Theorem fisn 9311

Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisn	⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Proof of Theorem fisn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2		elsni 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
3	1, 2	ineqan12d 4172	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ 𝐴))
4		inidm 4177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	3, 4	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
6		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	inex1 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
8	7	elsn 4591	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
9	5, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴})
10	9	rgen2 3172	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴}
11		snex 5374	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12		inficl 9309	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴})
14	10, 13	mpbi 230	1 ⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3901  {csn 4576  ‘cfv 6481  ficfi 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295

This theorem is referenced by:  ordtbas  23105