MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finacn 9077
Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8035 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
21adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3 ffvelrn 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4 eldifsni 4458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
6 n0 4079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
75, 6sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
8 rexv 3372 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
97, 8sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
109ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
112, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
12 eleq1 2838 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑔𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ac6sfi 8364 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1411, 13syldan 579 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
15 exsimpr 1947 . . . . . 6 (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1716ralrimiva 3115 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
18 vex 3354 . . . . 5 𝑥 ∈ V
19 isacn 9071 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2018, 19mpan 670 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2117, 20mpbird 247 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥AC 𝐴)
2218a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
2321, 222thd 255 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴𝑥 ∈ V))
2423eqrdv 2769 1 (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  c0 4063  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  AC wacn 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-1o 7717  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-fin 8117  df-acn 8972
This theorem is referenced by:  acndom  9078
  Copyright terms: Public domain W3C validator