Theorem fin1a2s 10386

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4565	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		fin12 10385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3		fin23 10361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ FinII → 𝑥 ∈ FinIII)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5		fin23 10361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)
6	4, 5	orim12i 921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
7	6	ralimi 3102	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
8		fin1a2lem8 10379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
9	7, 8	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11		simplrl 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12		simprrr 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → [⊊] Or 𝑐)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → [⊊] Or 𝑐)
14		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
15		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16		ssralv 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
18		idd 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19		fin1a2lem13 10384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
20	19	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
21	20	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
22	21	adantlrl 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐)) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
23	22	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
24	23	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
25	24	ancom2s 662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
26	25	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
27	26	con4d 116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → 𝑥 ∈ Fin))
28	18, 27	jaod 872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
29	28	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
30	17, 29	syld 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
31	30	impr 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32		dfss3 3928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
33	31, 32	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34		simprrl 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
35	34	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36		fin1a2lem12 10383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
38	37	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
39	38	impancom 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
40	39	an32s 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
41	10, 40	mt4d 118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
42	41	exp32 425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
43	1, 42	syl5 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
44	43	ralrimiv 3156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐))
45		isfin2 10266	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
46	45	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
47	44, 46	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  ∪ cuni 4868   Or wor 5559   [⊊] crpss 7709  Fincfn 8931  Fin^IIcfin2 10251  Fin^IIIcfin3 10253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seqom 8423  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-wdom 9515  df-card 9913  df-fin2 10258  df-fin4 10259  df-fin3 10260

This theorem is referenced by:  fin1a2  10387