ¬ 𝑐𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
3938impancom 439 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (¬ 𝑐𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
4039an32s 631 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → (¬ 𝑐𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
4110, 40mt4d 153 . . . . 5 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐))) → 𝑐𝑐)
4241exp32 407 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
431, 42syl5 34 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4443ralrimiv 3114 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐))
45 isfin2 9321 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4645adantr 466 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑐) → 𝑐𝑐)))
4744, 46mpbird 247 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cdif 3720  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4298   cuni 4575   Or wor 5170   [] crpss 7086  Fincfn 8112  FinIIcfin2 9306  FinIIIcfin3 9308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-rpss 7087  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-seqom 7699  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-omul 7721  df-er 7899  df-map 8014  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-wdom 8623  df-card 8968  df-fin2 9313  df-fin4 9314  df-fin3 9315
This theorem is referenced by:  fin1a2  9442
  Copyright terms: Public domain W3C validator