Theorem finacn 9629

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem finacn

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
2	1	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
3		ffvelrn 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
4		eldifsni 4689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
8		rexv 3423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
10	9	ralrimiva 3095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓:𝐴⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦))
12		eleq1 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑔‘𝑦) → (𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
13	12	ac6sfi 8893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ V 𝑧 ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
14	11, 13	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
15		exsimpr 1877	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔(𝑔:𝐴⟶V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)) → ∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
17	16	ralrimiva 3095	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦))
18		vex 3402	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		isacn 9623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
20	18, 19	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝑓‘𝑦)))
21	17, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
22	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ V)
23	21, 22	2thd 268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
24	23	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850  ∅c0 4223  𝒫 cpw 4499  {csn 4527  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ↑_m cmap 8486  Fincfn 8604  AC wacn 9519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-map 8488  df-en 8605  df-fin 8608  df-acn 9523

This theorem is referenced by:  acndom  9630