MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fipwuni 9417
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 7725 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
21pwexd 5376 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 pwuni 4948 . . . 4 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
4 fiss 9415 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝒫 𝐴))
52, 3, 4sylancl 587 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝒫 𝐴))
6 ssinss1 4236 . . . . . . 7 (𝑥 𝐴 → (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
7 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
87elpw 4605 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 𝐴)
97inex1 5316 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
109elpw 4605 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝐴)
116, 8, 103imtr4i 292 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
1312rgen2 3198 . . . 4 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴
14 inficl 9416 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴))
152, 14syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥𝑦) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴))
1613, 15mpbii 232 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝒫 𝐴) = 𝒫 𝐴)
175, 16sseqtrd 4021 . 2 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
18 fvprc 6880 . . 3 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∅)
19 0ss 4395 . . 3 ∅ ⊆ 𝒫 𝐴
2018, 19eqsstrdi 4035 . 2 𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴)
2117, 20pm2.61i 182 1 (fi‘𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601   cuni 4907  cfv 6540  ficfi 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7851  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402
This theorem is referenced by:  fiuni  9419  ordtbas  22678
  Copyright terms: Public domain W3C validator