Theorem fisn 9385

Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisn	⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Proof of Theorem fisn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4609	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2		elsni 4609	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
3	1, 2	ineqan12d 4188	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ 𝐴))
4		inidm 4193	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	3, 4	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
6		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	inex1 5275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
8	7	elsn 4607	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
9	5, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴})
10	9	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴}
11		snex 5394	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12		inficl 9383	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴})
14	10, 13	mpbi 230	1 ⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  {csn 4592  ‘cfv 6514  ficfi 9368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369

This theorem is referenced by:  ordtbas  23086