Theorem fisn 9336

Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fisn	⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Proof of Theorem fisn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2		elsni 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
3	1, 2	ineqan12d 4175	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ 𝐴))
4		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	3, 4	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
6		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	inex1 5259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
8	7	elsn 4594	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) = 𝐴)
9	5, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴})
10	9	rgen2 3169	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴}
11		snex 5378	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12		inficl 9334	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}))
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ {𝐴} ↔ (fi‘{𝐴}) = {𝐴})
14	10, 13	mpbi 230	1 ⊢ (fi‘{𝐴}) = {𝐴}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ∩ cin 3904  {csn 4579  ‘cfv 6486  ficfi 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8880  df-fin 8883  df-fi 9320

This theorem is referenced by:  ordtbas  23095