Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finacn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finacn 9465
 Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
finacn (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8415 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
21adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4 eldifsni 4686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
6 n0 4263 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
75, 6sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
8 rexv 3470 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
97, 8sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
109ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
112, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦))
12 eleq1 2880 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑔𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓𝑦) ↔ (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ac6sfi 8750 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1411, 13syldan 594 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
15 exsimpr 1870 . . . . . 6 (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
1716ralrimiva 3152 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
18 vex 3447 . . . . 5 𝑥 ∈ V
19 isacn 9459 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2018, 19mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
2117, 20mpbird 260 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥AC 𝐴)
2218a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
2321, 222thd 268 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥AC 𝐴𝑥 ∈ V))
2423eqrdv 2799 1 (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  AC wacn 9355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-fin 8500  df-acn 9359 This theorem is referenced by:  acndom  9466
 Copyright terms: Public domain W3C validator