MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finacn 10091
Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8890 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
21adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
6 n0 4352 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
75, 6sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
8 rexv 3508 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
97, 8sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
109ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
112, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
12 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑔𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ac6sfi 9321 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1411, 13syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
15 exsimpr 1868 . . . . . 6 (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1716ralrimiva 3145 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
18 vex 3483 . . . . 5 𝑥 ∈ V
19 isacn 10085 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2018, 19mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2117, 20mpbird 257 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥AC 𝐴)
2218a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
2321, 222thd 265 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴𝑥 ∈ V))
2423eqrdv 2734 1 (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  Fincfn 8986  AC wacn 9979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-map 8869  df-en 8987  df-fin 8990  df-acn 9983
This theorem is referenced by:  acndom  10092
  Copyright terms: Public domain W3C validator