Theorem fisn 9437

Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisn	⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Proof of Theorem fisn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2		elsni 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
3	1, 2	ineqan12d 4197	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ 𝐴))
4		inidm 4202	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	3, 4	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
6		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	inex1 5287	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
8	7	elsn 4616	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
9	5, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴})
10	9	rgen2 3184	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴}
11		snex 5406	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12		inficl 9435	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴})
14	10, 13	mpbi 230	1 ⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ∩ cin 3925  {csn 4601  ‘cfv 6530  ficfi 9420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-om 7860  df-1o 8478  df-2o 8479  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9421

This theorem is referenced by:  ordtbas  23128