Theorem fin1a2s 10451

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4611	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		fin12 10450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3		fin23 10426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ FinII → 𝑥 ∈ FinIII)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5		fin23 10426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)
6	4, 5	orim12i 908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
7	6	ralimi 3080	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
8		fin1a2lem8 10444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12		simprrr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → [⊊] Or 𝑐)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → [⊊] Or 𝑐)
14		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
15		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16		ssralv 4063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
18		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19		fin1a2lem13 10449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
21	20	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
22	21	adantlrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐)) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
23	22	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
24	23	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
25	24	ancom2s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
26	25	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
27	26	con4d 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → 𝑥 ∈ Fin))
28	18, 27	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
29	28	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
30	17, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
31	30	impr 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32		dfss3 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34		simprrl 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36		fin1a2lem12 10448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
38	37	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
39	38	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
40	39	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
41	10, 40	mt4d 117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
42	41	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
43	1, 42	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
44	43	ralrimiv 3142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐))
45		isfin2 10331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
46	45	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
47	44, 46	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911   Or wor 5595   [⊊] crpss 7740  Fincfn 8983  Fin^IIcfin2 10316  Fin^IIIcfin3 10318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-seqom 8486  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-wdom 9602  df-card 9976  df-fin2 10323  df-fin4 10324  df-fin3 10325

This theorem is referenced by:  fin1a2  10452