Theorem fin1a2s 10367

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4570	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		fin12 10366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinII)
3		fin23 10342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ FinII → 𝑥 ∈ FinIII)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ FinIII)
5		fin23 10342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)
6	4, 5	orim12i 908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → (𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
7	6	ralimi 3066	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII))
8		fin1a2lem8 10360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ FinIII ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinIII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinIII)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝐴 ∈ FinIII)
11		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
12		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → [⊊] Or 𝑐)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → [⊊] Or 𝑐)
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
15		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴)
16		ssralv 4015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)))
18		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
19		fin1a2lem13 10365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
21	20	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
22	21	adantlrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐)) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
23	22	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → ((¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
24	23	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑐)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
25	24	ancom2s 650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑥 ∈ 𝑐 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)
26	25	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))
27	26	con4d 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII → 𝑥 ∈ Fin))
28	18, 27	jaod 859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ 𝑥 ∈ 𝑐) → ((𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → 𝑥 ∈ Fin))
29	28	ralimdva 3145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝑐 (𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
30	17, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin))
31	30	impr 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
32		dfss3 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑐 𝑥 ∈ Fin)
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ⊆ Fin)
34		simprrl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → 𝑐 ≠ ∅)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → 𝑐 ≠ ∅)
36		fin1a2lem12 10364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ [⊊] Or 𝑐 ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) ∧ (𝑐 ⊆ Fin ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII))) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII)
38	37	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐) → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII) → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
39	38	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
40	39	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → (¬ ∪ 𝑐 ∈ 𝑐 → ¬ 𝐴 ∈ FinIII))
41	10, 40	mt4d 117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) ∧ (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐))) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)
42	41	exp32 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
43	1, 42	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴 → ((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
44	43	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐))
45		isfin2 10247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
46	45	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → (𝐴 ∈ FinII ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝐴((𝑐 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑐) → ∪ 𝑐 ∈ 𝑐)))
47	44, 46	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ Fin ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ FinII)) → 𝐴 ∈ FinII)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871   Or wor 5545   [⊊] crpss 7698  Fincfn 8918  Fin^IIcfin2 10232  Fin^IIIcfin3 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-rpss 7699  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-wdom 9518  df-card 9892  df-fin2 10239  df-fin4 10240  df-fin3 10241

This theorem is referenced by:  fin1a2  10368