Theorem finacn 9960

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
8		rexv 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
10	9	ralrimiva 3128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ac6sfi 9184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	11, 13	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1870	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		isacn 9954	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
20	18, 19	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	17, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
22	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
23	21, 22	2thd 265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
24	23	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  AC wacn 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-en 8884  df-fin 8887  df-acn 9854

This theorem is referenced by:  acndom  9961