MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisn 8602
Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fisn (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Proof of Theorem fisn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elsni 4414 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2 elsni 4414 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
31, 2ineqan12d 4043 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥𝑦) = (𝐴𝐴))
4 inidm 4047 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
53, 4syl6eq 2877 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥𝑦) = 𝐴)
6 vex 3417 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
76inex1 5024 . . . . 5 (𝑥𝑦) ∈ V
87elsn 4412 . . . 4 ((𝑥𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (𝑥𝑦) = 𝐴)
95, 8sylibr 226 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥𝑦) ∈ {𝐴})
109rgen2a 3186 . 2 𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥𝑦) ∈ {𝐴}
11 snex 5129 . . 3 {𝐴} ∈ V
12 inficl 8600 . . 3 ({𝐴} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}))
1311, 12ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴})
1410, 13mpbi 222 1 (fi‘{𝐴}) = {𝐴}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  Vcvv 3414  cin 3797  {csn 4397  cfv 6123  ficfi 8585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226  df-fi 8586
This theorem is referenced by:  ordtbas  21367
  Copyright terms: Public domain W3C validator