Theorem finacn 10056

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
2	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3		ffvelcdm 7075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
8		rexv 3477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
10	9	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	2, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		eleq1 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ac6sfi 9257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	11, 13	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1902	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		isacn 10050	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
20	18, 19	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	17, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
22	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
23	21, 22	2thd 268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
24	23	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  AC wacn 9946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8831  df-en 8956  df-fin 8959  df-acn 9950

This theorem is used by:  acndom  10057