Theorem fisn 9464

Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisn	⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Proof of Theorem fisn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4647	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2		elsni 4647	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
3	1, 2	ineqan12d 4229	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ 𝐴))
4		inidm 4234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	3, 4	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
6		vex 3481	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	inex1 5322	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
8	7	elsn 4645	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
9	5, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴})
10	9	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴}
11		snex 5441	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12		inficl 9462	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴})
14	10, 13	mpbi 230	1 ⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477   ∩ cin 3961  {csn 4630  ‘cfv 6562  ficfi 9447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448

This theorem is referenced by:  ordtbas  23215